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1、2-4随机变量函数及概率分布一一.随机变量函数的概念随机变量函数的概念设有函数设有函数其定义域为随机变量其定义域为随机变量X的一切可能的一切可能取值构成的集合，取值构成的集合，如果对于如果对于X的每一个可能取值的每一个可能取值x，个随机变量个随机变量Y相应的取值为相应的取值为y=g(x),则称则称Y为为X的函数。的函数。另一另一记为：记为：随机变量函数的分布随机变量函数的分布本节的任务是本节的任务是：已知随机变量已知随机变量X的概率分布，并已知的概率分布，并已知Y=g(X),),要求随机变量要求随机变量Y的概率分布的概率分布2二、离散型随机变量的函数二、离散型随机变量的函数随机变量函数的分布随
2、机变量函数的分布设设X是离散型随机变量，其分布律：是离散型随机变量，其分布律：因因Y=g(X X),则则Y的概率分布为的概率分布为PY=g(xi)=pi3说明：说明：1.若随机变量若随机变量X是离散型，则随机变量函是离散型，则随机变量函数数Y也离散型。也离散型。2.由于随机变量由于随机变量Y Y在取值上有可能相等，在取值上有可能相等，则有则有随机变量函数的分布随机变量函数的分布问：若随机变量问：若随机变量X是连续型，则随机变量函数是连续型，则随机变量函数Y是是否连续型。否连续型。4例例2 设有随机变量设有随机变量X的分布律为的分布律为pkX-1 0 1 20.2 0.3 0.1 0.4所以，所
3、以，PY=0PY=1PY=4=PX=0+PX=2=0.3+0.4=0.7,=PX=-1=0.2,pkY 0 1 40.1 0.7 0.2Y的分布律为：的分布律为：=PX=1=0.1,随机变量函数的分布随机变量函数的分布随机变量随机变量Y=(X-1)2,试求试求Y的分布律的分布律.随机变量随机变量Y=(X-1)2的可能取值是的可能取值是0,1,46三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布设设X是连续型随机变量，其概率密度函数为是连续型随机变量，其概率密度函数为fX(x)而设而设y=g(x)是是X的连续函数，的连续函数，Y=g(X)是连续型随机是连续型随机变量。变量。解解 题题 思
4、思 路路随机变量函数的分布随机变量函数的分布1.先求先求Y=g(X)的分布函数的分布函数.求求Y=g(X)的密度函数的密度函数fY(y)FY(y)利用利用Y=g(X)的分布函数与密度函数的关系的分布函数与密度函数的关系7例例3 设有随机变量设有随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为解：解：(1)先求先求 Y=X-4 的分布函数的分布函数 FY(y)：随机变量函数的分布随机变量函数的分布随机变量随机变量Y=X-4,试求试求Y的概率密度的概率密度8 整理得整理得Y Y=X X-4-4 的概率密度为：的概率密度为：本例用到变限的定积分的求导公式本例用到变限的定积分的求导公式随机变量函数的分布随机
5、变量函数的分布（）利用（）利用FY(y)fY(y)有，有，9例例4 4 设有随机变量设有随机变量X X的概率密度函数为的概率密度函数为解：解：先求先求Y=X2 的分布函数的分布函数 FY(y)：求求 Y=X2的概率密度的概率密度.不可能事件不可能事件随机变量函数的分布随机变量函数的分布因因 FY(y)fY(y)10说明：说明：设设 XN(0,1),其概率密度为：其概率密度为：则则 Y=X2的概率密度为：的概率密度为：说明：说明：Y服从自由度为服从自由度为1的的2-分布分布随机变量函数的分布随机变量函数的分布11定理定理 设设X 是概率密度函数为是概率密度函数为fX(x)(aXb)的连续型随机变
6、量，的连续型随机变量，量量,其概率密其概率密度为度为随机变量函数的分布随机变量函数的分布其它区间为零其它区间为零,(a可以是可以是-,b可以是可以是+).g(x)在在(a,b)内内严严格格单调单调若函数其反函数若函数其反函数x=h(y)有连续导数有连续导数,则则Y=g(X)是一个连续随机变是一个连续随机变证明证明:设随机变量设随机变量Y=g(X)的分布函数为的分布函数为FY(y),则有则有 12随机变量函数的分布随机变量函数的分布 因随机变量因随机变量X在区间在区间(a,b)上变化时上变化时,随机变量随机变量Y在区间在区间()上上变变化化.其中其中 不妨设不妨设g(x)是严格单调增加的函数是严
7、格单调增加的函数13例例5 设随机变量设随机变量XN(,2 2),),试求随机变量试求随机变量Y=eX的的随机变量函数的分布随机变量函数的分布因为因为XN(,2 2),),X X的概率密度函数的概率密度函数14例例6 设随机变量设随机变量XN(,2 2),),试证明试证明X的线性函数的线性函数Y=aX+b（a不等于不等于0 0）也服从正态分布。）也服从正态分布。证证:X 的概率密度为的概率密度为由定理得：由定理得：随机变量函数的分布随机变量函数的分布15小结：小结：1 一般情形下求随机变量函数的分布一般情形下求随机变量函数的分布。2 在函数变换严格单调时利用定理求随机变量函数在函数变换严格单调
8、时利用定理求随机变量函数 的分布。的分布。重点：重点：掌握一般情形下求随机变量函数分布的方掌握一般情形下求随机变量函数分布的方法：法：先求分布函数，再求导，求随机变量函数的先求分布函数，再求导，求随机变量函数的概率密度。概率密度。随机变量函数的分布随机变量函数的分布16 1 1 会用随机变量表示随机事件。会用随机变量表示随机事件。2 2 理解分布函数的理解分布函数的定义及性质，要会利用分布定义及性质，要会利用分布 函数表示事件的概率。函数表示事件的概率。3 3 理解离散型随机变量及其分布率的定义、性理解离散型随机变量及其分布率的定义、性 质，会求离散型随机变量的分布率及分布函质，会求离散型随机
9、变量的分布率及分布函 数，掌握常用的离散型随机变量分布：两点分数，掌握常用的离散型随机变量分布：两点分 布、二项分布、泊松分布。布、二项分布、泊松分布。4 4 理解连续型随机变量及概率密度的定义、性理解连续型随机变量及概率密度的定义、性 质，要掌握概率密度与分布函数之间关系及其质，要掌握概率密度与分布函数之间关系及其 运算，掌握常用的连续型随机变量分布：均匀运算，掌握常用的连续型随机变量分布：均匀 分布、指数分布和正态分布。分布、指数分布和正态分布。5 5 会求随机变量的简单函数的分布会求随机变量的简单函数的分布。本章要求：本章要求：随机变量函数的分布随机变量函数的分布17作业：作业：P59,33,35,36,3718