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1、7.3空间几何体积及外表积（精练）【题组一空间几何体的基本概念】（2021 全国高三专题练习）采用斜二测画法作一个五边形的直观图，那么其直观图的面积是原来五边形 面积的A.，倍B.，倍C.也倍D.走倍2424【答案】【）【解析】斜二测画法中原图形面积S与直观图面积S的关系式S = 20S所以S =S =42s选：D2V24A. 8cm1. （2021 浙江高三期末）如图，正方形OAEC的边长为1。勿，它是水平放置的一个平面图形用斜二测 画法得到的直观图，那么原图形的周长是（）C. 2（1 + V5）cm D. 2【答案】A【解析】将直观图还原为平面图形，如下图.0B = 2OB，= 2五，OA
2、 = OX = 1,所以=5俨+q及 =3 ,所以原图形的周长为8c勿，应选：A.所以原图形的周长为8c勿，应选：A.2. （2021 黑龙江哈尔滨市-哈九中高三月考（文）水平放置的ABC按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图, 其中B，0 = 0/ =1, Az （T =3，那么原aABC是一个2【解析】因为四面体各棱长是1或2且该四面体不是正四面体，所以四面体的各棱长可以为(1) 1边为1, 其他5边为2； (2) 2边为1,其他四边为2； (3) 3边为1,3边为2.(1)当四面体的各棱长为1边为1,其他5边为2；如图示：取力夕的中点为连结的因为比力小2,同理可证：。山BnDE =2又
3、CECDE = E,所以 ABL面COE.所以 V = S&CDE-AB.J在中，取切中点汽，连结EF,那么EFICD、且EF = dCE?-CF?所以S=LcOEF = x2xi = aj/匚 2222所以y年止平(2)当四面体的各棱长为2边为1,其他四边为2；由于三角形两边之和大于第三边，只能是对边为1,如图示：不妨设43 =8=1,其他4边为2；图示：不妨设43 =8=1,其他4边为2；取/的中点为连结幽因为淤力02,同理可证：DEU8且DE =又CECDE=E,所以/以L面CDE.所以V = S式姓48. 3在口?中，取切中点尺连结能那么就L且石厂在口?中，取切中点尺连结能那么就L且石
4、厂所以s SE二!。尸二!、以巫二巫 kde 2224所以一各噜（3）当四面体的各楂长为3边为1,3边为2；由于三角形两边之和大于第三边，只能是三条底边为1,侧棱为2,棱为2,如图示：不妨设 A8 = 8C = AC = 1, AQ =应)=C) = 2 ；过作。垂直底面于0、那么。为三角形力比的中心,过作。垂直底面于0、那么。为三角形力比的中心,所以 OD = dDB2OB2 =,2? 所以。3 = |x 等、AB = |x2|x1 =且，而 s = - ABMC.sin 60 = 3oc 22所以丫与叵二也. 3 4312应选：ACD3. （2021 福建高三三模）（多项选择）正四棱锥的侧
5、面积为4指，当该棱锥的体积最大时，以下结论正确的是（）A.棱锥的高与底面边长的比为正2B.侧棱与底面所成的角为60。C.棱锥的每一个侧面都是等边三角形D.棱锥的内切球的外表积为（8-4百）不【答案】ACD【解析】设底面边长为2a,侧棱长为八 那么S触面=4 x g X 2a X Jb 二小/2- =46 即 ayb1 a2 二百，而 V = g x （2c?）2 x xjb - a2 - a2 乂 ajb2 a2 = /3 ,故丫=竽/国F设 f（a） = 3a2 -a6（0a/3）,那么/（。）=6。-6/ =6a（l-，） = 6。0 + /）（1 + 4）（1 -a）,易知函数/（）在（
6、0,1）单调递增，在（1,折）单调递减，当 =1时，/（。）取得最大值，此时棱锥的体积最大，且 =2, 底面边长为2,侧棱长为2, PE = 6 OP = 6,棱锥的高与底面边长的比为正，选项力正确；2侧棱与底面所成的角为NP5O,而sin/P3O =，那么NP3O = 45。，选项错误； PB 2由于底面边长与侧棱长均为2,故侧面为等边三角形，选项。正确；设内切球的半径为，由于匕_八86=半，S表=4 + 4x Ix2x2xj = 4 + 4V3 ,._ 3V _ 4及_ M 瓜-五，r-S-4 + 4/3 -1 + /3 T:s =4一吊一 =（8 4后）乃，选项正确. 4应选：ACD.p
