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1、 一、等差数列选择题 1已知等差数列na，且35710133248aaaaa，则数列na的前 13 项之和为（）A24 B39 C104 D52 解析：D【分析】根据等差数列的性质计算求解【详解】由题意35710134104107323 22 36()1248aaaaaaaaaa ，74a，11313713()13134522aaSa 故选：D 2已知正项数列na满足11a，1111114nnnnaaaa，数列 nb满足1111nnnbaa，记 nb的前 n 项和为nT，则20T的值为（）A1 B2 C3 D4 解析：B【分析】由题意可得221114nnaa，运用等差数列的通项公式可得2143
2、nna，求得1(4143)4nbnn，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由11a，1111114nnnnaaaa，得221114nnaa，所以数列21na是以 4 为公差，以 1 为首项的等差数列，所以2114(1)43nnna，因为0na，所以143nan，所以11114143nnnnnbaa，所以11(4143)44143nbnnnn ，所以201220Tbbb 11(51 35133977)(9 1)244 ，故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n项和，解题的关键是由已知条件得221114nnaa，从而数列21na是以 4 为公差，以 1 为首项的等差数
3、列，进而可求143nan，11(4143)44143nbnnnn ，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题 3已知等差数列 na的前n项和为nS，且310179aaa，则19S（）A51 B57 C54 D72 解析：B【分析】根据等差数列的性质求出103a，再由求和公式得出答案.【详解】317102aaa 1039a，即103a 11910191919219 35722aaaS 故选：B 4若数列 na满足121()2nnaanN，且11a，则2021a（）A1010 B1011 C2020 D2021 解析：B【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解.【详
4、解】由121()2nnaanN，则11()2nnaanN，即112nnaa，所以数列 na是以1为首项，12为公差的等差数列，所以11111122nnaandn，所以2021a2021 110112.故选：B 5“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852 年英国来华传教伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874 年，英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被 3 除余 2 且被 7 除余 2 的数按由小到大的顺序排成一列，构成数
5、列 na，则5a（）A103 B107 C109 D105 解析：B【分析】根据题意可知正整数能被 21 整除余 2，即可写出通项，求出答案.【详解】根据题意可知正整数能被 21 整除余 2，21+2nan，521 5+2107a.故选：B.6已知等差数列 na中，161,11aa，则数列 na的公差为（）A53 B2 C8 D13 解析：B【分析】设公差为d，则615aad，即可求出公差d的值.【详解】设公差为d，则615aad，即111 5d，解得：2d，所以数列 na的公差为2，故选：B 7周碑算经有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满
6、、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（）（注：一丈=十尺，一尺=十寸）A一丈七尺五寸 B一丈八尺五寸 C二丈一尺五寸 D二丈二尺五寸 解析：D【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为 na，nS是其前n项和，已知条件为985.5S，14731.5aaa，由等差数列性质即得5a，4a，由此可解得d，再由等差数列性质求得后 5 项和【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为 na，nS是其前n项和，则19959985.52aaSa（尺），所以59.5a（尺），由题知1474331.5aaaa（尺
7、），所以410.5a（尺），所以公差541daa，则8910111210555522.5aaaaaaad（尺）故选：D 8已知等差数列na的前n项和为nS，31567aaa，则23S（）A121 B161 C141 D151 解析：B【分析】由条件可得127a，然后231223Sa，算出即可.【详解】因为31567aaa，所以15637aaa，所以1537ad，所以1537ad，即127a 所以231223161Sa 故选：B 9周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现
8、恰有 30 人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即 1520)，其中年长者年龄介于 90 至 100，其余 29 人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（）A32 B33 C34 D35 解析：D【分析】设年纪最小者年龄为 n，年纪最大者为 m,由他们年龄依次相差一岁得出(1)(2)(28)1520nnnnm，结合等差数列的求和公式得出111429mn，再由90,100m求出n的值.【详解】根据题意可知，这 30 个老人年龄之和为 1520，设年纪最小者年龄为 n，年纪最大者为m，90,100m，则有(1)(2)(28)294061520nnnnmnm 则有291114nm，则111
