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1、-第 1 页基本不等式(说课稿)-第 2 页基本不等式说课稿数本八班 欧华琪 105012010051一、说教材1、基本不等式的地位、作用和意义基本不等式又称为均值不等式，选自普通高中课程标准实验教科书数学 5 中第三章第 4 节。在第三章即不等式这章中，已经学习了比较大小、一元二次不等式解法和简单线性规划等，而且在初中学习了完全平方公式、圆、初步认识了不等式，这些给本节课提供了坚实的基础；基本不等式是后面应用基本不等式最大（小）值的基础，在高中数学中，基本不等式在有关余弦定理的题型，最值问题中有应用到，它有着比较重要的地位。2、教学目标（1）知识与技能目标学会推导基本不等式：abba2；理解
2、abba2的几何意义；会利用基本不等式求最值即掌握基本不等式的在最值方面的应用。（2）过程方法与能力目标通过问题引导学生观察弦图设计来得到重要不等式过程。通过分析法、几何法来证明的过程中，逐步引入基本不等式的条件。（3）情感、态度、价值观目标通过探索基本不等式的证明过程，培养探索、研究精神；通过对基本不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态度，勇于提出问题、分析问题的习惯。-第 3 页3、重点、难点重点：（1）基本不等式的推导（2）基本不等式的应用（3）基本不等式及其成立的条件通过对新课程标准的解读，教材内容的解析，结果固然重要，但数学学习过程更重要，它有利于培养学生的数学思维和探究能力，所以
3、将赵爽的弦图设计与基本不等式相结合起来，则应用数形结合的思想理解基本不等式为重点之一，并从不同角度探索基本不等式abba2证明过程；再者，基本不等式有比较广的应用，需重点掌握，而掌握基本不等式，关键是对基本不等式成立条件的准确理解，因此，基本不等式成立的条件及应用也是教学重点。难点：（1）基本不等式成立的条件（2）基本不等式求最值问题很多同学对基本不等式的条件的认识不深刻，在应用时候常常出错误，或是常常忽略了基本不等式成立条件的重要性。所以，本节课的难点是基本不等式成立的条件以及应用基本不等式求最大值和最小值。二、教法分析先让学生观察赵爽的弦图设计，通过面积的直观比较抽象出重要不等式。从生活中
4、实际问题还原出数学本质，可调动学生的学习热情。定-第 4 页理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案。“将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力”是进行教育的指导思想，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，采用“启发探究讨论”式教学模式。三、学法分析从赵爽的弦图设计，学生容易看出它们的等式关系，但对于不等式关系，学生不易想到，这时需要老师从等式关系着手，引导学生发现它们之间的不等关系。对于不等式的证明，一般的证明即利用平方差学生容易证明，但对于几何证明就不易想到。学生对于基本不等式的成立条件易忽略或出错。四、教学过程教学环节教学程序设计意图创设情景【PPT 演示】展示
5、北京召开的第 24 届国际数学家大会相对于直接告诉学生基本不等式而言，学生从思想上会难以吸收，从第 24 届国际数学家大会的会标出发，激发学生学习兴趣，符合教学-第 5 页的会标，提出问题，让学生思考。问题：1、比较大正方形的面积和 4 个小直角三角形的面积，你会得到怎样的不等式？2、当直角三角形的边长满足什么条件时，它们的面积相等？3、通过问题你能得到什么结论？能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系。通过面积关系易得到4个三角形的面积和小正方形的面积等于大正方形的面积，接着得到重要不等式，利用几何画板进一步启发学生总结什么时候这两部分面积相等。可接受性原则。而且通过赵爽的弦图设计与
6、重要不等式结合，使同学们更容易接受。接着是通过问题进一步引发学生的兴趣。再通过几何画板直观发现什么时候不等式两边相等的情况，这种数形结合的方法是在这里及其重要的。启发引导，形成概问题 1 学生不难给出答案：abba222问题2引导学生得出结论并用几何画板得到 等 号 相 等 的 图 象，当 a=b 时，abba222。FGHDCABE从不同角度归纳不等式，加深对基本不等式的理解。从第一幅图得到重要不等式：再进一步讨论，当AE=BE时，即a=b时，三个小三角形的面积等于大正方形-第 6 页念问题 3 有学生总结得出结论并引导证明。证明如下：显然成立要证0b)-(a02-222222abbaabb
