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1、专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 以特殊三角形为背景以特殊三角形为背景的计算与证明的计算与证明 专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类典例精析典例精析【例【例 1 1】如图，已知正方形如图，已知正方形ABCDABCD，把边，把边DCDC绕绕 D D点顺时针旋转点顺时针旋转3030到到DCDC处，连接处，连接ACAC、BCBC、CCCC，写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程 典例精析典例精析专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明
2、 题型分类题型分类典例精析典例精析解解 图中的等腰三角形有：图中的等腰三角形有：DCCDCC，DCADCA，CABCAB，CBC.CBC.理由如下：理由如下：四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，ABABADADDCDC，BADBADADCADC9090，DCDCDCDCDADA，DCCDCC和和DCADCA为等腰三角形，为等腰三角形，CDCCDC3030，ADCADC9090，ADCADC6060，ACDACD为等边三角形，为等边三角形，典例精析典例精析专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类典例精析典例精析ACACADADABAB
3、，CABCAB为等腰三角形，为等腰三角形，CABCAB909060603030，CDCCDCCABCAB，在在DCCDCC和和ACBACB中，中，DCCACB(SAS)DCCACB(SAS)，CCCCCBCB，BCCBCC为等腰三角形为等腰三角形 典例精析典例精析专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类典例精析典例精析探究提高探究提高等腰三角形的性质与线段的垂直平分线结合等腰三角形的性质与线段的垂直平分线结合在一起证明线段相等，或者与三角形的内角和定理结合在一起证明线段相等，或者与三角形的内角和定理结合在一起求角度，可以通过列方程或方程组来解决
4、等腰三在一起求角度，可以通过列方程或方程组来解决等腰三角形中边的计算角形中边的计算此题主要考查了等腰三角形的判定以及全等三角形的判此题主要考查了等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出定与性质等知识，得出ACDACD为等边三角形是解题关键为等边三角形是解题关键 典例精析典例精析专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类典例精析典例精析【例【例 2 2】在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABCABC中，中，BACBAC 9090，ABABACAC，直线，直线MNMN过点过点A A且且MNBCMNBC，过点，过点B B为一锐角为一锐角 顶
5、点作顶点作RtBDERtBDE，BDEBDE9090，且点，且点D D在直线在直线MNMN上上(不与点不与点 A A重合重合)，如图，如图1 1，DEDE与与ACAC交于点交于点P P，易证：，易证：BDBDDP.(DP.(无需写无需写 证明过程证明过程)典例精析典例精析专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类典例精析典例精析(1)(1)在图在图2 2中，中，DEDE与与CACA的延长线交于点的延长线交于点P P，BDBDDPDP是否成立？是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；(2
6、)(2)在图在图3 3中，中，DEDE与与ACAC的延长线交于点的延长线交于点P P，BDBD与与DPDP是否相等？是否相等？请直接写出你的结论，无需证明请直接写出你的结论，无需证明 典例精析典例精析专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类典例精析典例精析解解 题干引论：题干引论：证明：如答图证明：如答图1 1，过点过点D D作作DFMNDFMN，交，交ABAB于点于点F F，则则ADFADF为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，DADADF.DF.11FDPFDP9090，FDPFDP229090，112.2.在在BDFBDF与与PDAPDA中
7、，中，BDFPDA(ASA)BDFPDA(ASA)，BDBDDP.DP.典例精析典例精析专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类典例精析典例精析(1)BD(1)BDDPDP成立成立证明：如答图证明：如答图2 2，过点，过点D D作作DFMNDFMN，交交ABAB的延长线于点的延长线于点F F，则则ADFADF为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，DADADF.DF.11ADBADB9090，ADBADB229090，112.2.在在BDFBDF与与PDAPDA中，中，BDFPDA(ASA)BDFPDA(ASA)，BDBDDP.DP.典例精析典例精
