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1、2023年新高考复习讲练必备第21练空间几何体一、单项选择题1 .圆锥的底面半径为1,其侧面展开图是一个圆心角为120。的扇形，那么该圆锥的外表积为(A. 2万B. 3兀C. 47rD. 5乃【答案】C【详解】27r设圆锥的母线长为/，那么/7=2乃，解得/ = 3,那么该圆锥的外表积为x3x1 + x12=4.应选：C.2 . 一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，假设此球的外表积为20兀，那么该四棱柱的高为( )A. 73B. 2C. 372D. 719【答案】C【详解】设球的半径为R,那么4兀叱=20兀，解得r2=5设四棱柱的高为力，那么/2+1 + 1 = 4氏2 ,解得/?
2、= 3五应选：C3 .如图， A3C是水平放置的 A3C的斜二测直观图，其中OC = a4 = 2OE,那么以下说法正确的选项是( )A. A3C是钝角三角形B. ABC是等边三角形C. ZkABC是等腰直角三角形D. ZiABC是等腰三角形，但不是直角三角形【答案】C【详解】解：将其还原成原图，如图，设AC = 2,那么可得08 = 205 = 1, AC = ACf = 2,从而AB = BC =日所以432 + 302 =4。2,即故回(?是等腰直角三角形.那么 A(3,0,0), B (3,3,2我,C(0,3,0), (0,0,2 场 可知加=(3,3,0), CA = (3, 3,
3、0),西=(3,0,273) 设平面ACq的法向量为” = (x,y,z),77-04 = 03x-3y = 0) ；贝“一 E八= o R 八= V3n - CB, = 03x + 2y!3z = 0z =x12不妨设万= (22-6),同时设点2到平面AC4的距离为dt, n*D.B. io 19 /那么 d=n VTT 11故点D到平面ACB、的距离为vn17.如图，在棱长为1的正方体中，截去三棱锥A-A3。，求:截去的三棱锥A-ABD的体积；剩余的几何体的外表积.【答案】(1):(2)上8 62【解析】 正方体AB。-的棱长为1,三棱锥A-的体积匕_八闻=匕.=：山皿心=99以=；JJ
4、 乙UA3。是边长为力的等边三角形，S=-xV2xV2sin- = , 3V - S = S = 1 BCBG - CDDXCX “AMGA 一 ，所以剩余几何体外表积为正+ 3 x + 3 x 1 =巴芭.22218.某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底 面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去局部和接头忽略不计，圆柱的底 面周长为2471cm,高为30cm,圆锥的母线长为20cm.求这种“笼具”的体积；现要使用一种纱网材料制作50个“笼具 该材料的造价为每平方米8元，共需多少元?1104 兀【答案】3552兀cn?募元
5、【解析】设圆柱的底面半径片高为任 圆锥的母线长为/,高为历，那么2a = 24兀，那么= 12，九=-2()2122 =16V =兀/一 J_兀r2/ _ 122 x30兀一,x 12之 x 16兀=3552兀cm3 33(2)圆柱的侧面积 = 2兀肪=720兀cn?,圆柱的底面积2 =兀产=144兀cn?, 圆锥的侧面积= Ttrl = 240兀cm之,所以：“笼具”外表积5表=5+52+53=1104砍1112,故：50个“笼具”的总造价为:110471x50x8 1104711625110471答：现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”共需25元.应选：c.4.圆柱的底面半径和高都是2,
6、那么圆柱的侧面积是（）A. 47rA. 47rC. 127rD. 167【答案】B【详解】 因为圆柱的底面半径和高都是2,所以圆柱的侧面积S = 2xx2x2 = 8小5.5.应选:B.圆柱内有一个球0,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，圆柱的体积为16兀，那么球。的体积A.A.32兀T64兀B.3C. 16kD. 12 兀【答案】A【详解】设球。的半径为R,设球。的半径为R,那么圆柱的底面圆的半径为R,高为2R,所以兀R2.2R = 16ti,解得：R = 2,437那么球。的体积为为R:等 应选：A6.通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如下图的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环
