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1、考点24:空间几何体的外表积和体积【思维导图】多面体他面积（,）全面积（s*）体枳（E）棱柱棱柱直或面周长X/32s.s 产 s1M /直棱柱chSgh棱锋棱锥各优面积之和 h正棱锥2棱台陵台各便面面枳之和%；h (S % + 昆* 口)正粳台:中S表示而积.，.c分别表示上、下底面周长.h*舞高,h泉示制高.I表示创校长.名称圈柱圈锥台球Sulfrrlxrl仪一），S金2r(/+r)ar(/ + r)5+幻/+开（片+为：）SR：Vnrh (即；w：/)-nrh 3g1力（4：+5与+与：）4一 /TN 3分割求和法_不规那么的题型分割成规那么图脑再进行体积求和/等体积法又名换顶点，一般多用
2、于求三棱锥的体积或者点到面的距离1一正四面体补成正方体体积常见方法C/-ni/对枝相等的三枝椎、三条侧枝相互垂直的三枝锥补成长方体补形法，-V三棱锥补成三棱柱或平行六面体I台体补成椎体【常见考法】考法一：体积1.如图，在四棱锥P-ABCQ中，底面A3C。是平行四边形，AD = BD = AB = 2,平面 BAZ） JL 底面 ABC。，且尸A = E,/分2别为PC, 的中点.又NPBA为锐角，点Al与点3不重合.所以DB，平面= OB J_ Q4.又R4J_AO, 03与AO为平面ABC。内两条相交直线, 故24,平面A5CQ.(II)由(1 )知：AM，平面故44DA/即为AO与平面PH
3、D所成角，AMAD=叵nAM=叵.42在 RtPAB 中,AM = ZPBA = 45, 2P4B = 5，Spad - 1，_ABBD_y3 屋/w。=2= -2而 ZP3D = 90。,PBBD _yf2xy/3 y/6PBD222故所求外表积为：L1 +旦业=3 +用何 2222【点睛】此题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化和几何体外表积的求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.6 .如图，在直三棱柱 ABC 44G 中，AB1BC, M = 2AB = 2BC = 2 , M ,N,。分别为AB, BB19 CG的中点，E为线段MN上的动点.(1)证明：CE/
4、平面4。片;(2)假设将直三棱柱ABC-A#G沿平面AQg截开，求四棱锥A-5CDA的外表积.【答案】（1）证明见解析；（2） 3+凤遍.2【解析】【分析】（1）连接CM, CN ,可证四边形NC。四为平行四边形，从而得到NC7/O与，再可得MN/AB、,即可得到平面MCN平面AOg,从而得证；（2）连接BO即可证明平面BCC4,得到再根据面积公式求出 锥体的外表积即可；【详解】解：（1）证明：连接CM, CN ,因为N,。分别为8q，CC中点，所以 NB】=1bB, C1D = -CC1,又因为 B3/CG，BB、=CC,所以 NBJ/CD, NB=CD ,所以四边形N。4为平行四边形，所以
5、 NC/DB、,又V为中点，所以 MN/AB-又 CMcCN = C, AB、c DB1=B,所以平面MCNII平面ADB,又Cu平面A/CN, 所以CE 平面4。耳.C D C,(2)连接3。，因为BXBA.AB, BCBBB, 3Cu平面BCC、B , BB u 平面 BCC、B ,所以AB _L平面BCG A，所以(l + 2)xl _ 3在 AAZ)A 中，AD = 6 AB=加,DB、= , 所以 AO2 + ob： = A3：,所以AD _L。耳，叵音=避Acg所以四棱锥A 88月的外表积s = + i +也+亚=3 +国逅(D Cl【点睛】此题考查面面平行，线面平行的证明，锥体的
6、外表积的计算，属于中档 题.TT.如图,四棱锥P-ABCD中，底面ABCQ是菱形,PA _L平面ABCD, NABC = , V是PC上一动点.BB（1）求证:平面PACJ_平面MB。；（2）假设必，PQ,三棱锥月-AB。的体积为亚，求四棱锥P-ABC。的侧面积.24【答案】（1）证明见解析（2）县交2【解析】【分析】将求证平面B4C J平面MB，转化为3。平面PAC,结合线面垂直判断定理，即 可求得答案；根据条件必_LP。,三棱锥P-ABO的体积为逅，求得每个面面积，即可求得 24四棱锥PABCD的侧面积.【详解】（1）= PAJ_平面ABCDBDu平面ABC。，:.PABD. .底面ABC