7、a进 一 步 考 虑 利 用 换 元 思 想，将baba,代替，得 到 基 本 不 等 式)0,0(,2baabba。通过同重要不等式的等号成立类比，得到基本不等式要使等号成立，a=b。得到这些之后，我们要再回到)0,0(,2baabba当中，不等式右式为几何平均数，左式为算术平均数，得到任意两个正数的算术平均数大于几何平均数。的面积，这时，重要不等式的等号成立。通过类比，容易引出基本不等式，以及基本不等式等号成立的条件。由这所得，从而引出基本不等式的定义。接着就需要严格证明基本不等式。证明基本不等式（1）分析法显然成立要证0)ba(02-222abbaabbaabba（2）几何法一基本不等式
8、的证明，有两种是书中所提供的，但证明方法不止上述所示的，第一种证明是从结论出发，推出要证明这个需要的条件，这个证明方法学生容易想-第 7 页路。书中相同的思为直径的圆，则有了与心，以的中点为圆的外接圆是以为直角，则。再由角则有。令，则有，则于的高线交作为直角，过，角三角形身上想，即直角引导学生往相似三角形从ABABABCCCDabbDBaADCDDBADCDBADCDABABCCABCab,几何方法二.,22,)2(,222baECbababaEbaCbBaA两点重合，则当等号成立时，使整理得到基本不等式。则点的纵坐标为点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为本不等式，过函数凹凸性来证明基用图
9、形来比较，那么通指数函数，幂函数等有比较大小，我们之前在到和接受。但后面的几何方法不易想到，需要通过观察基本不等式，其中的几何平均数或是算术平均数来引出之前所学过的知识，再由此来证明基本不等式。这样学生不会觉得是突然给出一些几何图形，要来证明基本不等式。通过数形结合学生更容易理解。从分析法中，要使能继 续 推 导 需 要a0,b0，要使等号成立，则要 a=b。几何法一中，a 代表AD,b 代表 DB，而基本不等式的几何意义是圆内半径大于-第 8 页等于圆内任意弦的一半。要使等号成立，则点 D 与圆心重合。即 a=b。几何法二中，是通过函数图象的凹凸性来证明，当点 C 与 E重合时，也就是 a=
10、b时，等号成立。总而言之。我们所取的 a,b 都是大于零的，且当 a=b 时，基本不等式等号成立。初步应用，归纳提升的最大值。，求、已知此时的最小值是（），则且、已知x)-x(11x02)(y),(,1000,01xyxxyyx通过归纳得出：已知 x、y 都是正数，求证：（1）如果积 xy 是定值 P，那么当 x=y 时，和 x+y 有最小值 2P（2）如果和 x+y 是定值 Q，那么当 x=y为了让学生初步理，解基本不等式的应用，特设计了一下两个简单问题，让学生初步体验不等式中构造“积是定值”和“和是定值”的原理，以及取等号的条件。由此可以归纳一-第 9 页时，积 xy 有最大值42Q得到这
11、个结论之后，再进行加强结论（1）最值含义：积定，和最小；和定，积最大。（2）基本不等式求最值的三个条件：一正、二定、三相等。学生体验从特殊到一般的过程，使学生加深对基本不等式成立条件的掌握。般原理，让学生同自己一起讨论归纳出不等式的一般结论。例题例 1、（1）用篱笆围一个面积为 100 平方米的矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为 36 米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？例 2、已知正数 x、y 满足 2x+y=1，求yx11的最小值。正确解法比较巧，将 1 用 2x+y 代，在利用基本不等式
12、得到结果。这两道题的目的是为了让学生初步掌握不等式的应用原理。对例题的解析要注意引导学生理解取等号的条件，进一步理解最值的含义和用基本不等式求最值的三个限制条件。为了加深对不等式取等号的理解，设计了例 2学生容易两次运用-第 10 页了基本不等式中取“=”号过渡，而两次取等号的条件是不同的，所以出错。小结（1）基本不等式)0,0(,2baabba（2）基本不等式最值和成立条件最值含义：积定，和最小；和定，积最大。基本不等式求最值的三个条件：一正、二定、三相等。作业1、x0,当 x 取什么值，xx1的值最小？最小值是多少？2、已知直角三角形的面积等于 50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？3、用 20cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？4、另外将第 1 题的 x0 改为 x0,求xx1的最大值。第1题到第3题是对基本不等式最值的三个限定条件加深了解及应用。第 4 题是对于这点的灵活应用。巩固基本不等式以及基本不等式最值的三个限定条件。五、板书3.4.1 基本不等式-第 11 页一、重要不等式：abba222当且仅当 a=b 时取等号二、基本不等式:abba2当且仅当 a=b 时取等号最值:和定积最大，积定和最小基本不等式成立条件：一正二定三相等例 1例 2多媒体演示