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1、返回返回后页后页前页前页第一部分 函数、极限、连续1.3：连续1.连续函数的概念2.连续函数的性质3.初等函数的连续性返回返回后页后页前页前页1.连续函数的概念函数在一点的连续性间断点的分类区间上的连续函数返回返回后页后页前页前页定义定义1由由定定义义1知知，我我们们是是通通过过函函数数的的极极限限来来定定义义连连续续一、函数在一点的连续性性的，换句话说连续就是指性的，换句话说连续就是指返回返回后页后页前页前页回顾：函数的极限同学们同学们 还记得我么？还记得我么？还记得还记得“-”语言语言么？么？返回返回后页后页前页前页例例证证返回返回后页后页前页前页例：例：这是因为这是因为返回返回后页后页前
2、页前页又如：函数又如：函数返回返回后页后页前页前页极限极限由极限的定义由极限的定义,定义定义1可以叙述为可以叙述为:对于任意正数对于任意正数 ,这是因为这是因为存在存在d d 0,0,这样就得到函数这样就得到函数 f(x)在点在点x0可改写为可改写为返回返回后页后页前页前页定义定义2如果如果对对任意的存在任意的存在 当时当时返回返回后页后页前页前页为狄利克雷函数为狄利克雷函数.证证注意注意:上述极限式绝不能写成上述极限式绝不能写成例例1返回返回后页后页前页前页由上面的定义和例题应该可以看出由上面的定义和例题应该可以看出:函数在点函数在点 x0类似于左、右极限，下面引进左、右连续的概念类似于左、
3、右极限，下面引进左、右连续的概念.要要求求这这个个极极限限值值只只能能是是函函数数在在该该点点的的函函数数值值.极极限限存存在在是是函函数数连连续续的的一一个个必必要要条条件件)，而而且且还还x0 连连续续，那那么么它它在在点点 x0 必必须须要要有有极极限限(这这就就是是说说,有有极极限限与与在在点点 x0 连连续续是是有有区区别别的的.首首先先 f(x)在在点点返回返回后页后页前页前页定义定义3很明显很明显,由左、右极限与极限的关系以及连续函数由左、右极限与极限的关系以及连续函数0既是左连续，又是右连续既是左连续，又是右连续.点点x定理定理4.1f 在在有定义，若有定义，若的的定定义义可可
4、得得：返回返回后页后页前页前页例例2 讨论函数讨论函数解解 因为因为点击上图动画演示点击上图动画演示返回返回后页后页前页前页综上所述综上所述,所以所以,返回返回后页后页前页前页二、间断点的分类定义定义4定义定义.若若f 在点在点 x0 无定义无定义,或者在点或者在点 x0有定义但却有定义但却由此由此,根据函数极限与连续之间的联系根据函数极限与连续之间的联系,如果如果 f 在在点点 x0 不不连连续续,则则必必出出现现下下面面两两种种情情况况之之一一:或或不不连连续续点点.在在该该点点不不连连续续,那那么么称称点点 x0 为为函函数数的的一一个个间间断断点点返回返回后页后页前页前页等于等于f(x
5、0).根据上面的分析根据上面的分析,我们对间断点进行如下分类：我们对间断点进行如下分类：1.可去间断点可去间断点:若若一个可去间断点一个可去间断点.返回返回后页后页前页前页注注 x0 是是 f 的的跳跃间断点与函数跳跃间断点与函数 f 在点在点 x0 是是否有定否有定 点点.3.第二类间断点第二类间断点:若若 f 在点在点 x0 的左、右极限至少的左、右极限至少 可可去去间间断断点点和和跳跳跃跃间间断断点点统统称称为为第第一一类类间间断断点点.义义无无 关关.有一个不存在有一个不存在,返回返回后页后页前页前页例例解解例例返回返回后页后页前页前页解解注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可
6、去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.返回返回后页后页前页前页证证 因为因为例例 所以所以并且并且 是是 的一个可去间断点的一个可去间断点.返回返回后页后页前页前页例例 讨论函数讨论函数在在 x=0 处处是否连续？若不连续，则是什么类型的是否连续？若不连续，则是什么类型的间断点？间断点？返回返回后页后页前页前页所以所以 f(x)在在 x=0 处右连续而不处右连续而不左连续左连续,从而不从而不解解 因为因为断断点点是是跳跳跃跃间间断断点点.连连续续.既既然然它它的的左左、右右极极限限都都存存在在，那那么么这这个个间间返回返回后页后页前页前页例例解
7、解 因为由归结原理可知，因为由归结原理可知，均不存在，均不存在，点？点？返回返回后页后页前页前页例例解解这种情况成为这种情况成为无穷间断点无穷间断点返回返回后页后页前页前页例例解解注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.返回返回后页后页前页前页狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且都是第二类间断点断点.仅在仅在x=0处连续处连续,其余各点处处间断其余各点处处间断.返回返回后页后页前页前页判断下列间断点类型判断下列间断点类型:返回返回后页后页前页前页例例解解返回返回后页后页前页前页小结1.函数在一点
8、连续必须满足的条件函数在一点连续必须满足的条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)返回返回后页后页前页前页可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx返回返回后页后页前页前页思考题思考题返回返回后页后页前页前页练练 习习 题题返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页练习题答案练习题答案返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页