7、。是菱形:.BDLAC.又QPAI AC = A,Q4u平面PAC,ACu平面PAC,.3DJ_平面PAC.又丁 BDu平面MBD,平面PAC JL平面MBD.设菱形ABCD的边长为工,71 QZABC = -. /BAD =.在 AABD 中，BD2 = AD2 + AB2 - 2AD AB cos ABAD = 2x2 - 2x2 (-) = 3x2BD = y/3x .又 24,平面 A5CQ,A5 = AD,P3_LPZ),：.PB = PD = xMPA = x. 22乂 S= AB AD - sin ZBAD = x2 - sin = x2, 2234,v _1 v DA 1 V3
8、 2 V2 _V6 V三棱锥P-/WO =308。匕4 = 7-1, -x-解得：X=1 , ：.PA 当,PB = PD 4,71ZABC = -.3,-.AC = AB = l又B4_L平面A5CZ),.pc = PB = , 2四棱锥P-A6CD的侧面积为：2sbpab + 2s“Be = 2( x【点睛】此题考查了判定空间面面垂直和求四棱锥的侧面积问题.此题的解题关键 是将判定空间面面垂直转化为求证空间线面垂直，考查了学生空间想象能力和计算 能力.属于中等题.考法三：求参数8.如图，在以A、B、C、D、E、厂为顶点的五面体中，面ABCD是等腰梯 形，AB/CD,面ABfE是矩形，平面A
9、3FE_L平面A3CQ,BC = CD = AE = a , ZDAB = 60.E(1)求证：平面瓦犷_L平面AQ；(2)假设三棱锥3-OCF的体积为无，求。的值.12【答案】(1)证明见解析；(2) 1.【解析】【分析】(1)由面面垂直的性质定理得出AE_L平面ABCZ),可得出8Z)_LAE,再 推导出利用线面垂直的判定定理得出8。_L平面A),然后利用面面垂 直的判定定理可得出平面BDF，平面ADE ；(2)推导出平面43CD,计算出38的面积，然后利用锥体体积公式可 求得三棱锥尸-3CD的体积，进而得解.【详解】(1)因为四边形ABEE是矩形，故E4_LAB,又平面ABEEL平面AB
10、C。，平面ABFED平面ABCD = AB, AEu平面ABFE,所以 A_L平面 ABC。，又 BDu面 ABC。，所以 AE_L3Z),在等腰梯形 A8CQ 中，ZDAB = 60 , /. ZADC = ZBCD = U0因 3C = CD,故 N3OC = 30, NAO5 = 12030=90,即又AC|AO = A,故8。，平面ADE,QBOu平面所以平面瓦犷平面AOE；（2） 与。的面积为= -a2 411120。=,r AE/FB, AE_L平面 A5CD,所以，平面 ABCQ,- V =v, , vD-BCFv F-BCD12=,故。=1. 12【点睛】此题考查面面垂直的证明
11、，同时也考查了利用三棱锥体积求参数，考查推 理能力与计算能力，属于中等题.9.如图，在四棱锥P-ABCZ）中，AR4O是等边三角形，。是AO上一点，平面平面 A3CO, AB/CD,ABA.AD,AB = 1,CD = 2,BC = 3.（1）假设。是AD的中点，求证：。8_1_平面。；（2）设啜=人当几取何值时，三棱锥/太的体积为百?【答案】（1）证明见解析；（2） 2 = 1.【解析】 【分析】（1）在平面ABCD中，由勾股定理证明。5_LOC.在空间中，由平面PAD，平面ABCD,得到PO_L平面ABC。,从而有再利用线面垂直的判定定理证明.设嘿=所以8=9,那么有8 + 3 = 43+
12、3 = 28,根据AE4D是等边三角形，平面Q4O_L平面A5CQ,得到点。到平面ABCO的距离，即为四棱 锥P-ABC。的高，且/z = C，再利用等体积法转化治“=人=沁/2 = 6,那么有Soc =AB + CD)xAD-ABxOA-ADxOD = ,整理得 04(1+ 24)= 30 求解.【详解】(1)因为A8/C2A3，AO,AN = 1,CQ = 2,3C = 3,所以 AD t yjBC2 - (CD-AB)2 = 2V2 .因为。是AO的中点，所以。4 = 00 =亚.0/2=3,002=6,所以。32+。2=3。2,所以 OB_LOC.又因为平面2。_L平面ABCD, 所以
