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1、 将军饮马模型 1/6 DOC 格式可编辑 将军饮马模型(终稿)(优选.)将军饮马模型 一、背景知识:【传说】早在古罗马时代,传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题 将军每天从军营 A 出发,先到河边饮马,然后再去河岸同侧的军营B开会,应该怎样走才能使路程最短?这个问题的答案并不难,据说海伦略加思索就解决了它从此以后,这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今【问题原型】将军饮马 造桥选址 费马点【涉及知识】两点之间线段最短,垂线段最短;三角形两边三边关系;轴对称;平移;【解题思路】找对称点,实现折转直 二、将军饮马问题常见
2、模型 1.两定一动型:两定点到一动点的距离和最小 例 1:在定直线l上找一个动点 P,使动点 P到两个定点 A 与 B的距离之和最小,即 PA+PB 最小.作法:连接 AB,与直线l的交点 Q,Q即为所要寻找的点,即当动点 P跑到了点 Q处,PA+PB最小,且最小值等于 AB.原理:两点之间线段最短。证明:连接 AB,与直线l的交点 Q,P为直线l上任意一点,在PAB 中,由三角形三边关系可知:AP+PBAB(当且仅当 PQ重合时取)例 2:在定直线l上找一个动点 P,使动点 P到两个定点 A 与 B的距离之和最小,即 PA+PB的和最小.将军饮马模型 2/6 DOC 格式可编辑 关键:找对称
3、点 作法:作定点 B关于定直线l的对称点 C,连接 AC,与直线 l的交点 Q即为所要寻找的点,即当动点 P跑到了点 Q处,PA+PB和最小,且最小值等于 AC.原理:两点之间,线段最短 证明:连接 AC,与直线l的交点 Q,P为直线l上任意一点,在PAC 中,由三角形三边关系可知:AP+PCAC(当且仅当 PQ重合时取)2.两动一定型 例 3:在MON 的内部有一点 A,在 OM上找一点 B,在 ON上找一点 C,使得 BAC周长最短 作法:作点 A 关于 OM的对称点 A,作点 A 关于 ON的对称点 A,连接 A A,与 OM交于点 B,与 ON交于点 C,连接 AB,AC,ABC即为所
4、求 原理:两点之间,线段最短 例 4:在MON的内部有点 A 和点 B,在 OM上找一点 C,在 ON上找一点 D,使得四边形 ABCD周长最短 作法:作点 A 关于 OM的对称点 A,作点 B关于 ON的对称点 B,连接 A B,与 OM交于点 C,与 ON交于点 D,连接 AC,BD,AB,四边形 ABCD即为所求 原理:两点之间,线段最短 3.两定两动型最值 将军饮马模型 3/6 DOC 格式可编辑 例 5:已知 A、B 是两个定点,在定直线l上找两个动点 M与 N,且 MN长度等于定长d(动点 M位于动点N左侧),使 AM+MN+NB的值最小.提示:存在定长的动点问题一定要考虑平移 作
5、法一:将点 A 向右平移长度d得到点 A,作 A关于直线l的对称点 A,连接 AB,交直线l于点 N,将点 N向左平移长度d,得到点M。作法二:作点 A 关于直线l的对称点 A1,将点 A1向右平移长度d得到点 A2,连接 A2 B,交直线l于点 Q,将点 Q向左平移长度d,得到点Q。原理:两点之间,线段最短,最小值为 AB+MN 例 6:(造桥选址)将军每日需骑马从军营出发,去河岸对侧的瞭望台观察敌情,已知河流的宽度为 30米,请问,在何地修浮桥,可使得将军每日的行程最短?例 6:直线l1l2,在直线l1上找一个点 C,直线l2上找一个点 D,使得 CDl2,且 ACBDCD最短 作法:将点
6、 A 沿 CD方向向下平移 CD长度d至点 A,连接 AB,交l2于点 D,过点 D作 DCl2于点 C,连接 AC则桥 CD即为所求此时最小值为 AB+CD 原理:两点之间,线段最短,4.垂线段最短型 例 7:在MON的内部有一点 A,在 OM上找一点 B,在 ON上找一点 C,使得 ABBC 最短 将军饮马模型 4/6 DOC 格式可编辑 原理:垂线段最短 点 A 是定点,OM,ON是定线,点 B、点 C 是 OM、ON上要找的点,是动点 作法:作点 A 关于 OM的对称点 A,过点 A作 ACON,交 OM于点 B,B、C 即为所求。例 8:在定直线l上找一个动点 P,使动点 P到两个定
7、点 A 与 B的距离之差最小,即 PA-PB最小.作法:连接 AB,作 AB的中垂线与l的交点,即为所求点 P 此时|PA-PB|=0 原理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 例 9:在定直线l上找一个动点 C,使动点 C 到两个定点 A 与 B的距离之差最大,即|PA-PB|最大 作法:延长 BA 交l于点 C,点 C 即为所求,即点 B、A、C 三点共线时,最大值为 AB的长度。原理:三角形任意两边之差小于第三边 例 10:在定直线l上找一个动点 C,使动点 C 到两个定点 A 与 B的距离之差最大,即|PA-PB|最大 作法:作点 B关于l的对称点 B,连接 AB,交交l于点 P
8、即为所求,最大值为 AB的长度。原理:三角形任意两边之差小于第三边 典型例题 三角形 1 如图,在等边 ABC中,AB=6,ADBC,E 是 AC 上的一点,M是 AD上的一点,且 AE=2,求 EM+EC 将军饮马模型 5/6 DOC 格式可编辑 的最小值 解:点 C 关于直线 AD的对称点是点 B,连接 BE,交 AD于点 M,则 ME+MD最小,过点 B作 BHAC 于点 H,则 EH=AH AE=3 2=1,BH=BC2-CH2=62-32=3 3 在直角 BHE 中,BE=BH2+HE2=(3 3)2+12=2 7 DABCMEHMDACBE 将军饮马模型 6/6 DOC 格式可编辑 感谢您使用本店文档 您的满意是我们永恒的追求!(本句可删)-