8、析专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类典例精析典例精析(2)BD(2)BDDP.DP.证明：如答图证明：如答图3 3，过点，过点D D作作DFMNDFMN，交交ABAB的延长线于点的延长线于点F F，则则ADFADF为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，DADADF.DF.在在BDFBDF与与PDAPDA中，中，BDFPDA(ASA)BDFPDA(ASA)，BDBDDP.DP.典例精析典例精析专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类典例精析典例精析探究提高探究提高等腰直角三角形的性质等腰直角三
9、角形的性质“两腰相等，两底角等两腰相等，两底角等于于4545”在几何计算与证明中应用广泛，常常与角平分线在几何计算与证明中应用广泛，常常与角平分线性质结合使用本题考查了全等三角形的判定与性质、等性质结合使用本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识点，作辅助线腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识点，作辅助线构造全等三角形是解题的关键构造全等三角形是解题的关键 典例精析典例精析专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练1.1.已知等腰三角形已知等腰三角形ABCABC中，腰中，腰ABAB8 8，底，底
10、 BCBC5 5，则这个三角形的周长为，则这个三角形的周长为 ()A.21 A.21 B.20 B.20 C.19 C.19 D.18 D.18 A A 解析解析 三角形的周长为：三角形的周长为：8 88 85 521.21.故选故选A.A.对点训练对点训练专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练2.2.已知已知ABCABC的三条边长分别为的三条边长分别为3 3，4 4，6 6，在，在 ABCABC所在平面内画一条直线，将所在平面内画一条直线，将ABCABC分割成两个三分割成两个三 角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最
11、角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最 多可画多可画 ()A.6 A.6条条 B.7B.7条条 C.8C.8条条 D.9D.9条条 对点训练对点训练专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练解析解析 如图所示：如图所示：当当BCBC1 1ACAC1 1，ACACCCCC2 2，ABABBCBC3 3，ACAC4 4CCCC4 4，ABABACAC5 5，ABABACAC6 6，BCBC7 7CCCC7 7时，都能得到符合题意的等腰三角时，都能得到符合题意的等腰三角形故选形故选B.B.对点训练对点训练专题九以特殊三角形为背景
12、的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练2.2.(2014(2014无锡无锡)已知已知ABCABC的三条边长分别为的三条边长分别为3 3，4 4，6 6，在，在 ABCABC所在平面内画一条直线，将所在平面内画一条直线，将ABCABC分割成两个三分割成两个三 角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最 多可画多可画 ()A.6 A.6条条 B.7B.7条条 C.8C.8条条 D.9D.9条条 B B 对点训练对点训练专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分
13、类对点训练对点训练3.3.(2014(2014扬州扬州)如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中，中，ABABADAD6 6，ABAB BC BC，ADCDADCD，BADBAD6060，点，点M M、N N分别在分别在ABAB、ADAD边上，边上，若若AMMBAMMBANNDANND1212，则，则tanMCNtanMCN ()对点训练对点训练专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练解析解析 ABABADAD6 6，AMMBAMMBANNDANND1212，AMAMANAN2 2，BMBMDNDN4 4，连接连接MNMN
14、，连接，连接ACAC，ABBCABBC，ADCDADCD，BADBAD6060，RtABCRtADC(HLRtABCRtADC(HL)，ACAC2 2BCBC2 2ABAB2 2，即，即(2BC)(2BC)2 2BCBC2 2ABAB2 2，对点训练对点训练专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练ANANAMAM，MANMAN6060，MANMAN是等边三角形，是等边三角形，MNMNAMAMANAN2 2，对点训练对点训练专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练3