7、4. （2021 广东深圳市高三二模）假设在母线长为5,高为4的圆锥中挖去一个小球，那么剩余局部体积的最 小值为.【答案】 2【解析】如图是圆锥的轴截面，它的内切圆是圆锥的内切球的大圆.设半径为R,易知母线长为5,高为4时，底面半径为=庐下=3，1 13因此一x6x4 = -R（5 + 5 + 6）, R =一，2 22I A 14 d31 S所以剩余局部体枳的最小值为V =7rRy =-x32 x4tfx =一1.5.（2021 珠海市第二中学高三其他模拟）在五面体防一A3CQ中，正方形CO防所在平面与平面ABC。垂直，四边形ABCO为等腰梯形，AB/CD, AD = DC=BC = -AB
8、.2（1）求证：平面8b_L平面ACE；（2）假设三棱锥A-4a的体积为拽，求线段A8的长.3【答案】（1）证明见解析；（2） AB = 4.【解析】（1）证明：取A8中点0,连CO. .AO = OC = 8C = La8, ABIICD， 2. 四边形408 为菱形，：.CO = OA = OB. .OC8为正三角形，:.ACBC, 正方形CO所在平面与平面ABC。垂直，又平面C。瓦CI平面ABCO垂直=8, CDLCFACu 面 ABCD，:. FC工 AC. BCcFC = C,.4。_1_面5。尸,EF（2）解.：设BC = x,那么4B = 2x,由勾股定理得AC = JIr，由（
9、1）可知EOJ_面A8CD，故 A-BCE = E-ABC = ED ,S AliC = -x-/3x = x222即立X3=述，解得x = 2.ABud.636. （2021 黑龙江佳木斯市佳木斯一中高三三模（文）如图，正三棱柱ABC-A4G的底面边长是2, 侧棱长是G，。是4C的中点.（2）求三棱锥力。的体积.（1）设Ag与相交于点2，那么产为人与中点，连接P。,。为4c中点，尸。8。, 又：PD 平面，.BC/平面A.BD ；（2）连接DB,那么右一=-A,DC 在正三楂柱ABC -A4G中，88平面A4CC，那么4与8到平面。4。的距离相等，。为何。的中点，3。，4。，又平面ABC J
10、L平面AA,CtC ,且平面ABCD平面AA,C,C = AC,8D J_平面AAGC,在等边三角形ABC中，由A4 = 2,得BD = 5又正三楂柱的侧棱长为6，.SADAC =-xlxV3= 22力-AB1c = koc = ；x曰X石=；.7.（2021 广东佛山市石门中学高三其他模拟）如图，幺_1面48。，四边形ABCO是边长为1的为PF正方形，点在线段PC上， = ni.EC（1）假设Q4/平面EBO时，求加值；（2）假设。，面所。，棱锥E3CO体积取得最大值，求四棱锥PA8CD的高.【答案】（1） 1： （2）正.【解析】（1）设ACn8O = O. AAu 平面P4C,平面PAC
11、ITF面BO = EO, Q4/面E8D, PA / EO（2）解法一：建立如下图坐标系，设尸（0, 0, p）,有丽=（一1, 1, 0）, PC = （l,l,-p）,设癌二C户,那么现=就+EE二（一凡一几+1,叩）,/PC _1_面上8。,PC工EB， 1PC BE= f + (l)一叩.P = 0 得：n - ,2+ 0 ,因为EBCD的底面BCD不变，故即E到面BC。的距离取最大值.E到面88的距离=叩=7占热志. P2LL当仅当 二5,即=庭时取最大值.故四棱锥PA8CO的高为J5.E解法二：设ACri3O = O.*C中，作/四，交于f _1_面48cO,EH上面ABCD，EH
12、就是E到面BCD的距囱.因为一 8CQ的底面BCD不变，即求用最大时阳的值.PC 上面 EBD, OEuEBD，：.OEPC.故在以必为直径的半圆上，当日/取最大值时，H/为圆的半径，为圆心.此时 PA _CPAEH=4X-OC=42EH CA 2OC28.（2021帙西西安市西安中学高三其他模拟（文）如图，四边形被T和阅均为直角梯形，AD/BC, CE/BG,且 NBCD = NBCE =%,ZECD= 120, BC = CD = CE = 2AD = 2BG = 2.（1）求证：AG/平面ME； （2）求三棱锥七一8c。的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）3【解析】证明：过G作GNJ
13、_CE于此交BE于他连接M如下图:D A因为 BC_LCE,且 CE = 2BG, 所以*为四中点，所以MG = MN, MN II BC H DA, MN = AD = ；BC ,所以MGA。. MG = AD,所以四边形助盼为平行四边形，所以AGOM,又DMu平面用比,AGu平面例应，所以AG 平面用阳（2）取皮中点凡连接阳FB,如下图夕 /O cA.等边三角形B.直角三角形C.三边中只有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形【答案】A【解析】原ABC 中,BO=OC=1, BO2.A0JLBC,且 A0=2 A O二道.在直角ABO 和ACO 中 AB二JbO+AO2 = Vi+3