13、P0,平面ABCD, 所以 POLOB,POcOC = 0,所以03,平面POC.所以 OD = %OA,因为AE4D是等边三角形，平面240,平面A3C2 点。到平面A8CQ的距离，即为四棱锥PABCO的高，且力=指-ADxOD = -因为 Vb-POC = P-BOC Z Soch = 6所以=(A3 + a)xAO ABxQA 22整理得：OA（1 + 22）= 3a/2又因为。+。4 = 4。4 +。4 = 2加解得4=1【点睛】此题主要考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理以及几何体体积 的求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.考法四:考法四:10.如图，在直
14、三棱柱 A3C 4旦G 中，AB = 1, BC = 2, BBX =ZABC = 90点。为侧棱3区上一个动点B(1)求此直三棱柱的外表积；(2)当AO + OG最小时，求三棱锥D-ABG的体积.【答案】(1) 11 + 375 (2) 1【解析】【分析】(1)求出三棱柱各面的面积，进行求和即可.(2)三棱柱展开成矩形ACGA，连接AG，交BB】于点。，那么此时AO + OC最小,可求出30 = 1,进而可求出Smbd = 5 ,即可求力_A8C =,四。.【详解】解：（1） S表 =Sa姐 & +，acga + S BCCB + 2sMbc= 1x3 + 2x3 + 75x3 + 2xix
15、1x2 = 11 + 3752(2)将三棱柱展开成矩形ACGA，连接AC|，交BB、于点。，那么此时AO + OG最小.BBD AB CQACBD = x 3 = 1. /. Sbd3IX/l5D= -ABxBD = -xlx = -.222.3用_1平面4与。,且4Gu平面4月G，.BA_L4G，又 AG，44 且 A A CBB = A , A4, BB u 平面 ABB , /. B,C. 1 平面A阴A v- y D-ABC v- y D-ABC=%-ABD = g Sabd .801 =111xx2=一.AG为C,到平面ABB的距离,【点睛】此题考查了几何体外表积求解，考查了三棱锥体
16、积的求解，考查了空间中 线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查了推理论证能力、运算求解能力.此题第二问的难点是分析出何时AD + OC取最小值.在求三棱锥的体积时，常通过转换三棱锥的底面，以此确定高，进而求解.11.如图1,在矩形A3CQ中，AB = 2, BC = 3,点在线段5c上，BE = 2EC.把AH4E沿A石翻折至的位置，4任平面AECQ,连结用。，点尸在线段。用上，DF = 2FB,如图2.。用上，DF = 2FB,如图2.图1(1)证明：b平面gAE；(2)当三棱锥用-AOE的体积最大时，求二面角耳-。后-。的余弦值.(1)求证：瓦7/平面B4。；(2)求证：平面B4Z)_
17、L平面尸30；(3)求三棱锥3 PC。的体积.2【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 1 j *【解析】【分析】(1)连接AC.因为底面43CZ)是平行四边形，那么尸是5。的中点，又因E是PC的中点，那么有EF/P4,然后利用线面平行的判定定理证明.(2)在A3。中，因为= 那么 AZ)2 + BZ)2 =8 = AB?,有2BDLAD.,再根据侧面PAO J_底面ABC。，可得30,平面PA。，再利用面面 垂直的判定定理证明.(3)取AD中点为。，连接P0.根据Q4 = PD,那么PO1AD,由侧面以。_1_底 ABCD,那么尸0J_平面A3CO,即点P到面ABC。的距离为PO =
18、 L然后根据 等体积法%-PCD =/一88求解.【详解】(1)如图,P连接AC.因为底面A8CQ是平行四边形，且方是8。的中点，所以尸也是AC的中 点.又因石是。的中点，所以斯/B4.因为B4u平面PAD,平面PAO,【答案】（1）证明见解析；（2） -士攸19【解析】【分析】（1）依题意得,可得出AD = 3, 。= 1,在线段上取一点M,满足AM =2加片,可求出月结合石CAD得出C7/R0 ,从而可证出四边形FMEC为平行四边形，所以CF/EM,再利用线面平行的判定定理，即可证出CF平面5人石；（2）设用到平面AECQ的距离为，三棱锥片-AOE的体积最大时，即取到最 大值，从而得出当平