9、429mn，所以90111429100m 解得34.96635.31n，因为年龄为整数，所以35n.故选：D 10等差数列,nnab的前n项和分别为,nnS T，若231nnanbn，则2121ST的值为（）A1315 B2335 C1117 D49 解析：C【分析】利用等差数列的求和公式，化简求解即可【详解】2121ST12112121()21()22aabb121121aabb1111ab2 113 11 11117.故选 C 11等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a12，S312，则 a6等于（）A8 B10 C12 D14 解析：C【分析】利用等差数列的通项公式即可求解.【详解】
10、an为等差数列，S312，即1232312aaaa，解得24a.由12a，所以数列的公差21422daa，所以112212naandnn，所以62 612a.故选：C 12等差数列 na中，已知14739aaa，则4a（）A13 B14 C15 D16 解析：A【分析】利用等差数列的性质可得1742aaa，代入已知式子即可求解.【详解】由等差数列的性质可得1742aaa，所以1474339aaaa，解得：413a，故选：A 13已知数列na的前n项和为nS，且满足212nnnaaa，534aa，则7S（）A7 B12 C14 D21 解析：C【分析】判断出 na是等差数列，然后结合等差数列的性
11、质求得7S.【详解】212nnnaaa，211nnnnaaaa，数列na为等差数列.534aa，354aa，173577()7()1422aaaaS.故选：C 14等差数列 na中，22a，公差2d，则10S=（）A200 B100 C90 D80 解析：C【分析】先求得1a，然后求得10S.【详解】依题意120aad，所以101104545290Sad.故选：C 15已知各项不为0的等差数列 na满足26780aaa，数列 nb是等比数列，且77ba，则3 8 10b b b（)A1 B8 C4 D2 解析：B【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a，再由等比数列的性质，即可求出结
12、果.【详解】因为各项不为0的等差数列 na满足26780aaa，所以27720aa，解得72a 或70a（舍）；又数列 nb是等比数列，且772ba，所以33 8 1037 1178b b bb b bb.故选：B.二、等差数列多选题16题目文件丢失！17设等比数列 na的公比为q，其前n项和为nS，前n项积为nT，并且满足条件11a，667711,01aa aa，则下列结论正确的是（）A01q B681a a CnS的最大值为7S DnT的最大值为6T 解析：AD【分析】分类讨论67,a a大于 1 的情况，得出符合题意的一项.【详解】671,1aa,与题设67101aa矛盾.671,1,a
13、a符合题意.671,1,aa与题设67101aa矛盾.671,1,aa与题设11a 矛盾.得671,1,01aaq，则nT的最大值为6T.B，C，错误.故选：AD.【点睛】考查等比数列的性质及概念.补充：等比数列的通项公式：1*1nnaa qnN.18已知等差数列 na的前 n 项和为nS，公差为 d，且35a，73a，则（）A12d B12d C918S D936S 解析：BD【分析】由等差数列下标和性质结合前n项和公式，求出9S，可判断 C，D，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出 A，B【详解】因为1937538aaaa，所以19999 83622aaS 因为35a，73a，所以公差7
14、31732aad 故选：BD 19已知等差数列 na的前n项和为nS，218a，512a，则下列选项正确的是（）A2d B122a C3430aa D当且仅当11n 时，nS取得最大值 解析：AC【分析】先根据题意得等差数列 na的公差2d ，进而计算即可得答案.【详解】解：设等差数列 na的公差为d，则52318312aadd，解得2d .所以120a，342530aaaa，1111020 1020aad，所以当且仅当10n 或11时，nS取得最大值.故选：AC【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n项和nS的最值问题，是中档题.等差数列前n项和nS的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10
15、,0ad时，nS有最大值，可以通过nS的二次函数性质求解，也可以通过求满足10na且0na 的n的取值范围确定；（2）当10,0ad时，nS有最小值，可以通过nS的二次函数性质求解，也可以通过求满足10na且0na 的n的取值范围确定；20已知数列 na：1，1，2，3，5，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记nS为数列 na的前n项和，则下列结论正确的是（）A68Sa B733S C13520212022aaaaa D2222123202020202021aaaaaa 解析：BCD【分析】根据题意写出8a，6S，7S，从而判断 A，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形
16、，利用累加法即可判断 C，D 的正误【详解】对 A，821a，620S，故 A 不正确；对 B，761333SS，故 B 正确；对 C，由12aa，342aaa，564aaa，202120222020aaa，可得13520212022aaaaa，故C 正确；对 D，该数列总有21nnnaaa，2121aa a，则22231232 1aaaaa aa a，233423423aaaaa aa a，220182018201920172018201920172018aaaaaaaa，22019a2019202020192018aaaa，220202020202120202019aaaaa，故22221