14、 = 2 . AC=2.故 AABC 等边三角形4. （2021 全国高三专题练习（理）如下图是水平放置三角形的直观图，点是力肉的肉边中点，AB, 房分别与/轴、V轴平行，那么三条线段AD,力。中（）A.最长的是力反最短的是B.最长的是；最短的是/国C.最长的是力反最短的是力D.最长的是力C,最短的是【答案】B 【解析】由直观图可知ABy轴，根据斜二测画法规那么，在原图形中应有AB_LBC, 乂 AD为BC边上的中线,ABC为直角三角形，如下图；AD为BC边上的中线，那么有AC最长，AB最短.应选B.5. （2021 广东实验中学高三其他模拟）（多项选择）九章算术是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的
15、一部数学专EEjr因为/BCD = NBCE = -,所以8C_LCZ),8CJ_CE 2所以AC _L平面ECD,在BCE中，ZECD= 120, CD = CE = 2,因为尸为口中点，所以CF1.DE所以b = CEsin300 = l, EF = FD = d*_f =g，E为ABE为AB三棱锥七一8c。体积为匕.皿=匕CD=-273-|.2 = , ft r v lyn339. （2021 赤峰二中高三其他模拟（文）如图，在平行四边形力比刀中，AB=2AD=2, /以决60的中点，将/1沿直线如折起到吸的位置，此时平面外EL平面以刀“（1）证明：CELPIK（2）设尺3分别是线段此：
16、上的中点，求三棱锥B- C/的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.32【解析】（1）证明：/区=2，后是仍的中点，后科/的小60 , /. ZAED = 60,: BO BE, Z 6=120 ,.NCEB = 30。， /陷 180 - NAED- /CES 即OE_LCE,平面加1平面86比；且平面应n平面员血平面PDE,而咏平面外, ：.PDLCE；（2）解：如图，和、的中点分别是月;从连接班.眼圾BF,心由（1）可知PA/_L平面A3CQ，nPM =22万是尸C的中点,点F到平面BCM的距离h = 4 q q q q一 乙8cM - D梯形BCDE LdGW BEM；x(l + 2
17、)x理x2x叵 x2迪* Vfic/F = Vf-bCM = SaBcm* Vfic/F = Vf-bCM = SaBcm, h工巫走二 384323二.三棱锥B-CMF的体积为一. 3210. （2021 广西南宁三中高三其他模拟（文）如图，在四棱锥夕-ABC。中，底面48co为矩形，平面 尸CQ_L 平面 48CD,43 = 2,3C = 1, PC = PD =应,E 为 PB 中点、.(1)求证：PDL平面PBC；(2)求三棱锥EA8C的体积.【答案】(1)证明见解析；(2) J.6【解析】(1)因为底面A8CO为矩形，所以8C_LCD,又因为平面PCD _L平面ABCD, BC u平
18、面ABCD，平面PCDfl平面ABCD = CD，所以4C_L平面PC。，因为平面PCQ，所以3CJ.PD,由PC = PO = &, CD = AB = 2,所以P。2 +=82,所以叨，。，又因为BCA PC = C, BC,PC u平面PBC,所以PD上平面PBC .(2)取CO的中点M ,连结PM，因为PC =尸。=6,CD = AB = 2,M是CO的中点，所以夕M _L CO.且尸例=1,因为平面PC。平面ABCD, PM u平面PCD.平iftl PCDQ平面ABCD = CD，所以PM _L平面ABC。，由E为相中点,所以.八8c八8。=：x!x：x2xlxl = :.22 3
19、 2O所以三棱锥E-ABCC的体积为9.6【题组四生活中的空间几何】（2021 河北沧州市高三三模）（多项选择）三星堆遗址,位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021 年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如下图，圆筒内径长2cm,外径长3cm,筒高4cm,中部为棱长是女m的正方体的一局部，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，那么（）部为棱长是女m的正方体的一局部，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，那么（）C.该玉琮的外表积为54 +兀（cm?）D.该玉琮的外表积为54+9兀（cm?）【答案】BD【