19、面旦AEJ.平面AECO时， VbAED取得最大值，此时/ = 0, 建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出平面耳石。和平面CDE的法向量，运用 向量法求二面角的公式，即可得出二面角片-。石-。的余弦值.【详解】（1）依题意得，在矩形A3c。中，AB = 2, BC = 3, BE = 2EC, 所以AD = 3, EC = L在线段用A上取一点M,满足AM=2M与，BM B F又因为DF = 2FB所以妥二37，MA FD椒 FMIIAD,又因为EC7/A。，所以EC/FM ,因为= 所以石C = FM, 3所以四边形FMEC为平行四边形，所以CF/EM,又因为平面4AE,石Mu平面44石，
20、所以。尸平面4A.(2)设用到平面 ACO的距离为 R VBl-AED=-SMED-h,又 S “ed =3, 所以故要使三棱锥旦-人石。的体积取到最大值，仅需为取到最大值.取AE的中点。，连结与。，依题意得与。_LAE,那么/2旦。=夜，因为平面用AED平面ACD = A,gO_LAE, 30U平面瓦AE,故当平面gAE,平面AEC。时，B0_L平面AEC。，h = BQ.即当且仅当平面瓦AEJ_平面AEC。时，取得最大值，此时/7 =虚.如图，以。为坐标原点，DA，觉的方向分别为入轴，V轴的正方向建立空间直 角坐标系。孙Z,得0(0,0,0),石(1,2,0), 4(2,1,0),函= (
21、2,1,扬，诙= (1,2,0)，设5 = (x,y,z)是平面片团的一个法向量,n - DB、= 0,hDE = 0,_3_A又因为平面COE的一个法向量为根=(0,0,1),所以cos(加,八因为q-。石-。为钝角，所以其余弦值等于之叵19【点睛】此题考查线面平行的判定和面面垂直的性质以及空间向量法求二面角，还 涉及棱锥的体积、向量数量积运算、正方形的性质，考查了空间想象能力、推理能 力与计算能力，属于中档题.12.如图1,在边长为4的正方形ABCD中，是4。的中点，尸是8的中点， 现将三角形。所沿所翻折成如图2所示的五棱锥P-ABCFE.（1）求证：AC平面PF；P图2（2）求五棱锥P-
22、A8CF的体积最大时AR4C的面积.【答案】（1）见证明；（2） 4&【解析】【分析】（1）只需证明FAC即可，从而可证AC/平面改厂；（2）明确体积最大时几何体的特征，即平面P石尸，平面ABC在，求出AE4C的 面积【详解】证明：（1）在图1中，连接AC.又E,b分别为AD, CO中点，所以石尸 AC.即图2中有斯 AC.又EFu平面PEF, ACa平面在厂，所以4C7/平面PEE解：（2）在翻折的过程中，当平面在下，平面A3CFE时，五棱锥P-ABC庄的体 积最大.在图1中，取所的中点。石的中点N.由正方形A3CQ的性质知，MN DF, MNAD9 MN = NE = , AE = DF
23、= 2,am=an2+mn2 =V32+12 =V10.在图2中，取斯的中点打，分别连接P”，AH,取AC中点。，连接P0.由正方形ABCD的性质知，PH LEF.又平面。所，平面ABCFE,所以/_!_ 平面 ABCFE,那么 P/JLA/.由 AB = 4,有 PF = AE=PE = 2, EH = PH = HF = C，AC = 40， /IQ二4彳=(+(9)=20.同理可知PC = 26.又。为AC中点, 所以QP_LAC,所以 OF = Jap2_oa2 =小(2可(2 0=2,所以 S“4c=；xOPxAC = gx2x40 = 4/.【点睛】此题主要考查空间平行关系的证明和
24、三角形面积的求解，侧重考查直观想 象，逻辑推理和数学运算的核心素养.13.如图，A3是圆。的直径，点C是圆0上异于A3的点，PO垂直于圆0所在的平面，且PO = OB = 1.(I )假设。为线段AC的中点，求证ACJ_平面PDO；(II)求三棱锥P-ABC体积的最大值；(III)假设点在线段依上，求CE+O的最小值.【答案】(I )详见解析；(H) (III)用3 32【解析】【详解】(I )在AAOC中，因为OA = OC, D为AC的中点，所以ACLOD.又PO垂直于圆0所在的平面，所以POJ_AC.因为DOnPO = O,所以ACJL平面PDO.(II)因为点C在圆O上，所以当CO_L
25、AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1.又AB = 2,所以AABC面积的最大值为x2xl =1.2又因为三棱锥P-ABC的高PO = 1,故三棱锥P-ABC体积的最大值为1. 1-xlxl = -.33(III)在 APOB 中，PO = OB = 1, ZPOB = 90,所以 PB = VF7F =0.同理PC = &，所以PB = PC = BC.在三棱锥P-ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BCP,使之与平面ABP共 面，如下图.当O, E, C共线时，CE + OE取得最小值.又因为OP = OB, CP = CB,所以OC垂直平分PB,即E为PB中点.从而OC = OE +