7、（其中小圆和大圆的半径分别是1cm和4cm）制作该容器的侧面，那么该圆台形容器的高为（A.2A.2B. 1cmC. 73cmD.2【答案】D【详解】由圆台的侧面展开图为半圆环，不妨设上、下底面圆的半径分别为* R（ R）, 那么2兀=兀xl, 2兀R = 7ix4,解得r=,R = 2.2所以圆台轴截面为等腰梯形，其上、下底边的长分别为1cm和4cm,腰长为3cm, 即40=1,3。= 4,43 = 3,过点人作入“_1_3。,为垂足，所以AH=22该圆台形容器的高为36cm,27.在矩形ABC。中，AB = 24) = 12,点,月分别是A3, 8的中点，沿尸将四边形AEFD折起，使NAE3
8、 = 60。，假设折起后点A, B, C, D, E,b都在球。的外表上，那么球。的外表积为()A. 64兀B. 72兀C. 84兀D. 96兀【答案】C【详解】因为矩形ABC。中，AB = 2AD = 12,点,尸分别是45, 8的中点，所以四边形A及D和四边形EFC3是正方形，又沿尸将四边形AEED折起，使/4EB = 60。，所以几何体OR?是正三棱柱，AD = 6,设球。的球心。在底面。”的射影为G,因止匕GO = ,AO = x6 = 3, 22显然G是等边三角形。回。的中心，FG = -FH=-JDF2-DH2 = - J62 -(-x6)2 = -x373 = 2V3 ,333
9、V 23在直角三角形。尸G中，OF = OG? + FH? = +(2可=后，所以球。的外表积为4ti OF1 = 84兀，应选：C.在ABC中，AB = BC = 4, ZA5C = 150,假设将ABC绕直线3c旋转一周，那么所形成的旋转体的体积是（）A. 3兀B. tcC. 97D. 7133【答案】B【详解】旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，作出简图：所以。4 = 2, 0B = 26所以旋转体的体积：?xx22x（OC 05）=殍.应选：B.8 .S, 4 B, C是球。外表上的点，SA，平面ABC, AB1BC, SA = AB = 6 BCf ,那么球。的外表积等于（）A. 9B
10、. 8C. 12万D. 10/r【答案】A【详解】因为S、A、B、。是球。外表上的点，所以。4 = OB = OC = OS又SA，平面ABC, ABICACu平面ABC,所以 SA_LAB, SAA.AC, SALBC,因为AB_L3C, SAABu平面5AB, SArAB = A9所以3C1_平面5AB,而3Su平面&LB,所以 3C_LBS,所以可得。为SC的中点，SA = AB = C，BC = V5 ,所以 AC = J7,SC = 3,VC 3所以球。的半径径为尺=亭=9， 22所以球。外表积为4尺2 =9兀.应选：A.9 .正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.假设该球的
11、体积为367，且3”36,那么该正四棱锥体积的取值范围是（）A.B.27 81了C.27 64T9TD. 18,27【答案】C【详解】 :球的体积为36万，所以球的半径R = 3,设正四棱锥的底面边长为2-高为, 那么尸=2+外,32 =2+（3-产,所以 6/z =/，2a2 = I2 h24 。-36;4 。-36;11?/4/21所以正四棱锥的体积V=zS/2 = zx4/x/z= x（/2记）X二二八 333366951( 74 /2所以v = 2 4/3- =-/39(6； 9当 3/0,当 26 /436 时，r0,L64所以当/ = 2遥时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为三,
12、27q 1又时，彳，回寸，V = 727所以正四棱锥的体积v的最小值为7, 所以该正四棱锥体积的取值范围是学印 应选：C.二、多项选择题7710 .在边长为2的菱形ABC。中，ABAD = -, DELAB,垂足为点区 以所在的直线为轴，其余四边旋转半周形成的面围成一个几何体，那么()A.该几何体为圆台B.该几何体的高为GC.该几何体的外表积为7% +2GD.该几何体的体积生生3【答案】BCD【详解】解：由题意可知，该几何体的结构为半个圆锥和半个圆台，该几何体的高为。 =百，该几何体的外表积为 S = 12 + ,12+J_(1 + 2)2 + ,(12 + 22)+ 2x,x2xG = 7
