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1、 一、等差数列选择题 1已知等差数列na，且35710133248aaaaa，则数列na的前 13 项之和为（）A24 B39 C104 D52 解析：D【分析】根据等差数列的性质计算求解【详解】由题意35710134104107323 22 36()1248aaaaaaaaaa ，74a，11313713()13134522aaSa 故选：D 2已知等差数列 na中，7916aa，41a，则12a的值是（）A15 B30 C3 D64 解析：A【分析】设等差数列 na的公差为d，根据等差数列的通项公式列方程组，求出1a和d的值，12111aad，即可求解.【详解】设等差数列 na的公差为d，
2、则111681631adadad，即117831adad 解得：174174da，所以12117760111115444aad，所以12a的值是15，故选：A 3在数列 na中，11a，且11nnnaana，则其通项公式为na（）A211nn B21 2nn C22 1nn D22 2nn 解析：D【分析】先由11nnnaana得出111nnnaa，再由累加法计算出2122nnna，进而求出na.【详解】解：11nnnaana，11nnnanaa，化简得：11nnnnaaaan，两边同时除以1nna a并整理得：111nnnaa，即21111aa，32112aa，43113aa，1111(2,
3、)nnnnnzaa，将上述1n 个式子相加得：213243111111+aaaaaa111123nnaa 1n，即111(1)2nn naa，2111(1)(1)2=1(2,)222nn nn nnnnnzaa，又111a也满足上式，212()2nnnnza，22()2nanznn.故选：D.【点睛】易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n，要注意检验首项是否符合.4在等差数列 na中，3589133224aaaaa，则此数列前 13 项的和是（）A13 B26 C52 D56 解析：B【分析】利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果.【详解】由等差数列的性质，可得35
4、42aaa，891371013103aaaaaaa，因为3589133224aaaaa，可得4103 22 324aa，即4104aa，故数列的前 13 项之和11341013131313 426222aaaaS.故选：B.5等差数列 na的前 n 项和为nS，且132aa，422aa，则5S（）A21 B15 C10 D6 解析：C【分析】根据已知条件得到关于首项1a和公差d的方程组，求解出1,a d的值，再根据等差数列前n项和的计算公式求解出5S的值.【详解】因为134222aaaa，所以122222add，所以101ad，所以515 455 0 10 1102Sad ，故选：C.6已知等
5、差数列 na的前n项和为nS，且2nSn.定义数列 nb如下：*1mmbmmN是使不等式*nam mN成立的所有n中的最小值，则13519 bbbb（）A25 B50 C75 D100 解析：B【分析】先求得21nan，根据nam，求得12mn，进而得到21212kkb，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，等差数列 na的前n项和为nS，且2nSn，可得21nan，因为nam，即21nm，解得12mn，当21mk，（*kN）时，1mmbkm，即11212mm mmkmbmm，即21212kkb，从而1351911 3519502bbbb.故选：B.7在等差数列 na中，若nS为其
6、前n项和，65a，则11S的值是（）A60 B11 C50 D55 解析：D【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果.【详解】因为在等差数列 na中，若nS为其前n项和，65a，所以1111161111552aaSa.故选：D.8张丘建算经是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元 466-485 年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布 4 尺，20 日共织布 232 尺，则该女子织布每日增加（）尺 A47 B1629 C815 D45 解析：D【分析】设该妇子织布每天增加d尺，由
7、等差数列的前n项和公式即可求出结果【详解】设该妇子织布每天增加d尺，由题意知2020 192042322Sd，解得45d 故该女子织布每天增加45尺 故选：D 9周碑算经有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（）（注：一丈=十尺，一尺=十寸）A一丈七尺五寸 B一丈八尺五寸 C二丈一尺五寸 D二丈二尺五寸 解析：D【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为 na，nS是其前n项和，已知条件为985.5S，1473
8、1.5aaa，由等差数列性质即得5a，4a，由此可解得d，再由等差数列性质求得后 5 项和【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为 na，nS是其前n项和，则19959985.52aaSa（尺），所以59.5a（尺），由题知1474331.5aaaa（尺），所以410.5a（尺），所以公差541daa，则8910111210555522.5aaaaaaad（尺）故选：D 10记nS为等差数列 na的前n项和若5620aa，11132S，则 na的公差为（）A2 B43 C4 D4 解析：C【分析】由等差数列前n项和公式以及等差数列的性质可求得6a，再由等差数列的公式即可求得公差.【详解】
