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1、1 一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、)1(211nnkSnkn4、)12)(1(6112nnnkSnkn5、213)1(21nnkSnkn例1 已知3log1log23x，求nxxxx32的前 n 项和.解：由212loglog3log1log3323xxx由等比数列求和公式得nnxxxxS32（利用常用公式）xxxn1)1(211)211(21n1n21例2 设 Sn 1+2+3+n，nN*,求1)3
2、2()(nnSnSnf的最大值.解：由等差数列求和公式得)1(21nnSn，)2)(1(21nnSn（利用常用公式）1)32()(nnSnSnf64342nnnnn6434150)8(12nn501 当88n，即 n8 时，501)(maxnf.J.J-J J 2 题 1.等比数列的前项和S2，则题 2若 12+22+(n-1)2=an3+bn2+cn，则a=,b=,c=.3 解：原式=答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前 n项和，其中 an、bn 分别是等差数列和等比数列.例3 求和：132)12(7531nnxnx
3、xxS解：由题可知，1)12(nxn 的通项是等差数列2n 1 的通项与等比数列1nx的通项之积设nnxnxxxxxS)12(7531432.（设制错位）得nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(14 21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn例4 求数列,22,26,24,2232nn前 n 项的和.解：由题可知，nn22的通项是等差数列2n 的通项与等比数列n21的通项之积设nnnS222624223214322226242221nnnS（设制错位）得143222222222222
4、2)211(nnnnS（错位相减）1122212nnn1224nnnS练习题 1 已知，求数列an的前n项和Sn.答案：5 练习题 2 的前 n 项和为 _ 答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1naa.例5 求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210证明：设nnnnnnCnCCCS)12(53210.把式右边倒转过来得0113)12()12(nnnnnnnCCCnCnS（反序）又由mnnmnCC可得6 nnnnnnnCCCnCnS1103)12()12(.+得nnnnnn
5、nnnCCCCnS2)1(2)(22(2110（反序相加）nnnS2)1(例6 求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值解：设89sin88sin3sin2sin1sin22222S.将式右边反序得1sin2sin3sin88sin89sin22222S.（反序）又因为1cossin),90cos(sin22xxxx+得（反序相加）)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222S89 S44.5 题 1已知函数7（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，8
6、两式相加得：9 所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例7 求数列的前n 项和：231,71,41,1112naaan，解：设)231()71()41()11(12naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12naaaSnn（分组）当 a1 时，2)13(nnnSn2)13(nn（分组求和）10 当1a时，2)13(1111nnaaSnn2)13(11nnaaan例8 求数列 n(n+1)(2n+1)的前 n 项和.解：设kkkkkkak2332)
7、12)(1(nknkkkS1)12)(1()32(231kkknk将其每一项拆开再重新组合得Snkkknknknk1213132（分组）)21()21(3)21(2222333nnn2)1(2)12)(1(2)1(22nnnnnnn（分组求和）2)2()1(2nnn五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）)()1(nfnfan（2）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin（3）111)1(1nnnnan（4）)121121(211)12)(12()
8、2(2nnnnnan（5）)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnnan(6)nnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则（7）)11(1)(1CAnBAnBCCAnBAnan（8）111nannnn.J.J./11 例9 求数列,11,321,211nn的前 n 项和.解：设nnnnan111（裂项）则11321211nnSn（裂项求和）)1()23()12(nn11n例10在数列 an 中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列 bn的前 n项的和.解：211211nnnnnan)111(82122nnnnbn
9、（裂项）数列 bn的前 n 项和)111()4131()3121()211(8nnSn（裂项求和）)111(8n18nn例11 求证：1sin1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos12解：设89cos88cos12cos1cos11cos0cos1Snnnntan)1tan()1cos(cos1sin（裂项）89cos88cos12cos1cos11cos0cos1S（裂项求和）88tan89tan)2tan3(tan)1tan2(tan)0tan1(tan1sin1)0tan89(tan1sin11cot1sin11sin1cos2原等式成立 12 练习 题 1.答
10、案：.练习题 2。=13 答案：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例12求 cos1+cos2+cos3+cos178+cos179的值.解：设 Sn cos1+cos2+cos3+cos178+cos179)180cos(cosnn（找特殊性质项）Sn（cos1+cos179）+（cos2+cos178）+（cos3+cos177）+（cos89+cos91）+cos90（合并求和）0 例13 数列 an：nnnaaaaaa12321,2,3,1，求 S2002.解：设 S20
11、022002321aaaa由nnnaaaaaa12321,2,3,1可得,2,3,1654aaa,2,3,1,2,3,1121110987aaaaaa2,3,1,2,3,1665646362616kkkkkkaaaaaa0665646362616kkkkkkaaaaaa（找特殊性质项）S20022002321aaaa（合并求和）14)()()(66261612876321kkkaaaaaaaaaa2002200120001999199819941993)(aaaaaaa2002200120001999aaaa46362616kkkkaaaa5 例14在各项均为正数的等比数列中，若1032313
12、65logloglog,9aaaaa求的值.解：设1032313logloglogaaaSn由等比数列的性质qpnmaaaaqpnm（找特殊性质项）和对数的运算性质NMNMaaalogloglog得)log(log)log(log)log(log6353932310313aaaaaaSn（合并求和）)(log)(log)(log6539231013aaaaaa9log9log9log333 10 练习、求和：15 练习题1 设，则_ 答案：2.练习 题 2若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n，则S17+S3350等于()16 A.1B.-1C.0D.2 解：对前 n 项和要分奇偶分别解决，
13、即：Sn=答案：A练习 题 3 1002-992+982-972+22-12的值是A.5000B.5050C.10100D.20200 解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.答案：B七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.例15求11111111111个n之和.解：由于)110(91999991111111kkk个个（找通项及特征）11111111111个n)110(91)110(91)110(91)110(91321n（分组求和）)11
14、11(91)10101010(911321个nn17 9110)110(1091nn)91010(8111nn例16 已知数列 an：11)(1(,)3)(1(8nnnnaannna求的值.解：)4)(2(1)3)(1(1)1(8)(1(1nnnnnaannn（找通项及特征）)4)(3(1)4)(2(18nnnn（设制分组）)4131(8)4121(4nnnn（裂项）1111)4131(8)4121(4)(1(nnnnnnnnnaan（分组、裂项求和）418)4131(4313提高练习：1已知数列na中，nS是其前n项和，并且1142(1,2,),1nnSanaL，设数列),2,1(21naabnnn，求证：数列nb是等比数列；设数列),2,1(,2nacnnn，求证：数列nc是等差数列；2设二次方程nax2-na+1x+1=0(n N)有两根和，且满足6-2+6=3(1)试用na表示 a1n；怵证；数罗川崎；）是等比师1J;州a1；时，求数列的通项公式18 3数列na中，2,841aa且满足nnnaaa122*Nn求数列na的通项公式；设|21nnaaaS，求nS；说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。