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1、一、知识点概述 自从人类发明了计时工具钟表，人们的生活就离不开它了。钟表上有许许多多的数学问题，常常围绕时针和分针的重合、垂直、成直线或成多少度角来提问。在钟表上关于时针与分针的关系问题，我们把它叫做钟表问题。二、重点知识归纳及讲解 1、一般说来，钟表盘上一个圆周等分为 60 格，即是 60 分的相应的刻度，则钟面上的路程和速度有如下关系：钟面一圈按“小时”分为 12 大格，时针每小时走 1 大格，分针每小时走 12 大格，它们每小时相差（121=）11 大格。钟面一圈按“分”分为 60 小格，时针每小时走 5 小格，分针每小时走 60 小格，它们每小时相差（605=）55 小格。2、分针与时
2、针速度的关系：在同一时间，分针是时针转速的 12 倍，时针是分针转速的。3、在钟表问题中，钟面好比一个环形跑道，人们常用行程问题中的“追及”和“相遇”来解决。钟表上分针、时针、秒针的速度是不同的，各指针速度是恒定的。如果将指针所走过的圆心角的度数作为“路程长”，我们就可以计算出各指针的恒定速度来：时针的速度=30 度60 分=0.5 度/分，分针的速度=360 度60 分=6 度/分。三、难点知识剖析 例 1、从 5 点整开始，再经过多少分钟，时针与分针正好重合。分析一：如图所示：钟表上每一大格所对的圆心角为 30，所以 5 点整时，分针与时针所夹的角为 150 度（按顺时针方向），150 度
3、就相当于追及问题中的“路长”或“追及距离”。“追及距离速度差追及时间”。解法一：150（60.5）=27（分）。分析二：钟面的一周分为 60 小格，分针每小时走 60 小格，每分钟走 1 小格；时针每小时走 5 小格，每分钟走小格。每分钟分针比时针多走 1小格。5 点整，时针在前，分针在后，两针相距 25 小格。这就可与追及问题类比：“追及路程”是 25 小格，“速度差”是，求追及时间。解法二：25（1）=25=25=27（分）。分析三：因为时针 1 小时走 1 个字，分针 1 小时走 12 个字，所以从 5 点开始，到分针与时针重合，可以求出所用时间。解法三：5（121）=（小时）=27（分
4、）。答：从 5 点整开始，再过 27 分钟，分针与时针重合。例 2、5 点钟与 6 点钟之间，两针什么时刻成直角？解析：分针每分钟比时针多走格，5 点钟时，分针在时针后 25 格（55=25）。两针成直角时，必须隔周，即15 分钟，因此，两针成直角时若分针在时针后 15 格，两针成直角时分针比时针须多走（2515=）10 格，若分针在时针前 15 格，两针成直角时分针比时针须多走（2515=）40 格。所以，第一次成直角时需（10=）10 分钟，即 5 点 10 分时成第一次直角；第二次成直角时需（40=）43 分钟，即 5 点 43 分时成第二次直角。解答：（55-15）=10=10（分），
5、即 5 点 10 分第一次成直角。（5515）=40=43（分），即 5 点 43 分，第二次成直角。答：时针与分针，第一次成直角是 5 点 10 分，第二次成直角时是 5 点 43 分。例 3 钟面上 5 点零 8 分时，时针与分针的夹角是多少度？解析：我们可先求出 5 点整时针与分针所成的角度，然后减去 8 分钟分针前进的度数，再加上此时时针前进的度数。解答：因为时针每走一格（即 1 小时）是 30 度，所以整点钟时的度数应是 30 度乘钟点数，分针一分钟前进6 度，时针一分钟前进 0.5 度。因此，钟面上 5 点零 8 分时，时针与分针的夹角是：305680.58=106（度）。答：5
6、点零 8 分时，时针与分针的夹角是 106 度。例 4、10 点过多少分，分针和时针离“10”的距离相等，并且在“10”的两边。分析一：如图，从 10 点整开始考虑。10 点整，时针与分针的夹角为 1030=300（度）。这时，如果我们假设时针反向行走，时针与分针相遇的时刻就是本例要求的时刻。解法一：300（6+0.5）=46（分）。答：当钟面上是 10 点 46 分，也就是分针行走了 46 分钟时，两针离“10”的距离相等，且在“10”的两边。分析二：由于时针与分针离“10”的距离相等，且在“10”的两旁，所以假设从 10 时起时针沿反时针方向前进，分针沿顺时针方向前进，那么两针相遇的时间即
7、为所求时间。相遇时两针共走了 10 个字，即 50 小格。解法二：假设时针沿反时针方向前进，分针沿顺时针方向前进，两针做相向运动，分针的速度为“1”，即每分钟走 1 小格，时针的速度是“”，两针共走了 50 格，用 50（1）=50=46（分）。例 5、小兰在下午 3 点到 4 点之间，当长、短针重合时，开始做奥数作业，当做完作业时，长短针刚好在一条直线上，小兰做了多少时间的作业？分析一：此例可先求出小兰开始做作业的时刻，再求做作业的时间。解法一：钟面的一周分 60 小格，分针每分钟走 1 小格，时针每分钟走小格。3 点时，时针与分针相隔 15 小格，分针要追上时针需用 15（1）=16（分），所以 3 点 16 分时，时针与分针重合，即小兰在 3 点 16 分开始写作业。写完作业时，分、时针刚好在一条直线上，即两针在 3 点 16 分重合后，分针又追及时针，追及路程（超过时针）为 30 小格，追及时间为 30（1）=32（分），所以小兰写作业时用了 32 分钟。答：小兰写作业共用了 32 分钟。分析二：此例只要抓住“当长短针刚好在一条直线上”时，作业做完了，此时分针与时针之间的差距必定是 30 个小格。解法二：30（1）=30=32（分）.