9、解：11111611111322aaSa，612a，又5620aa，58a，654daa.故选：C 11已知等差数列 na前n项和为nS，且351024aaa，则13S的值为（）A8 B13 C26 D162 解析：B【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102aaa转化为410724aaa，再根据11313713132aaSa求解出结果.【详解】因为351041072244aaaaaa，所以71a，又113137131313 1132aaSa，故选：B.【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若*2,mnpqt m n p q tN，（1）当 na为等差数列，则有2mnpqtaaaa
10、a；（2）当 na为等比数列，则有2mnpqtaaaaa.12在等差数列an中，a3+a74，则必有（）Aa54 Ba64 Ca52 Da62 解析：C【分析】利用等差数列的性质直接计算求解【详解】因为 a3+a72a54，所以 a52.故选：C 13为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期 15 天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这 15 天小李同学总共跑的路程为（）A34000米 B36000米 C38000米 D40000米 解析：B【分析】利用等差数列性质得到21200
11、a，143600a，再利用等差数列求和公式得到答案.【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为na，则123233600aaaa，故21200a，13141514310800aaaa，故143600a，则1152141115153600022nSaaaa.故选：B.14设等差数列na的前n项和为nS，公差1d，且6210SS，则34aa（）A2 B3 C4 D5 解析：B【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果.【详解】因为nS为等差数列na的前n项和，公差1d，6210SS，所以6543434343222410aaaaadadaaaa，解得343aa.故选：B.15
12、中国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（）A3 斤 B6 斤 C9 斤 D12 斤 解析：C【分析】根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求234aaa.【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为1a，粗的一端的重量为5a，可知12a，54a，根据等差数列的性质可知1533263aaaa，中间三尺为234
13、339aaaa.故选：C【点睛】本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型.二、等差数列多选题 16(多选)在数列 na中，若221(2,nnaap nnNp为常数)，则称 na为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A若 na是等差数列，则 na是等方差数列 B 1n 是等方差数列 C 2n是等方差数列.D若 na既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 解析：BD【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.【详解】对于 A，若 na是等差数列，如nan，则12222(1)21nnaannn不是常数，故 na不是等方差数
14、列，故 A 错误；对于 B，数列 1n中，2221 21(1)(1)0nnnnaa是常数，(1)n是等方差数列，故 B 正确；对于 C，数列 2n中，2222111223 4nnnnnaa 不是常数，2n不是等方差数列，故 C 错误；对于 D，na是等差数列，1nnaad，则设nadnm，na是等方差数列，222112(2)nnnndnmaaaada dd nmd ddndm是常数，故220d，故0d，所以(2)0md d，2210nnaa是常数，故 D 正确.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判
15、断.17已知数列 na满足：12a，当2n 时，21212nnaa，则关于数列 na的说法正确的是（）A27a B数列 na为递增数列 C221nann D数列 na为周期数列 解析：ABC【分析】由21212nnaa，变形得到1221nnaa，再利用等差数列的定义求得na，然后逐项判断.【详解】当2n 时，由21212nnaa，得21221nnaa，即1221nnaa，又12a，所以2na 是以 2 为首项，以 1 为公差的等差数列，所以22(1)11nann，即221nann，故 C 正确；所以27a，故 A 正确；212nan，所以 na为递增数列，故正确；数列 na不具有周期性，故 D
16、 错误；故选：ABC18题目文件丢失！19已知数列 na中，11a，1111nnaann，*nN.若对于任意的 1,2t，不等式22212natataan 恒成立，则实数a可能为（）A4 B2 C0 D2 解析：AB【分析】由题意可得11111nnaannnn，利用裂项相相消法求和求出122nann，只需222122tataa对于任意的 1,2t恒成立，转化为 210tata对于任意的 1,2t恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111nnnaann，11111(1)1nnaannn nnn，则11111nnaannnn，12111221nnaannnn，2111122aa，上述式子累
