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1、.1/8 高考数学中的内切球和外接球问题 一、有关外接球的问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以与化归能力.研究多面体的外接球问题,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识,并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系,而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法 1、求正方体的外接球的有关问题 例 1 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为_.例 2 一个正方体的各顶点均在同
2、一球的球面上,若该正方体的表面积为24,则该球的体积为_.2、求长方体的外接球的有关问题 例 3 一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则此球的表面积为.例 4 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面积为 .A.16 B.20C.24 D.32 3.求多面体的外接球的有关问题.2/8 例 5 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为89,底面周长为3,则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为x,高为h,则有 正六棱柱的底面圆的半径21r,球心到底面的距离23d
3、.外接球的半径22drR.体积：334RV.小结 本题是运用公式222drR求球的半径的,该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法 1、构造正方体 例 5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是_.例 3 若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是 .故其外接球的表面积942rS.小结：一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为cba,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R,则有2222cbaR.出现墙角结构利用补形知识,联系长方体.原理：长方体中从一个顶点出发的三
4、条棱长分别为cba,则体对角线长为222cbal,几何体的外接球直径为R2体对角线长l 即.3/8 2222cbaR 练习：在四面体ABCD中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分别为3,6,1,若该四面体的四个顶点在一个球面上,求这个球的表面积.球的表面积为1642RS 例 6 一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为 A.3 B.4 C.33 D.6 例 7 已知球O的面上四点 A、B、C、D,ABCDA平面,BCAB,3BCABDA,则球O的体积等于.解析：本题同样用一般方法时,需要找出球心,求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径,由于ABCDA平面,B
5、CAB,联想长方体中的相应线段关系,构造如图 4 所示的长方体,又因为3BCABDA,则此长方体为正方体,所以CD长即为外接球的直径,利用直角三角形解出3CD.故球O的体积等于29.如图 4 2、例 820#高考题已知点 A、B、C、D 在同一个球面上,BCDAB平面,BCDC,若8,132,6ADACAB,则球的体积是 解析：首先可联想到例 7,构造下面的长方体,于是AD为球的直径,O 为球心,4OCOB为半径,要求 B、C 两点间的球面距离,只要求出BOC即可,在ABCRt中,求出4BC,所以60BOC,故 B、C 两点间的球面距离是34.如图 5 本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半
6、径大小的问题.DACBO图 4 ACBDO图 5.4/8 三.多面体几何性质法 例.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是 A.16 B.20 C.24 D.32.小结:本题是运用正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径这一性质来求解的.四.寻求轴截面圆半径法 例正四棱锥ABCDS 的底面边长和各侧棱长都为2,点DCBAS,都在同一球面上,则此球的体积为 解:设正四棱锥的底面中心为1O,外接球的球心为O,如图 1 所示.由球的截面的性质,可得ABCDOO平面1.又ABCDSO平面1,球心O必在1SO所在的直线上.ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆,
7、外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC中,由222,2,2ACSCSAACSCSA得,为斜边的直角三角形是以ACASC.12AC是外接圆的半径,也是外接球的半径.故34球V.小结:根据题意,我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆,于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法,该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆,从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.CDABSO1图3.5/8 五.确定球心位置法 例 5 在矩形ABCD中,3,4BCAB,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面
8、角DACB,则四面体ABCD的外接球的体积为 A.12125 B.9125 C.6125 D.3125 解:设矩形对角线的交点为O,则由矩形对角线互相平分,可知ODOCOBOA.点O到四面体的四个顶点DCBA,的距离相等,即点O为四面体的外接球的球心,如图 2 所示.外接球的半径25 OAR.故6125343RV球.出现两个垂直关系,利用直角三角形结论.原理：直角三角形斜边中线等于斜边一半.球心为直角三角形斜边中点.例题：已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上,BCAB 且10,51,5,7ACPCPBPA求球O的体积.解：BCAB 且10,51,5,7ACPCPBPA 因为 22210)51(
9、7 所以知:222PCPAAC 所以 PCAP 所以可得图形为：在ABCRt中斜边为AC 在APCRt中斜边为AC 取斜边的中点,在ABCRt中OCOBOA 在APCRt中OCOBOP CAODB图4.6/8 所以在几何体中OAOCOBOP,即为该四面体的外接球的球心 52ACR所以该外接球的体积为3500343RV球 总结斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线.1.#理6 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是 A433 B33 C43 D123 答案 B 2.直三棱柱111ABCABC的各顶点都在同一球面上,若 1
10、2ABACAA,120BAC,则此球的表面积等于.解:在ABC中2ABAC,120BAC,可得2 3BC,由正弦定理,可得ABC 外接圆半径 r=2,设此圆圆心为O,球心为O,在RT OBO中,易得球半径5R,故此球的表面积为2420R.3 正三棱柱111ABCABC内接于半径为2的球,若,A B两点的球面距离为,则正三棱 柱的体积为 答案 8 4.表面积为2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为 A23 B13 C23 D2 23 答案 A.7/8 解析此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形,所以由2382 34a知,1a,则此球的直径为2,故选 A.5.已知正方体外接
11、球的体积是332,那么正方体的棱长等于 A.22 B.332 C.324 D.334 答案 D 6.2006#卷正方体的内切球与其外接球的体积之比为 A.13B.13 C.133D.19 答案 C 7.2008#、#理 科 一 个 六 棱 柱 的 底 面 是 正 六 边 形,其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为98,底面周长为 3,则这个球的体积为 答案34 8.2007#理12 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱 的长分别为 1,2,3,则此球的表面积为 答案14 9.2007 全国理15一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm的球面
12、上.如果正四 棱柱的底面边长为 1cm,那么该棱柱的表面积为 cm2.答案24 2.8/8 10.2006#如图,半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF,则此正六棱 锥的侧面积是_ 答案6 7 11.#省#一中 2009 届高三数学上学期第一次月考 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中 三角形的面积是.答案2 12.2009 枣庄一模一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为 A3B2 C316D以上都不对 答案 C 13.设正方体的棱长为错误!,则它的外接球的表面积为 A38 B2 C4D34 答案 C A B C P D E F