26、 EC = Y + = YI 222亦即CE + OE的最小值为二十八 2考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积.询视频D所以石方/平面PAD.5(2)在AB。中，因为 =2所以 AZ52+bq2=8 = ab2,那么 BOJ_AD.又因为侧面HLDJL底面A3CQ,交线为AD,而BOu平面A5CD,所以8。，平面PAD.因为3Qu平面。如，所以平面B4Z)d_平面PBD.(3)取AD中点为。，连接P0.因为B4 = PQ,。为AD的中点，所以 PO_LAD,又因为侧面BAOJ_底面A3CQ,交线为AO,所以PO_L平面A3CD因为PA = PO =血，AD = 2,所以夕发+*=4
27、= ALP,所以Q4LBD.所以PO = 1,所以三棱锥5-PCD的体积Vb-PCD = Vp-BCD=X Sbcd 义 P0 = X-X2x2xl =.【点睛】此题考查立体几何中的平行关系、垂直关系判定及用等积法求点到平面的 距离，还考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及运算能力，属于中档题.2.三棱锥A中，APA.PC.AC A.BC , 为A3的中点，。为总的中 点，且APA/H为正三角形.(1)求证：BC,平面APC；（2）假设3C = 3, AB = O,求点B到平面0cM的距离.12【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【详解】（1）证明：如图，APA/3为正三角形，且。为总
28、的中点, ：.MDPB.又为AB的中点，。为总的中点，/. MD/AP, ：. APA.PB.又AP1PC,A APBC.又; ACBC9ACnAP = A,，BClAPC.（2）解：法一：记点3到平面MDC的距离为3那么有%.8co =B-MDCV AB = 10 ：.MB = PB = 59又 3C = 3, BC工 PC, ：. PC = 4,PBC PBC = = PCBC = 3,又MD =巫,42v _ 1八妨c_ 5百M-BCD T MD SbdC 5J乙在APHC中，CD = -PB = -9 又： MD 1DC, 22巫，：.h = 2 mdc T MD . DC - - V
29、3 , Zov _ 1 7 Q _ 1 A 25 /t-Vb-MDC _ ； ” .、AMDC _ ” .7333 O即点B到平面MDC的距离为.法二：;平面。CM_L平面PBC且交线为QC,过B作出/_LZ)C,那么3，平面DCM ,的长为点3到平面0cM的距离；V AB = 10,:.MB = PB = 5,又 BC = 3,BC【PC , ：. PC = 4,，SABDC = 2 S 4PBC = PC BC - 3.又 CD = gpB = ：, 22Z. Si =-CD BH=-BH = 39aoc/j 241212A BH= 9即点3到平面MDC的距离为7.【方法点晴】此题主要考查
30、的是线面垂直、棱锥的体积公式以及“等积变换”的应 用，属于中档题.解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否那么很容易 出现错误.证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角 三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线.3.将棱长为2的正方体ABC。-A,gGA截去三棱锥A-ACD后得到如下图几(2)求几何体AC4A。的体积.【答案】(1)见解析；(2) 4.【解析】【分析】(1)取AC中点为连接。，BR, OR,推导出四边形0/0。为平行四边形，可得出3OaQ,再由线面平行的判定可得。8平面ACR；（2）由正方体ABC。-4gCQ的棱长为2,求得匕bcdg