13、+ 2VJ,体积为 V = X xxV3+ X x-xV3x(l + 4 + 2)=.2 32 373应选：BCD11 .“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-reguldd),是由边数不全相同的正多边形为面围成的 多面体，它表达了数学的对称美.如下图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共 可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体，A3 = &，那么关 于如图半正多面体的以下说法中，正确的有()C.与AA异面的棱共有4条D.三棱锥4-A3。与三棱锥4-片。体积相等该半正多面体的体积为彳B.该半正多面体过A, B,。三点的截面面积为3gC.该
14、半正多面体外接球的外表积为12D.该半正多面体的顶点数V、面数尺 棱数七满足关系式V + 尸- = 2【答案】ABD【详解】如图，该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的.对于A,因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为：V = 2x2x2-8xlxlxlxl = ,故正确； 3 23对于B,过A, B,。三点的截面为正六边形ABC尸EZ),所以S = 6xx(血丫 =，故正确.对于C,根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为拉，侧棱长为2的正四棱柱的外接球，所以该半正多面体外接球的外表积5 = 4乃K =4x(0)2 =8*
15、 故错误；对于D,几何体顶点数为12,有14个面，24条棱，满足12 + 14-24 = 2,故正确.应选：ABD13.正方体ABCD -A4G2的棱长为。，那么()A.正方体的外接球体积为立/兀B.正方体的内切球外表积为4/兀【答案】ACD【详/正方体外接球的半径R =立,内切球的半径r = -a 22正方体的外接球体积为V=3兀R3 =且3兀，内切球外表积为5 = 4兀产=2兀A正确，B不正确;与AA异面的棱有gC,CD,BC，CQ,共有4条，C正确;.二匕厂与2。二%4阿。|， 那么三棱锥4-A3。与三棱锥。-4月2的高期=。2,底面积s.d = Sa皿,故体积相等，D正确;填空题填空题
16、应选：ACD.三、14.14.将一个棱长为域的正四面体放入一个正方体的玻璃容器，假设要求该正四面体能在正方体容器中自 3由旋转，那么该正方体容器的棱长的最小值为【答案】2【详解】 由题假设正四面体能在正方体容器中自由旋转, 那么当正方体最小时，其内切球是该正四面体的外接球, 又由棱长为友 的正四面体的外接球半径r=辿、如=1, 此时正方体的棱长为2.故答案为：2.15.圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为华的球面上，圆柱底面半径为4,那么该圆柱的外表积【答案】80%【详解】 设圆柱外接球半径为：/?,圆柱的母线长为：3 由圆柱的性质得，外接球球心在上下底面圆心连线的中点处,h所以外接球球心到底面
17、的距离为圆柱母线的一半：P所以R2=42+jT，又= 解得R = 5, h = 6,所以圆柱的外表积为：x42 x2 + 2x7tx4x6 = 807T.故答案为：80%.四、解答题16.正四棱柱ABC。4MG2 ,其中AB = 3,心=2石.假设点P是棱AA上的动点，求三棱锥A-PBC的体积.(2)求点R到平面A0的距离【答案】(1)375(2)j1日【解析】实际上需求三棱锥P-的体积.由正四棱柱，BB. =AA. =2/3,BC = AB = 3B = AB = 3角形Be 的面积为 Ss = g BC. BB、=；x3x2& = 36 乙乙因为P是棱A4上的动点且A4与平面8CC4平行，那么只需写出AA与平面5CC4间的距离即可.由于平面8CC4,不妨记三棱锥的高为那么三棱锥p-ABC的体积Vr8c=/s诋43 = ；x36x3 = 3G(2)以。为原点，如图建立空间直角坐标系.