20、解析】由图可知，组合体的体积V =（|J【解析】由图可知，组合体的体积V =（|J-I2 +3x3x3-兀 x3x =27771T(cm3).S = 3兀xl + 2x3x3一兀x +3x3x4+2nx-I2 +2nx4 = 54 + 97i (cm2).应选：BD.1. （2021 江西南昌市-高三三模（文）平安夜苹果创意礼品盒，如图1所示，它的形状可视为一个十面 体，其中上下底面为全等的正方形，八个侧面是全等的等腰三角形如图2,底面正方形A88的边长为2,上底面E7P”与下底面48co之间的距离为& + 1，那么该几何体的侧面积为（）【答案】B【解析】该几何体的俯视图如下图，设。为俯视图的
21、中心,J22 +那么 OM =-= 6,0N = 1，2所以MN =加一1，设等腰三角形的高为八 那么/二（0 i）2+（& + i）2,得人=巫,所以一个等腰三角形的面积为1、222所以根据等体积法得/一人品=!，5,即xxQxaxxea =15,解得厂=巫33 223312aa所以r=巫，所以12 h V6 4亍应选：CC著，是算经十书中最重要的一部，其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”,那么（）A. “羡除”有且仅有两个面为三角形； B. “羡除” 一定不是台体；C.不存在有两个面为平行四边形的“羡除”；【）. “羡除”至多有两个面为梯形.【答案】ABC【解析】由
22、题意知：AE/BF/CD.四边形ACDE1为梯形，如下图：对于A：由题意知：“羡除”有且仅有两个面为三角形，故A正确；对于B：由于AE/8尸/C。，所以：“羡除”一定不是台体，故B正确；对于C：假设四边形48所和四边形BCDF为平行四边形，那么AE/3歹CD，且AE = BF = CD,那么四边 形ACOE为平行四边形，与的四边形ACDf为梯形矛盾，故不存在，故C正确；对于D：假设AEwBF于CD,那么“羡除”三个面为梯形，故D错误.应选：ABC.6. （2021 合肥市第六中学高三其他模拟（文）如下图的几何体是一个正方体挖掉一个圆锥（圆锥的底 面圆与正方体的上底面正方形各边相切，顶点在下底面
23、上），用一个垂直于正方体某个面的平面截该几何体, 以下图形中一定不是其截面图的是（）B.B.D.c.【答案】B【解析】用过圆锥的轴且与上底面一组对棱垂直的平面截该儿何体可得A图，用平行于圆锥底面的平面截 该几何体可得C图，用垂直于圆锥底面且不过圆锥的轴的平面截该几何体可得D图，而B图用垂直于正方 体的任何面的平面截都无法得到.应选：B【题组二 空间几何体的外表积】1. （2021 山西临汾市）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为与，弧长为2的扇形，那么该圆锥轴截面的面 积5=（）A. /2B. 2及C.右D. 2石【答案】B【解析】设圆锥的母线长为1,底面半径为八那么2不二与/,解得/ = 3,又2
24、4=24，解得/ = 1,所以圆锥的高为 = J/2_2 = 2丘，所以圆锥的轴截面的面积是S=x2rx = 2a,应选：B22.（2021 广东）圆锥的高为1,体积为乃，那么过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（）A. 2B. GC. y/2D. 1【答案】A【解析】圆锥的高为1,体积为不，那么底面圆的半径为G，母线长为2,轴截面的顶角为与，当截面为直角三角形时，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积最大， 最大值为，x2x2 = 2,应选：A.2（2021 安徽池州市池州一中高三其他模拟（理）古希腊数学家欧几里德在其著作几何原本中定 义了相似圆锥：两个圆锥的高与底面的直径之比相
25、等时，那么称这两个圆锥为相似圆锥.圆锥SO的底面 圆。的半径为3,其母线长为5.假设圆锥SO与圆锥S。是相似圆锦，且其高为8,那么圆锥S。的侧面积为（ ）A. 15 万B. 15 万C. 60不D. 96E. 120 4【答案】B【解析】由题意得：圆锥SO的底面直径为6,高为序手=4，所以高与底面直径之比为9 = |, 6 3因为圆锥S。与圆锥SO是相似圆锥，且其高为8, = 12所以圆锥SO的底面直径为2,那么底面半径为6,3所以圆锥SO的母线长为正寿 = 10，所以圆锥S,（y的侧面积为LX 2乃X 6X1 （） = 6（）4.应选：B 23. （2021 上海复旦附中高三其他模拟）己知母