31、r=8,1 144VD1_=-x-x2x2x2 = -，匕=匕叫gd=4,再由体积作差可得几何体ACqAA的体积.【详解】（1）取AC中点为。连接。、瓦。、0Q.在正方形A#CQ中，.o为4G的中点，.。为q2的中点.在正方体ABC。44GB中,AV/CG且44=CG，四边形A4c。为平行四边形，AC4且AC = AjC,O、。1分别为4G、AC的中点，.Aaa。且AQ=A。，所以，四边形的。|为平行四边形，.。1/见且。i=A4 AAJ/BB 且 = BB, /. OOJ/BB、且 00、= BB,所以，四边形。04为平行四边形，.。田。4且。浜=。旦，O为3Q的中点，;。出且0A =o或，
32、那么四边形。由02为平行四边形, 0B/01D,又802平面AC。，OQu平面AC，因此，08平面ACR；（2） 正方体ABC。44GA的棱长为2,V, y ABCD-CV, y ABCD-C= 2，=8, VDi.Acd -11 c c c 4=xx2x2x2=一v-v -Vy ABC-CXDBy A-BCBv C-BClDl，_4匕 BC-CQAM = ABCD-ABCDi -ACD =20,而匕-3C5 =Vc_BGR =T720 c 4 彳Kacmad =3_2X = 4【点睛】此题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题.E、方
33、是边。的三等分点.现将4 .如图，矩形A8CD中，AB = 39 BC = ,（1）假设G为线段上一点,（1）假设G为线段上一点,AZME、ACB户分别沿A、踮折起，使得平面。4、平面CM均与平面 ABEE垂直.且AG = 1,求证：QG|平面CHb；（2）求多面体CD43/芯的体积.【答案】（1）见证明叵2【解析】【分析】（1）分别取A, 3b的中点M, N,连接。0, CN , MG, MN,先证明。M|CN,再证明面。MG|面C8/即证。G|面（2）连接BE, DF,利用割补法和体积变换V =D-ABE + Vb-EFCD = D-ABE + 3Vb_dEF = D-ABE + 3%-B
34、EF 求 多面体CD4BFE的体积.【详解】（1）分别取A, Bb的中点N ,连接DM, CN , MG, MN ,因为 AD = Z） = 1, ZADE = 90,所以且 DA/二克.2因为 BC = CF = 1, ZBCF = 90,所以。V_LM,且 CN = 92因为面D4E、面CH方均与面ABEE垂直, 所以。/0_1_面/15庄，。?/_1面48庄， 所以0MlicN, QDM = CN.因为= AGcos45,所以NAMG = 90,所以A4MG是以AG为斜边的等腰直角三角形，故乙MG4 = 45,而NbBA = 45,那么 MG| 必， 故面OA/G |面CB几那么 3Gl
35、i 面 CM.(2)如图，连接班，DF,由(1)可知，DMCN,且DM = CN ,FF + AR那么四边形。MVC为平行四边形，故DC = MN = - = 2.2因为 V = Vd_abE + Vr.eFCD = D-ABE + B-DEF D-ABE + D-BEF ,所以V=x 3所以V=x 3 711X3X11 - 2z/mGB也 + 3xk仁xlxlx2g23 12 J 22【点睛】此题主要考查空间位置关系的证明，考查空间几何体的体积的计算，意在 考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.考法二：外表积.如图，在四棱锥 PABC。中，AD = 2, AB = BC = CD
36、= 9 BC/AD ,44。= 90。./2氏4为锐角，平面平面P3O.(I )证明：B4_L平面 ABC。；（ID AD与平面P&5所成角的正弦值为正，求三棱锥P-ABD的外表积.4【答案】（I ）证明见解析；（H） 3 + G + C.2【解析】【分析】（I ）作依于根据平面B4BJ_平面依D 得到AA/J_平面P3D.AMLBD,取 AO中点为 Q,那么 BC=QO, BC/QD ,得到 8。= CO = 1 =。= QA,有3D_LA3,由线面垂直的判定定理，得到。3JL平面,再由 得证.（H）由（I）知：AM_L平面尸3Q,根据线面角的定义，故NADM即为与平面。皿所成角，所以有4吆三棱锥的四个面都是直角三角 AD 42形，由三角形的面积公式求解.【详解】（I）如下图：作A 必于因为平面B4B J_平面P3D所以AM _1_平面所以取AO中点为。， 那么 BC=Q，BC/QD所以 BQ = CD = 1 = QD = QA所以 ZABD = 90。，BDAB