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1、课题：13.4 最短路径问题 导学案【教学内容】本节课是八年级上册第十三章第四节的课题学习，学生已经有了两点之间线段最短、三角形三边关系、画轴对称图形和平移等知识基础，以此探究生活中的最短路径问题，本课以轴对称变换和平移变换的方式，把两点一线或两点两线的题转化成“两点在一条直线两侧”的题，用“两点之间线段最短”解决问题.学生难以理解的是求最短路径时如何把多条线段转到一条直线上，所以采用多媒体教学让学生看图得到直观感受，理解折线转直的方法.【教学目标】1.利用轴对称或平移性质将折线转化到同一条直线上，解决最短路径问题；2.通过独立思考、合作探究等方法解决问题，培养学生数学建模能力；3.数学来源于
2、生活并服务于生活，培养学生的数学学习兴趣及解决实际问题的能力.【学习重难点】重点：用所学知识作出最短路径.难点：灵活利用轴对称或平移性质将折线转化到直线上，解决问题并证明.【学情分析】学生已经具备了以下的知识基础：两点之间线段最短、三角形三边关系、画轴对称图形和平移等知识，再准备好铅笔、直尺，就可以进行本节课关于最短距离的探究了.利用三边关系验证最短距离是本节课的难点.老师用多媒体演示不同类型的路径题转化成两点在一条直线异侧的题，引导学生用已学的知识解决问题，演示最短路径与其它路径的动态比较过程，让学生先感受，进而理解其证明方法.【教学策略】启发式教学，多媒体辅助教学 学习过程 导学设计【导学
3、目标】1.利用轴对称或平移性质将折线转化到同一条直线上，解决最短路径问题；2.通过独立思考、合作探究等方法解决问题，培养学生数学建模能力；3.数学来源于生活并服务于生活，培养学生的数学学习兴趣及解决实际问题的能力.【导学重难点】重点：用所学知识解决及证明最短路径问题.难点：灵活利用轴对称或平移性质将折线转化到直线上，解决问题.导学过程 导入：最短路径问题是生活中常见的实际问题.比如人们在选择最短路线、铺设管道、修建道路等方面，如果能够做出最好的选择，就会起到节约人力、物力、财力的作用.这一节课让我们从将军饮马问题入手，一起来探讨“如何设计最短路径”.【探究活动一】复习巩固 引入新知 1.探究问
4、题：如图 1 所示，从 A 地到 B 地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？2.已知：如图 2，A，B 在直线l的两侧，在l上求一点 P，使得 PA+PB 最小.【探究活动二】探究归纳 生成新知 （将军饮马问题）相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？1.抽象问题：你能把这个问题抽象成数学问题吗？【导学一】复习巩固 引入新知 设置意图：通过 3 道题的训练，让学生回顾“两点之间线段最短”“连
5、接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等最短路径问题，为学习新知识做铺垫.操作流程：1.学生独立思考，回答问题；2.老师补充点评.【导学二】探究归纳 生成新知 设置意图：带领学生一起走进故事情境，探索数学家海伦到底怎样应用数学知识解决了将军的问题.操作流程：同桌交流、小组合作等方式分别完成 1-4 题，用所学知识解决问题.问题 1：设计意图：培养学生抽象问题的A B l 我们可以将笔直的河流抽象成一条_，A 地和 B 地抽象成_.请画出图形.这个数学问题可以描述为：如图，点 A，B 在直线 l 的_，点 C 是直线上的一个动点，当点 C 在 l 的什么位置时，_与_ 的和最小？2.
