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1、4.4 三角函数的最值与综合应用高考数学高考数学考点三角函数的最值与综合应用考点三角函数的最值与综合应用1.用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式(1)y=asinx+bcosx=sin(x+),其中cos=,sin=.(2)y=或y=可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式,或转化为sinx=f(y)或cosx=f(y)的形式,由正、余弦函数的有界性求解.2.用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式(1)y=asin2x+bcosx+c(a0)可转化为关于cosx的二次函数.(2)y=asinx+(a,b,c0),令sinx=t,则转化为求y=at+(-1t1且t0)的最值,一般可利用
2、图象求解.知识清单3.用解析法求三角函数的最值常见的函数形式y=或y=(ab0)可转化为椭圆上的动点与定点连线斜率的最值问题.4.三角函数的实际应用是指用三角函数理论解答生产、科研和日常生活中的实际问题.三角函数应用题的特点:(1)实际问题的意义反映在三角形中的边角关系上,这样的三角形有直角三角形、斜三角形,有时一个问题中既有直角三角形又有斜三角形;(2)函数的模型多种多样.关于三角函数值域或最值的解题策略关于三角函数值域或最值的解题策略求三角函数的值域或最值,除了判别式、基本不等式、单调性等方法之外,结合三角函数的特点,还有如下常用方法:1.涉及正、余弦函数以及asin+bcos=sin(+
3、)的都可考虑利用有界性处理.2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x+cy=Asin2x+Bcos2x+C=sin(2x+)+C,再利用有界性处理.3.形如y=asin2x+bcosx+c或y=acos2x+bsinx+c(a0)的函数求最值时都可进行适当变换,通过配方来求解.4.sinxcosx,sinxcosx在关系式中出现时,可考虑用换元法处理,如令t=方法技巧方法1sinx+cosx,则sinxcosx=.把三角问题转化为代数问题解决.5.形如y=(ab0)的函数,可考虑数形结合(常用到直线斜率的几何意义).6.形如y=x+或能确定在所给区间上单调性的函数,可考虑利用单调性
4、求解.例1(2017浙江名校协作体,18)已知00),使其在区间0,1上恰好出现2017次最大值,求m的取值范围.解题导引(1)由二倍角公式和两角和的余弦公式把函数解析式化简利用单调性得结论(2)通过函数变换把问题转化为函数y=sin2mx在闭区间0,1上的最小值的个数问题利用三角函数的周期性,把问题转化为区间0,1内包含的周期的个数问题解不等式得结论解析(1)f(x)=cos+sin2x=cos2xcos-sin2xsin+=-sin2x.令2k+2x2k+,kZ,得k+xk+,kZ,所以函数f(x)的单调递增区间为,kZ.(2)设变换后的图象对应的函数为g(x),则g(x)=f(mx)=-sin2mx,要使g(x)在区间0,1上恰好出现2017次最大值,仅需函数g1(x)=sin2mx在区间0,1上恰好出现2017次最小值,故T+2016T1T+2017T,所以T,即,解得m,所以m的取值范围是.