15、.3.如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中，中，ABABADAD6 6，ABAB BC BC，ADCDADCD，BADBAD6060，点，点M M、N N分别在分别在ABAB、ADAD边上，边上，若若AMMBAMMBANNDANND1212，则，则tanMCNtanMCN ()A A 对点训练对点训练专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练4.4.如图，已知如图，已知ABCABC中，中，ABABACAC，点，点D D、E E 在在BCBC上，要使上，要使ABDACEABDACE，则只需添加一个适当的条件，则只需添加一个
16、适当的条件 是是_(只填一个即可只填一个即可)答案：答案：开放型问题，答案不唯一，如：开放型问题，答案不唯一，如：BDBDCE CE 解析解析 BDBDCE.CE.理由如下：理由如下：ABABACAC，BBCC，ABDACE(SAS)ABDACE(SAS)对点训练对点训练专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练5.5.如图，在如图，在RtABCRtABC中，中，CC9090，D D为为ABAB的的 中点，中点，DEACDEAC于点于点E.AE.A3030，ABAB8 8，则，则DEDE的长度是的长度是 _ 2 2 解析解析DD为
17、为ABAB的中点，的中点，ABAB8 8，ADAD4 4，DEACDEAC于点于点E E，AA3030，对点训练对点训练专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练6.6.如图，正方形如图，正方形ABCDABCD的边长为的边长为3cm3cm，E E为为CDCD边上边上 一点，一点，DAEDAE3030，M M为为AEAE的中点，过点的中点，过点M M作直线分别与作直线分别与 ADAD、BCBC相交于点相交于点P P、Q.Q.若若PQPQAEAE，则，则APAP等于等于_cm._cm.对点训练对点训练专题九以特殊三角形为背景的计算与证
18、明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练解析解析 根据题意画出图形，过根据题意画出图形，过P P作作PNBCPNBC，交，交BCBC于点于点N N，四边形四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，ADADDCDCPNPN，在在RtADERtADE中，中，DAEDAE3030，ADAD3 3，RtADERtPNQ(HLRtADERtPNQ(HL)，对点训练对点训练专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练DEDENQNQ，DAEDAENPQNPQ3030，PNDCPNDC，PFAPFADEADEA60
19、60，PMFPMF9090，即，即PMAFPMAF，由对称性得到：由对称性得到：APAPDPDPADADAPAP3 32 21.1.综上所述，综上所述，APAP等于等于1cm1cm或或2cm.2cm.对点训练对点训练专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练6.6.如图，正方形如图，正方形ABCDABCD的边长为的边长为3cm3cm，E E为为CDCD边上边上 一点，一点，DAEDAE3030，M M为为AEAE的中点，过点的中点，过点M M作直线分别与作直线分别与 ADAD、BCBC相交于点相交于点P P、Q.Q.若若PQPQA
20、EAE，则，则APAP等于等于_cm._cm.1 1或或2 2 对点训练对点训练专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练7.7.如图，已知：如图，已知：ABCABC中，中，ABABACAC，M M是是BCBC的中点，的中点，D D、E E分别是分别是ABAB、ACAC边上的点，且边上的点，且BDBDCE.CE.求证：求证：MDMDME.ME.证明证明 在在ABCABC中，中，ABABACAC，DBMDBMECMECM，MM是是BCBC的中点，的中点，BMBMCMCM，BDMCEM(SAS)BDMCEM(SAS)，MDMDME.M
21、E.对点训练对点训练专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练8.8.如图，圆柱形容器高为如图，圆柱形容器高为18cm18cm，底面周长为，底面周长为 24cm24cm，在杯内壁离杯底，在杯内壁离杯底4cm4cm的点的点B B处有一滴蜂蜜，此时一处有一滴蜂蜜，此时一 只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm2cm与蜂蜜相对的点与蜂蜜相对的点A A处，处，则蚂蚁从外壁则蚂蚁从外壁A A处到达内壁处到达内壁B B处的最短距离是多少处的最短距离是多少cm?cm?对点训练对点训练专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专