6、转化问题：能否把直线 l 同侧的两点 A，B 转化到直线 l 的异侧呢？(如何将点 B“移”到 l 的另一侧 B处，满足直线 l 上的任意一点 C，都保持 CB 与 CB的长度相等？你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B吗？)问题可转化为：当点 C 在 l 的什么位置时，_+_的和最小？3.解决问题：如图 3，点 A，B 在直线 l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？请画出图形.4.证明结论：如图 4，在直线l上任取一点 C（与点 C 不重合），连接 AC，BC，BC，你能证明 AC+CB A C+CB 吗？能力（两点在一条直线同侧的问
7、题），增强数学建模意识.操作流程：1.同桌交流，讨论问题 1；2.教师随机抽取两名同学回答；3.教师补充并画出图形.问题 2：设计意图：联想旧知，把新知转化成旧知，培养学生(轴对称)转化问题的能力，为解决新问题做准备.操作流程：1.老师用多媒体展示转化过程，引导学生用轴对称性质进行转化；2.学生思考、回答；3.老师点评.问题 3：设计意图：培养学生用旧知（两点之间线段最短）解决新问题的能力，规范作图过程.操作流程：1.同桌讨论交流，选一名代表上台演排，画出最短路径；2.其他小组成员点评；3.老师归纳、小结作法.问题 4：设计意图：培养学生严谨的数学思维能力，会证明解法的正确性.操作流程：1.小
8、组讨论交流，选一名代表上台演排，写出证明过程；2.其他小组成员点评；3.老师归纳、小结标准过程；4.师生一起回顾总结本类题型解决方法.【导学三】拓展探究 深化新知 B 【探究活动三】拓展探究 深化新知 （造桥选址问题）如图，A 和 B 两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN.桥造在何处可使从 A 到 B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）1.抽象问题：你能把这个问题抽象成数学问题吗？我们可以将平行的河岸抽象成两条_，A 地和 B 地抽象成_.请画出图形.这个数学问题可以描述为：如图，N 为直线 b 上的一个动点，MN直线 b，交直线 a 于点 M，当点
9、N 在直线 b的什么位置时，_+_+_最小？2.转化问题：能否把两条直线异侧的两点 A，B 转化到一条直线异侧的两点呢？(将 AM 沿与河岸方向垂直的方向平移一个河宽，点 M 移动到点_，点 A 移动到点_，则 AA=_，设置意图：带领学生一起走进故事情境，探索怎样应用数学知识解决造桥选址的问题.操作流程：同桌交流、小组合作等方式分别完成 1-4 题，用所学知识解决问题.问题 1：设计意图：培养学生抽象问题的能力（两点在两条直线异侧的问题），增强数学建模意识.操作流程：1.同桌交流，讨论问题 1；2.教师随机抽取两名同学回答；3.教师补充并画出图形.问题 2：设计意图：联想旧知，把新知转化成旧
10、知，培养学生（平移）转化问题的能力，为解决新问题做准备.操作流程：1.老师用多媒体展示转化过程，引导学生用平移性质进行转化；2.学生思考、回答；3.老师点评.AM+NB=_+_)问题可转化为：当点 N 在直线 b 的什么位置时，_+_最小？3.解决问题：如图 5，N 为直线 b 上的一个动点，MN直线 b，交直线 a 于点 M，当点 N 在直线 b 的什么位置时，AM+MN+NB 最小？4.证明结论：如图 6，在直线 b 上另外任取一点 N，过点 N作NMa，垂足为 M，连接 AM，AN，NB，证明：AM+MN+NBAM+MN+NB.问题 3：设计意图：培养学生用旧知（两点之间线段最短）解决新
11、问题的能力，规范作图过程.操作流程：1.同桌讨论交流，选一名代表上台演排，画出最短路径；2.其他小组成员点评；3.老师归纳、小结作法.问题 4：设计意图：培养学生严谨的数学思维能力，会证明解法的正确性.操作流程：1.小组讨论交流，选一名代表上台演排，写出证明过程；2.其他小组成员点评；3.老师归纳、小结标准过程；4.师生一起回顾总结本类题型解决方法.【课堂小结】请两到三位同学谈一谈本节课学习感受，回顾找最短路径的一般步骤以及转化的方法（轴对称和平移）.【当堂检测】【课堂小结 梳理新知】【当堂检测 巩固新知】如图 7 所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从 A、B 到它的距离之和最短 设计意图:考察学生本节课所学知识解决实际生活中最短路径问题.操作流程：1.学生独立思考、完成习题；2.老师随机点学生回答，适当小结.板书设计：课题：最短路径问题 一 直线异侧：二 直线同侧：三 两点在两直线异侧 教后反思:l A B l A B B A