26、线长为2的圆柱a。2的体积为2万，那么该圆柱的外表积为.【答案】6冗【解析】依题意可得圆柱的高力=2,设底面半径为小那么;r/力=24，解得尸=1，所以S = 24产+24广九=2）入+24x1x2 = 64故答案为：6几4. （2021 贵州省思南中学高三月考（理）我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下 小的正四棱台（两个底面都是正方形的四楼台），如果一个方斗上底边长为4分米，下底边长为2分米，高 为3分米，那么该方斗的外接球的外表积为 平方分米.【答案】33兀【解析】由题意，方斗的示意图如下：设楂台上底面中心为。下底面中心为。2,由楼台的性质可知：外接球的球心。落在线段Q
27、Q上，B设外接球的半径为R，|0。2| = ，那么|oq|=3i.因为002垂直上下底面，所以|。2+|Q8= R2即力2 +（起丁=R2 ,所以|00+四呢=R2即（3_+（2行=R2,57533联立解得力=巳，/?2= + 2 = , 244所以该方斗的外接球的外表积为33乃.故答案为：33（2021 广东汕头市金山中学高三三模）将一个边长为2的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的外表积为.【答案】限尻【解析】如下图：正三角形绕/国所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的圆锥，圆锥的底面半径为r=OC = 6所以所得儿何体的外表积为S = 2xqx AC = 2x
28、4x75x2 = 4&，故答案为：4出乃（2021 全国高考真题（文）个圆锥的底面半径为6,其体积为30%那么该圆锥的侧面积为【答案】39%【解析】W = -62-/? = 303/ = yj h2 + r 故答案为：39万.（2021 浙江高三其他模拟）圆柱的体积为1542 （单位：cn?）,且它的侧面展开图是正方形，那么这个圆柱的底面半径（单位：cm）是.【答案】栏【解析】设圆柱底面半径为，而为力，由于该圆柱的侧面展开图是正方形，所以2%一二，又圆柱的体积为15%2，所以7trh = 15-2 即4产r=15所以厂.故答案为：5. （2021 全国高三其他模拟）长方体木块ANCO-AgGR
29、中A4=8C = 12cm,=8cm,从该木块中挖去一个圆锥，使得圆锥的顶点为正方形的中心4片。|。，底面圆为正方形的内切圆48a，那么 剩余局部的外表积为.【答案】（672 + 24）51?【解析】剩余局部的外表积为长方体木块0G。的外表积减去一个半径为的6cm圆的面积，再 加上个底面半径为6cm,高为8cm的圆锥的侧面积，即672 乃x6、+乃x6x5/6? +8? =672+ 24乃（cm?）.故答案为：（672 + 244）。/（2021 云南曲靖一中高三其他模拟（理）如图，蹴鞠，又名“鞠球”“鞠圆”等，“蹴”有用脚蹴、 踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指
30、古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似 今口的踢足球活动.各顶点都在某蹴”的外表上的正四棱柱的底面边长为。，高为，球的体积为364， 那么这个正四棱柱的侧面积的最大值为.【答案】36上【解析】设球的半径为R,那么gR3=36,解得：R = 3； 正四棱柱底面正方形外接圆半径旦,又/?2=/+（乙, 22.多小2，=/一步 ,解得：=历不， 正四棱柱侧面积S = 4H2 = 4，36-22 = 川/伊一片）, 2/（36-2片）/2- + 36-2a =324 （当且仅当2a2 =36 2/,即a = 3时取等号）,/. S /2 ， 即正四棱柱侧面积的最大值为36&.故答案为：366 .【题组三空间几何体的体积】（2021 四川高三月考（文）三楂锥。一 A3C的棱长均为1,现将三棱锥。一 ABC绕着DA旋转, 那么O A8C所经过的区域构成的几何体的体积为（）【答案】B【解析】如图，在三棱锥D - ABC +，尸是A。的中点,由 ADJ_B，AD1FC,得 AD_L平面尸BC.将。一 ABC绕着AD旋转所经过的区域构成的几何体是以AD为轴，改为底面半径的两个圆锥，如图,故所构成的几何体的体积为1=4,应选:B.1. （2021 辽宁高三其他模拟）（多项选择）假设四面体各楂长是1或2且该四面体不是正四面体，那么其体积的可能值是（）A,巫B.巫C.叵D.叵126126【答案】ACD