22、题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练解解 如图，将杯子侧面展开，作如图，将杯子侧面展开，作A A关于关于EFEF的对称点的对称点AA，连接连接ABAB，则，则ABAB即为最短距离，即为最短距离，在在RtABDRtABD中，中，即蚂蚁从外壁即蚂蚁从外壁A A处到达内壁处到达内壁B B处处的最短距离是的最短距离是20cm.20cm.对点训练对点训练专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练9.9.如图，如图，ABCABC中，中，ABABACAC，AA3636，称满，称满 足此条件的三角形为黄金等腰三角形
23、请完成以下操作：足此条件的三角形为黄金等腰三角形请完成以下操作：(画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数 均不包括均不包括ABC)ABC)(1)(1)在图在图1 1中画中画1 1条线段，使图中有条线段，使图中有2 2个等腰三角形，并直个等腰三角形，并直 接写出这接写出这2 2个等腰三角形的顶角度数分别是个等腰三角形的顶角度数分别是_ 度和度和_度；度；对点训练对点训练专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练(2)(2)在图在图2 2中画中画2 2条线段，使图中有条线段，使
24、图中有4 4个等腰三角形；个等腰三角形；(3)(3)继续按以上操作发现：在继续按以上操作发现：在ABCABC中画中画n n条线段，则图中条线段，则图中 有有_个等腰三角形，其中有个等腰三角形，其中有_个黄金等个黄金等 腰三角形腰三角形 对点训练对点训练专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练解解 (1)(1)如答图如答图1 1所示：所示：ABABACAC，AA3636，当当AEAEBEBE时，时，AAABEABE3636，AEBAEB108108，EBCEBC3636，这这2 2个等腰三角形的顶角度数分别是个等腰三角形的顶角度数
25、分别是108108度和度和3636度度对点训练对点训练专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练(2)(2)如答图如答图2 2所示所示(3)(3)如答图如答图3 3所示：画所示：画1 1条直线可得到条直线可得到2 2个等腰三角形；个等腰三角形；画画2 2条直线可得到条直线可得到4 4个等腰三角形；个等腰三角形；画画3 3条直线可得到条直线可得到6 6个等腰三角形；个等腰三角形；故在故在ABCABC中画中画n n条线段，则图中有条线段，则图中有2n2n个等腰三角形，其中个等腰三角形，其中有有n n个黄金等腰三角形个黄金等腰三角形 对
26、点训练对点训练专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练10.10.如图，如图，ABCABC中，中，BACBAC9090，ABABACAC，ADAD BC BC，垂足是，垂足是D D，AEAE平分平分BADBAD，交，交BCBC于点于点E.E.在在ABCABC外有一外有一 点点F F，使，使FAAEFAAE，FCBC.FCBC.(1)(1)求证：求证：BEBECFCF；(2)(2)在在ABAB上取一点上取一点M M，使，使BMBM2DE2DE，连接，连接MCMC，交，交ADAD于点于点N N，连，连 接接ME.ME.求证：求证：M
27、EBCMEBC；DEDEDN.DN.对点训练对点训练专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练证明证明 (1)BAC(1)BAC9090，ABABACAC，BBACBACB4545，FCBCFCBC，BCFBCF9090，ACFACF909045454545，BBACFACF，BACBAC9090，FAAEFAAE，BAEBAECAECAE9090，CAFCAFCAECAE9090，BAEBAECAFCAF，ABEACF(ASA)ABEACF(ASA)，BEBECF.CF.对点训练对点训练专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九
28、以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练(2)(2)如图，过点如图，过点E E作作EHABEHAB于于H H，则则BEHBEH是等腰直角三形，是等腰直角三形，HEHEBHBH，BEHBEH4545，AEAE平分平分BADBAD，ADBCADBC，DEDEHEHE，DEDEBHBHHEHE，BMBM2DE2DE，HEHEHMHM，HEMHEM是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，MEHMEH4545，BEMBEM454545459090MEBC.MEBC.对点训练对点训练专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练CEACEA180180454567.567.567.567.5，CAECAECEACEA67.567.5，ACACECEC，RtACMRtECM(HLRtACMRtECM(HL)，对点训练对点训练专题九以特殊三角形为背景的计算与证明专题九以特殊三角形为背景的计算与证明 题型分类题型分类对点训练对点训练DAEDAEECMECM，BACBAC9090，ABABACAC，ADBCADBC，ADADCDCDBDBD，ADECDN(ASA)ADECDN(ASA)，DEDEDN.DN.对点训练对点训练