17、23202020202021aaaaaa，故 D 正确 故选：BCD【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对 CD 的判断，即要善于利用21nnnaaa对所给式子进行变形.21无穷等差数列 na的前 n 项和为 Sn，若 a10，d0，则下列结论正确的是（）A数列 na单调递减 B数列 na有最大值 C数列 nS单调递减 D数列 nS有最大值 解析：ABD【分析】由10nnaad可判断 AB，再由 a10，d0，可知等差数列数列 na先正后负，可判断 CD.【详解】根据等差数列定义可得10nnaad，所以数列 na单调递减，A 正确；由数列 na单调递减，可知数列 na有最大值 a1，故 B 正确
18、；由 a10，d0，可知等差数列数列 na先正后负，所以数列 nS先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确.故选：ABD.22已知无穷等差数列 na的前 n 项和为nS，67SS，且78SS，则（）A在数列 na中，1a最大 B在数列 na中，3a或4a最大 C310SS D当8n时，0na 解析：AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a，80a，即可求公差0d，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为67SS，所以7670SSa，因为78SS，所以8780SSa，所以等差数列 na公差870daa，所以 na是递减数列，故1a最大，选项 A 正确；选项B不正确；1034
19、5678910770SSaaaaaaaa，所以310SS，故选项 C 不正确；当8n时，80naa，即0na，故选项 D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前 n 项和nS，属于基础题.23在数列 na中，若22*1(2,.nnaap nnNp为常数)，则称 na为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A若 na是等差数列，则 na是等方差数列 B(1)n是等方差数列 C若 na是等方差数列，则*,knakNk为常数)也是等方差数列 D若 na既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 解析：BCD【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项
20、逐一判断即可.【详解】对于 A，若 na是等差数列，如nan，则12222(1)21nnaannn不是常数，故 na不是等方差数列，故 A 错误；对于 B，数列 1n中，2221 21(1)(1)0nnnnaa是常数，(1)n是等方差数列，故 B 正确；对于 C，数列 na中的项列举出来是，1a，2a，ka，2ka，数列 kna中的项列举出来是，ka，2ka，3ka，2222222212132221kkkkkkkkaaaaaaaap，将这 k 个式子累加得 2222222212132221kkkkkkkkaaaaaaaakp，222kkaakp，221knk naakp，*(,knakNk 为
21、常数)是等方差数列，故 C 正确；对于 D，na是等差数列，1nnaad，则设nadnm na是等方差数列，222112(2)nnnndnmaaaada dd nmd ddndm是常数，故220d，故0d，所以(2)0md d，2210nnaa是常数，故 D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.24下列命题正确的是（）A给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式 B若等差数列 na的公差0d，则 na是递增数列 C若 a，b，c 成等差数列，则1 1 1,a b c可能成等差数列 D若数列 na是等差数列，则数列12nnaa也是等差数列 解
22、析：BCD【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误.【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d，na必是递增数列；C 选项：1abc时，1111abc是等差数列，而 a=1，b=2，c=3 时不成立；D 选项：数列 na是等差数列公差为d，所以11112(1)223(31)nnaaandandand也是等差数列；故选：BCD【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题.25设等差数列an的前 n 项和为 Sn，公差为 d已知 a312，S120，a70，则（）Aa60 B2437d CSn0 时，n 的最小值为 13
23、 D数列nnSa中最小项为第 7 项 解析：ABCD【分析】S120，a70，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a70，a60再利用 a3a1+2d12，可得247d3a10利用 S1313a70可得 Sn0 时，n 的最小值为 13数列nnSa中，n6 时，nnSa0.7n12 时，nnSa0n13 时，nnSa0进而判断出 D 是否正确【详解】S120，a70，67122aa0，a1+6d0 a6+a70，a602a1+11d0，a1+5d0，又a3a1+2d12，247d3a10 S13113132aa13a70 Sn0 时，n 的最小值为 13 数列nnSa中，n6 时，nnSa0，7n12 时，nnSa0，n13 时，nnSa0 对于：7n12 时，nnSa0Sn0，但是随着 n 的增大而减小；an0，但是随着 n 的增大而减小，可得：nnSa0，但是随着 n 的增大而增大 n7 时，nnSa取得最小值 综上可得：ABCD 都正确 故选：ABCD【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题