9、三、区间上的连续函数若函数若函数 f 在区间在区间I上的每一点都连续上的每一点都连续,则称则称 f 为为 I例如例如,以及以及都是都是R上的连续函数；而函数上的连续函数；而函数是区间是区间-1,1-1,1上的连续函数上的连续函数,在在处的连续分处的连续分别指右连续和左连续别指右连续和左连续.数数在在该该点点连连续续是是指指相相应应的的左左连连续续或或右右连连续续.上上的的连连续续函函数数.对对于于闭闭区区间间或或半半闭闭区区间间的的端端点点,函函返回返回后页后页前页前页如果函数如果函数 f 在在 a,b 上的不连续点都是第一类的上的不连续点都是第一类的,能能要要添添加加或或改改变变某某些些间间
10、断断点点处处的的值值).是是由由若若干干个个小小区区间间上上的的连连续续曲曲线线合合并并而而成成(当当然然可可一一个个分分段段连连续续函函数数.从从几几何何上上看看,分分段段连连续续曲曲线线就就并并且且不不连连续续点点只只有有有有限限个个,那那么么称称 f 是是 a,b 上上的的返回返回后页后页前页前页2.连续函数的性质连续函数的局部性质闭区间上连续函数的性质反函数的连续性*一致连续性*超纲内容超纲内容 简要介绍简要介绍返回返回后页后页前页前页一、连续函数的局部性质所谓连续函数局部性质就是指所谓连续函数局部性质就是指:连续连续(左连续或右连续左连续或右连续),),则可推知则可推知 f 在点在点
11、 x0 的某的某 号号性性、四四则则运运算算的的保保连连续续性性等等性性质质.个个局局部部邻邻域域(左左邻邻域域或或右右邻邻域域)内内具具有有有有界界性性、保保返回返回后页后页前页前页定理定理（局部有界性）（局部有界性）则则定理定理（局部保号性）局部保号性）则对任意一个满足则对任意一个满足返回返回后页后页前页前页定理定理（连续函数的四则运算）（连续函数的四则运算）返回返回后页后页前页前页也是连续函数也是连续函数.我们知道我们知道,常函数常函数 与线性函数与线性函数 都是都是 R 上上 的的连连续续函函数数,故故由由四四则则运运算算性性质质,易易知知多多项项式式函函数数 同理同理,有理函数有理函
12、数(分母不为零分母不为零)同样是连续函数同样是连续函数.返回返回后页后页前页前页定理定理例例1解解合，所以合，所以返回返回后页后页前页前页例例2解解例例3解解所以所以返回返回后页后页前页前页在本节中将研究在本节中将研究f 在闭区间上的整体性质在闭区间上的整体性质二、闭区间上连续函数的性质最大值最小值定理（有界性）最大值最小值定理（有界性）介值定理介值定理*一致连续性一致连续性返回返回后页后页前页前页 均有均有使得对一切使得对一切存在存在,0DxDx 定义定义1若若点点,的最大值不存在的最大值不存在,最小值为零最小值为零.注意注意:既无最大值既无最大值,又无最小值又无最小值.例如例如,符号函数符
13、号函数的最大值为的最大值为1,1,最小值为最小值为-1;-1;的最大值为的最大值为1,1,最小值为最小值为-1;-1;函数函数返回返回后页后页前页前页定理定理（最大、最小值定理）（最大、最小值定理）推论推论虽然也是连续函数虽然也是连续函数,但是但是返回返回后页后页前页前页定理定理（介值定理）（介值定理）上连续上连续,则则(至少至少)存在一点存在一点 推论推论（根的存在性定理）根的存在性定理）则至少存在一点则至少存在一点使使返回返回后页后页前页前页从几何上看从几何上看,当连续曲线当连续曲线 从水平直线从水平直线的的一一侧侧穿穿到到另另一一侧侧时时,两两者者至至少少有有一一个个交交点点.返回返回后
14、页后页前页前页上连续上连续,且与且与 f(x)有相同的单调性有相同的单调性.定理定理 若函数若函数 f(x)在在上上严格单调且连续严格单调且连续,则反函数则反函数三、*反函数的连续性返回返回后页后页前页前页在本节中，我们将介绍一致连续性这个及其重要在本节中，我们将介绍一致连续性这个及其重要只要就有只要就有 四、*一致连续性任意的正数任意的正数,使得对任意使得对任意,存在存在定义定义2.设设 为定义在区间为定义在区间I上的函数上的函数,如果对于如果对于则称则称 在区间在区间I上一致连续上一致连续.的的概概念念.返回返回后页后页前页前页上连续上连续,则则上一致连续上一致连续.这个定理告诉我们这个定
15、理告诉我们:定义在闭区间上的函数定义在闭区间上的函数,连连定理定理（一致连续性定理）（一致连续性定理）若函数若函数 f 在闭区间在闭区间续续和和一一致致连连续续是是等等价价的的.返回返回后页后页前页前页3.初等函数的连续性常值函数三角函数反三角函数幂函数指数函数对数函数左边的左边的6个函数统称叫什么？个函数统称叫什么？基本初等函数基本初等函数那初等函数又是怎么定义的？那初等函数又是怎么定义的？返回返回后页后页前页前页定定义义 由由基基本本初初等等函函数数经经过过有有限限次次四四则则运运算算与与复复合合运运算算所所产产生生的的函函数数称称为为初初等等函函数数.基本初等函数在基本初等函数在定义域定义域内是连续的内是连续的.初等函数在其初等函数在其定义区间定义区间上是连续的上是连续的.初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.返回返回后页后页前页前页例例 求求 极极 限限解解例例解解