17、加可得：111naann，122nann，222122tataa对于任意的 1,2t恒成立，整理得 210tata对于任意的 1,2t恒成立，对 A，当4a 时，不等式2540tt，解集5,42，包含1,2，故 A 正确；对 B，当2a 时，不等式2320tt，解集3,22，包含1,2，故 B 正确；对 C，当0a 时，不等式210tt，解集1,02，不包含1,2，故 C 错误；对 D，当2a 时，不等式2120tt，解集12,2，不包含1,2，故 D 错误，故选：AB.【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.2
18、0若数列 na满足112,02121,12nnnnnaaaaa，135a，则数列 na中的项的值可能为（）A15 B25 C45 D65 解析：ABC【分析】利用数列 na满足的递推关系及135a，依次取1,2,3,4n 代入计算2345,a a a a，能得到数列 na是周期为 4 的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.【详解】数列 na满足112,02121,12nnnnnaaaaa，135a，依次取1,2,3,4,.n 代入计算得，211215aa，32225aa，43425aa，5413215aaa，因此继续下去会循环，数列 na是周期为 4 的周期数列，所有可能取值为：1
19、2 3 4,5 5 5 5.故选：ABC.【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.21已知数列 na满足112a ，111nnaa，则下列各数是 na的项的有（）A2 B23 C32 D3 解析：BD【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为 3 的周期数列，从而可求解结论【详解】因为数列na满足112a ，111nnaa，212131()2a；32131aa；4131112aaa；数列na是周期为 3 的数列，且前 3 项为12，23，3；故选：BD【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题 22已知等差数
20、列 na的前n项和为nS，218a，512a，则下列选项正确的是（）A2d B122a C3430aa D当且仅当11n 时，nS取得最大值 解析：AC【分析】先根据题意得等差数列 na的公差2d ，进而计算即可得答案.【详解】解：设等差数列 na的公差为d，则52318312aadd，解得2d .所以120a，342530aaaa，1111020 1020aad，所以当且仅当10n 或11时，nS取得最大值.故选：AC【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n项和nS的最值问题，是中档题.等差数列前n项和nS的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0ad时，nS有最大值，可以通过nS的二次
21、函数性质求解，也可以通过求满足10na且0na 的n的取值范围确定；（2）当10,0ad时，nS有最小值，可以通过nS的二次函数性质求解，也可以通过求满足10na且0na 的n的取值范围确定；23意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列an称为“斐波那契数列”，记 Sn为数列an的前 n 项和，则下列结论正确的是（）Aa834 BS854 CS2020a20221 Da1a3a5a2021a2022 解析：BCD【分析】由题意可得数列 na满足递推关系12211,1,+3nn
22、naaaaan，依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】对于 A，可知数列的前 8 项为 1，1，2，3，5，8，13，21，故 A 错误；对于 B，81+1+2+3+5+8+13+2154S，故 B 正确；对于 C，可得112nnnaaan，则 1234131425311+nnnaaaaaaaaaaaaaa 即212+1nnnnSaaaa，202020221Sa，故 C 正确；对于 D，由112nnnaaan可得，135202124264202220202022+aaaaaaaaaaaa，故 D 正确.故选：BCD.【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键
23、是得出数列的递推关系，12211,1,+3nnnaaaaan，能根据数列性质利用累加法求解.24等差数列 na的首项10a，设其前n项和为 nS，且611SS，则（）A0d B0d C80a DnS的最大值是8S或者9S 解析：BD【分析】由6111160SSSS，即950a，进而可得答案【详解】解：1167891011950SSaaaaaa，因为10a 所以90a，0d，89SS最大，故选：BD【点睛】本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题 25已知数列 na是递增的等差数列，5105aa，6914aa 12nnnnbaaa，数列 nb的前n项和为nT，下列结论正确
24、的是（）A320nan B325nan C当4n 时，nT取最小值 D当6n 时，nT取最小值 解析：AC【分析】由已知求出数列na的首项与公差，得到通项公式判断A与B；再求出nT，由 nb的项分析nT的最小值【详解】解：在递增的等差数列na中，由5105aa，得695aa，又6914a a ，联立解得62a ，97a，则967(2)3963aad，16525317aad 173(1)320nann 故A正确，B错误；12(320)(317)(314)nnnnba aannn 可得数列 nb的前 4 项为负，第 5 项为正，第六项为负，第六项以后均为正 而5610820bb 当4n 时，nT取最小值，故C正确，D错误 故选：AC【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题