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1、1 课题学习最短路径问题教学设计 一、教学目标 让学生能够利用轴对称、平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想 二、教学重点及难点 重点：利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题 难点：如何利用轴对称、平移将最短路径问题转化为线段（或线段的和）最短问题 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、刻度尺、直尺 四、相关资源 微课，动画，图片.五、教学过程（一）引言导入 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及选择最短路
2、径的问题，本节课我们将利用数学知识探究“将军饮马”和“造桥选址”两个极值问题 设计意图：直接通过引言导入新课，让学生明确本节课所要探究的内容和方向（二）探究新知 本图片是微课的首页截图，本微课资源由将军饮马的问题引出最短路径问题，并通过具体实例来巩固最短路径问题，有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】最短路径问题.问题 1 如图，牧马人从 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？2 1将实际问题抽象为数学问题 学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识（1）把 A，B 两地抽象为两个点；（2）把河边
3、l 近似地看成一条直线，C 为直线 l 上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小 2解决数学问题（1）由这个问题，我们可以联想到下面的问题：如图，点 A，B 分别是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点 A、点 B 的距离的和最短？利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：连接 AB，与直线 l 相交于一点 C，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点 C 即为所求 （2）现在要解决的问题是：点 A，B 分别是直线 l 同侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点 A、点 B 的距离和最短？
4、（3）如何能把点 B 移到 l 的另一侧 B处，同时对直线 l 上的任一点 C，都保持 CB 与 CB的长度相等，就可以把问题转化为“上图”的情况，从而使问题得到解决（4）你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点 B吗？学生独立思考后，尝试画图，完成问题小组交流，师生共同补充得出：3 作法：作点 B 关于直线 l 的对称点 B；连接 AB，与直线 l 相交于点 C则点 C 即为所求 3证明“最短”师生共同分析，证明“ACBC”最短 证明：如图，在直线 l 上任取一点 C（与点 C 不重合），连接 AC，BC，BC，由轴对称的性质知：BCBC，BCBC，ACBCACBCAB，ACBCACBC
5、在ABC中，ABACBC，ACBCACBC 即 ACBC 最短 思考：证明 ACBC 最短时，为什么要在直线 l 上任取一点 C（与点 C 不重合），证明ACBCACBC？这里“C”的作用是什么？学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识 若直线 l 上任意一点（与点 C 不重合）与 A，B 两点的距离都大于 ACBC，就说明 ACBC 最小 问题 2（造桥选址问题）如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）4 1将实际问题抽象为数学问题 把河的两岸看成两条平行线 a 和 b（下
6、图），N 为直线 b 上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点 N 在直线 b 的什么位置时，AMMNNB 最小？2解决数学问题（1）由于河岸宽度是固定的，因此当 AMNB 最小时，AMMNNB 最小这样，问题就进一步转化为：当点 N 在直线 b 的什么位置时，AMNB 最小？（2）如图，将 AM 沿与河岸垂直的方向平移，点 M 移动到点 N，点 A 移动到点 A，则AAMN，AMNBANNB这样，问题就转化为：当点 N 在直线 b 的什么位置时，ANNB 最小？（3）如图，在连接 A，B 两点的线中，线段 AB 最短因此，线段 AB
7、 与直线 b 的交点N 的位置即为所求 5 3证明“最小”为了证明点 N 的位置即为所求，我们不妨在直线 b 上另外任意取一点 N，过点 N作 NMa，垂足为 M，连接 AM，AN，NB，证明 AMMNNBAMMNNB你能完成这个证明吗？证明：如图，在ANB 中，ABANBN，ANBNMNAMBNMN AMMNBNAMMNBN 即 AMMNBN 最小 设计意图：通过“将军饮马问题”和“造桥选址问题”的解决，增强学生探究问题的信心，让学生通过轴对称、平移变换把复杂问题进行转化，有效突破难点，感悟转化思想的重要价值 六、课堂小结 1运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同 2利用平移确定最短路径选址 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题 设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，体会轴对称、平移在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值 6 七、板书设计 13.4 最短路径问题 运用轴对称解决距离最短问题 利用平移确定最短路径选址