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1、定积分(4)定积分的几何意义定积分的几何意义:3/15/20232曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值abxyooyabxb03/15/202333.3.定积分的性质定积分的性质:3/15/20234反之不然反之不然3/15/202353/15/202384.4.定积分的计算方法定积分的计算方法（1）NewtonLeibniz公式：公式：注注1：3/15/20239注注2 NewtonLeibniz公式表明：公式表明：(2)求定积分问题转化为求原函数不定积分求定积分问题转化为求原函数不定积分的问题的问题.(2)(2)定积分的换元积分定积分的换元积分3/15/20
2、2310注：变量不必回代；用凑微分法求定积分时若用同注：变量不必回代；用凑微分法求定积分时若用同除法（同除一因子），此因子在积分范围内不能为除法（同除一因子），此因子在积分范围内不能为0.0.（3 3）定积分的分部积法）定积分的分部积法注：注：u,dv 的选取与不定积分相同；的选取与不定积分相同；若被积函数中含有变上限积分或被积函数的若被积函数中含有变上限积分或被积函数的导数时一般用分部积分。导数时一般用分部积分。125.5.广义积分广义积分(1)无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分3/15/202311(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分(瑕积分瑕积分)注：注：广义积分的计算转化为
3、计算一个定积分的广义积分的计算转化为计算一个定积分的极限，极限存在时收敛，极限不存在时发散；极限，极限存在时收敛，极限不存在时发散；（3 3）性质：）性质：1233/15/202312分部积分公式分部积分公式45也有相应的换元法；也有相应的换元法；67893/15/202313记住以下几个广义积分的敛散性：记住以下几个广义积分的敛散性：3/15/202314利用以上结论可直接判定一些广义积分的敛散性利用以上结论可直接判定一些广义积分的敛散性:3/15/2023156.6.微积分的常用公式微积分的常用公式奇函数奇函数偶函数偶函数(2)若若,则则3/15/2023163/15/202317二、基本
4、问题及解法二、基本问题及解法问题问题(一一)有关变限积分函数的运算有关变限积分函数的运算进行运算时要注意：（1）若被积函数中含量x的因子，则要移出积分号，即（2）若被积函数中含x的项，则要拆成两个积分，即3/15/202318（3）若被积函数是x,t的函数，则要通过换元将X换至积分限中，即3/15/2023193/15/2023203/15/202321问题问题(二二)：定积分的计算定积分的计算3/15/202322例例1.当被积函数在积分区间上连续，或出现有限个第一类间断点时，可直接或分段利用牛顿莱布尼兹公式积分.当被积函数出现绝对值、分段函数以及要开方的函数形式时，必须注意被积函数在不同积
5、分区间所取的正负号或不同的表达式.3/15/202323例例3.求求解：由于被积函数解：由于被积函数例例2.3/15/2023243/15/2023253/15/2023263/15/202327例例1 计算计算解解:设当当时,;当时,于是于是,3/15/202328例例2 计算计算解解 设设3/15/202329定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式的适用范围及使用方法定积分的分部积分公式的适用范围及使用方法与不定积分类同与不定积分类同 例例1 计算计算3/15/202330例例2 计算解解3/15/202331解解 令 例例3.计算3/15/2023323/15/20
6、2333例7.计算分析：先利用变量代换化简被积函数.解1：原式解2：令原式3/15/202334解3.令原式3/15/202335解4.令原式解5.令原式3/15/202336注注:仅当右端两个极限都存在时仅当右端两个极限都存在时,左端的积分才收敛左端的积分才收敛.3/15/202337例例1.计算计算解解xyo1A另解另解例例2.计算计算3/15/202338另解另解2.2.无界函数的广义积分（瑕积分）无界函数的广义积分（瑕积分）3/15/202339注注1;右端的极限存在时右端的极限存在时,左端的广义积分收敛左端的广义积分收敛,否则发散否则发散.注注2：当且仅当上述两个极限同时存在时：当且
