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1、高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球. 有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点， 也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识， 又要运用球的知识， 并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法 (公式法 ) 1、求正方体的外接球的有关问题例 1 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上， 则该球的表面积为_ . 例 2 一个正方体的
2、各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为 _. 2、求长方体的外接球的有关问题例 3 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为. 例 4 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为 16，则这个球的表面积为（）. A. 16B. 20C. 24D. 32精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页3.求多面体的外接球的有关问题例 5 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面， 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周
3、长为3，则这个球的体积为. 解 设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有hxx24368936213xh正六棱柱的底面圆的半径21r， 球心到底面的距离23d.外接球的半径22drR. 体积：334RV. 小结本题是运用公式222drR求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式 . 二、构造法 (补形法 )1、构造正方体例 5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 _. 例 3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是. 故其外接球的表面积942rS. 小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为cba,，则就可以将这个三棱锥补
4、成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R， 则有2222cbaR. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为cba,，则体对角线长为222cbal，几何体的外接球直径为R2体对角线长l即2222cbaR练习：在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3 ,6, 1，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。球的表面积为1642RS例 6 一个四面体的所有棱长都为2，
5、 四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A. 3B. 4C. 33D. 6例 7 已知球O的面上四点 A、B、C、D，ABCDA平面，BCAB，3BCABDA，则球O的体积等于. 解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于ABCDA平面，BCAB，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4 所示的长方体，又因为3BCABDA，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解出3CD.故球O的体积等于29.（如图 4）DACBO图 4 ACBDO图 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
6、- - - - -第 3 页，共 9 页2、例 8（2008 年安徽高考题）已知点A、B、C、D 在同一个球面上，BCDAB平面，BCDC，若8,132,6ADACAB，则球的体积是解析：首先可联想到例7，构造下面的长方体，于是AD为球的直径，O 为球心，4OCOB为半径，要求 B、C 两点间的球面距离，只要求出BOC即可，在ABCRt中，求出4BC，所以60BOC，故 B、C 两点间的球面距离是34.（如图 5）本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。三.多面体几何性质法例.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16B.20C.24D.
7、32. 小结:本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的 . 四.寻求轴截面圆半径法例正四棱锥ABCDS的底面边长和各侧棱长都为2，点DCBAS,都在同一球面上，则此球的体积为解:设正四棱锥的底面中心为1O，外接球的球心为O，如图 1 所示.由球的截面的性质，可得ABCDOO平面1. 又ABCDSO平面1，球心O必在1SO所在的直线上 . ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径. 在ASC中，由222,2,2ACSCSAACSCSA得，CDABSO1图3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
8、- -第 4 页，共 9 页为斜边的直角三角形是以 ACASC. 12AC是外接圆的半径，也是外接球的半径.故34球V. 小结:根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆， 于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习. 五 .确定球心位置法例 5 在矩形ABCD中，3,4 BCAB， 沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角DACB，则四面体ABCD的外接球的体积为A.12125B.9125C
9、.6125D.3125解:设矩形对角线的交点为O， 则由矩形对角线互相平分，可知ODOCOBOA.点O到四面体的四个顶点DCBA,的距离相等，即点O为四面体的外接球的球心，如图2 所示.外接球的半径25OAR.故6125343RV球. 出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。CAODB图4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，BCAB且10,51, 5,7ACPCPBPA求球O的体积。解：BCAB且10,51
10、,5,7ACPCPBPA因为22210)51(7所以知 :222PCPAAC所以PCAP所以可得图形为：在ABCRt中斜边为AC在APCRt中斜边为AC取斜边的中点，在ABCRt中OCOBOA在APCRt中OCOBOP所以在几何体中OAOCOBOP，即为该四面体的外接球的球心52ACR所以该外接球的体积为3500343RV球【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页1. （陕西理? 6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，
11、则该正三棱锥的体积是（）A433 B33 C43 D123答案B2. 直三棱柱111ABCA B C的各顶点都在同一球面上，若12ABACAA,120BAC，则此球的表面积等于。解:在ABC中2ABAC,120BAC,可得2 3BC,由正弦定理 ,可得ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O，球心为O，在RT OBO中，易得球半径5R，故此球的表面积为2420R.3正三棱柱111ABCA B C内接于半径为2的球，若,A B两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为答案8 4. 表面积为2 3的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A23 B13 C23 D2 23答案A 【解析】 此正八
12、面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由2382 34a知，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页1a，则此球的直径为2，故选 A。5. 已知正方体外接球的体积是332，那么正方体的棱长等于（）A.22B.332C.324D.334答案D 6. （2006 山东卷） 正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A. 13B. 13 C. 133D. 19 答案C7. （ 2008 海 南 、 宁 夏 理 科 ） 一 个 六 棱 柱 的 底 面 是 正 六 边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该 六
13、棱 柱 的体 积 为98， 底 面 周 长 为3， 则这 个 球 的 体 积 为答案348. （2007 天津理? 12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为答案149. （2007 全国理? 15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为cm2. 答案24 210.（2006 辽宁） 如图，半径为2 的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是 _答案6 711. （辽宁省抚顺一中2009 届高三数学上学期第一次月考）棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形 (正四面体的截面 ) 的面积是 . 答案212.（2009 枣庄一模） 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A3B2C316D以上都不对答案 C 13.设正方体的棱长为2 33，则它的外接球的表面积为（）A38B2C4 D34答案 CA B C P D E F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页