7、仅当上述两个极限同时存在时,广义积分收敛广义积分收敛例例3:计算广义积分计算广义积分解解:因因所以所以3/15/202340另解另解例4.计算积分解：原式其中3/15/202341因此，3/15/202342问题问题(三三)定积分的应用定积分的应用1.1.面积的基本公式面积的基本公式o3/15/202343oo3/15/202344oo3/15/2023452.2.求面积的步骤求面积的步骤:3/15/202346 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台2.2.旋转体体积的基本公式旋转体体积的基本公式3/15/202347o(底在坐标
8、轴的曲边梯形底在坐标轴的曲边梯形)(化为底在坐标轴的曲边化为底在坐标轴的曲边梯形旋转梯形旋转)3/15/202348oo3/15/202349得交点得交点(0,0)和和(1,1)解方程组解方程组另解另解.计算抛物线计算抛物线与直线与直线所围成图形的面积所围成图形的面积.例例画草图画草图.解解.例例所围成图形的面积所围成图形的面积.计算由计算由画草图画草图.解解3/15/202350得交点得交点由由所求面积为所求面积为:-24或或例3.设D表示由两条抛物线所围成的区域，求D的面积和D绕X轴旋转所得的旋转体的体积.3/15/202351解：画D的草图如下；3/15/202352例例4.求圆形求圆形
9、绕绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积轴旋转而成的旋转体的体积.yxo312-2解解.所求体积为所求体积为:3/15/202353201面积面积3/15/2023543/15/2023553/15/202356问题问题(四四)与定积分有关的证明题与定积分有关的证明题3/15/2023573/15/2023583/15/2023593/15/202360又又例例4.设设 在在 上连续，上连续，求证：求证：证明：因为证明：因为 在在 上连续，所以上连续，所以在在 上取得最小值上取得最小值 和最大值和最大值 ，即，即3/15/202361由闭区间上连续函数的介值定理，知存在点使令则有3/15/20236
10、23/15/202363三、课后练习三、课后练习3/15/2023647.设2提示：左有个原函数提示：先求，再用分部积分法.3/15/202365提示：原式10.设提示：令23/15/202366提示：原式提示：令3/15/202367A16.曲线轴所围图形面积可表为（D ）14.函数 在区间 上的平均值为（提示：）3/15/202368提示：曲线与x轴有3个交点再根据积分的几何意义易知17.设函数 上有连续的导数，无零点且分析：作换元3/15/20236918.设函数 的一个原函数为 ，则分析：因为故选（D）19.设 是 点到离它最近的整数点的距离，则分析：由题设可知函数 的表达式为3/15
11、/202370其中Z为整数集合，易知 是周期为1的连续函数，且在0，1上的表达式为由周期函数的定积分公式得3/15/20237120.设函数 由方程 所确定，则分析：两边对x求导，得3/15/2023723/15/2023733/15/2023743/15/20237525.求由方程所确定的隐函数的极值.解：由等式知又在等式两边对x求导，得可知隐函数y有惟一极小值点 且知极小值为 3/15/202376 解：的的切线方程为故过点（1，0）即26.求曲线 及其在点（1，0）处的切线和 轴所围平面图形的面积.27.收敛,则P的取值范围为_.3/15/202377分析:28.设则上（D ）（A）连续
12、且为正；（B）连续且非负；（C）可积且为正；（D）有值大于零的点.分析：用图示法排除不正确的选项.3/15/202378由图1可排除（A）、（B）+-图1由图2可排除（C），从而（D）正确.对于（D），如果不存在值大于零的点，则有，从而因此 选（D）3/15/20237929.求由曲线 及直线所围平面图形的面积，并求由此图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积.解：如图3/15/202380（2）3/15/20238130.设满足曲线以及坐标轴所围图形的面积为2.（1）求绕x轴旋转一周所得体积最小.（2）为何值时所围图形解：（1）当 时，由方程得即故3/15/202382又是极小值点也是最小值点.31.求曲线与直线所围平面图形的面积.（答：125/48）3/15/20238332.求曲线绕x轴旋转一周所得的延展到无限处的旋转体体积.提示：（计算一个广义积分）3/15/20238433.曲线围成一个以 为底的曲边梯形，其面积与的平方成正比，求曲线方程.提示：由题意，有两边对x求导，得将所求曲线为3/15/20238534.计算下列积分3/15/20238635.完成下列填空（1）若提示：设两边积分可得A.（2）设则2（3）设0，13/15/20238736.设提示：令37.分析：3/15/202388