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1、-第 1 页将军饮马模型(终稿)-第 2 页将军饮马模型将军饮马模型一、背景知识：一、背景知识：【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题将军每天从军营 A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营 B 开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它从此以后，这个被称为“将军饮马将军饮马”的问题便流传至今【问题原型】将军饮马造桥选址 费马点【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移；【解题思路】找对称点，实现折转直二、将军饮马问题
2、常见模型二、将军饮马问题常见模型1.1.两定一动型：两定一动型：两定点到一动点的距离和最小例 1：在定直线l上找一个动点 P，使动点 P 到两个定点 A 与 B 的距离之和最小，即 PA+PB最小.作法作法：连接 AB，与直线l的交点 Q，Q 即为所要寻找的点，即当动点 P 跑到了点 Q 处，PA+PB 最小，且最小值等于 AB.原理：原理：两点之间线段最短。证明证明：连接 AB，与直线l的交点 Q，P 为直线l上任意一点，在PAB 中，由三角形三边关系可知：AP+PBAB(当且仅当 PQ 重合时取)例例 2 2：在定直线l上找一个动点 P，使动点 P 到两个定点 A 与 B 的距离之和最小，
3、即 PA+PB 的和最小.关键：找对称点关键：找对称点作法作法：作定点 B 关于定直线l的对称点 C，连接 AC，与直线 l 的交点 Q 即为所要寻找的点，即当动点 P 跑到了点 Q 处，PA+PB 和最小，且最小值等于 AC.原理：原理：两点之间，线段最短证明证明：连接 AC，与直线l的交点 Q，P 为直线l上任意一点，在PAC 中，由三角形三边关系可知：AP+PCAC(当且仅当 PQ 重合时取)2.2.两动一定型两动一定型-第 3 页例 3：在MON 的内部有一点 A，在 OM 上找一点 B，在 ON 上找一点 C，使得BAC 周长最短作法：作法：作点 A 关于 OM 的对称点 A，作点
4、A 关于 ON 的对称点 A，连接 A A，与 OM交于点 B，与 ON 交于点 C，连接 AB，AC，ABC 即为所求原理：原理：两点之间，线段最短例 4：在MON 的内部有点 A 和点 B，在 OM 上找一点 C，在 ON 上找一点 D，使得四边形 ABCD 周长最短作法作法：作点 A 关于 OM 的对称点 A，作点 B 关于 ON 的对称点 B，连接 A B，与 OM 交于点 C，与 ON 交于点 D，连接 AC，BD，AB，四边形 ABCD 即为所求原理：原理：两点之间，线段最短3.3.两定两动型最值两定两动型最值例 5：已知 A、B 是两个定点，在定直线l上找找两个动点 M 与 N，
5、且 MN 长度等于定长d（动点 M 位于动点 N 左侧），使 AM+MN+NB 的值最小.提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移作法一：作法一：将点 A 向右平移长度d得到点 A，作 A关于直线l的对称点 A，连接 AB，交直线l于点 N，将点 N 向左平移长度d，得到点M。作法二作法二：作点 A 关于直线l的对称点 A1，将点 A1 向右平移长度d得到点 A2，连接 A2B，交直线l于点 Q，将点 Q 向左平移长度d，得到点Q。原理：原理：两点之间，线段最短，最小值为 AB+MN例 6：（造桥选址造桥选址）将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为 30 米，请问
6、，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？例 6：直线l1l2，在直线l1上找一个点 C，直线l2上找一个点 D，使得 CDl2,且ACBDCD 最短作法作法：将点 A 沿 CD 方向向下平移 CD 长度d至点 A，连接 AB，交l2于点 D，过点 D 作DCl2于点 C，连接 AC则桥 CD 即为所求此时最小值为 AB+CD原理：原理：两点之间，线段最短，4.4.垂线段最短垂线段最短型型例例 7：在MON 的内部有一点 A，在 OM 上找一点 B，在 ON 上找一点 C，使得 ABBC最短原理：原理：垂线段最短垂线段最短点 A 是定点，OM，ON 是定线，点 B、点 C 是 OM、ON 上要
7、找的点，是动点作法：作法：作点 A 关于 OM 的对称点 A，过点 A作 ACON，交 OM 于点 B，B、C 即为所求。-第 4 页例例 8：在定直线l上找一个动点 P，使动点 P 到两个定点 A 与 B 的距离之差最小，即 PA-PB最小.作法：作法：连接 AB，作 AB 的中垂线与l的交点，即为所求点 P此时|PA-PB|=0原理：原理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等例例 9：在定直线l上找一个动点 C，使动点 C 到两个定点 A 与 B 的距离之差最大，即|PA-PB|最大作法作法：延长 BA 交l于点 C，点 C 即为所求，即点 B、A、C 三点共线时，最大值为 AB 的长
8、度。原理：原理：三角形任意两边之差小于第三边例例 10：在定直线l上找一个动点 C，使动点 C 到两个定点 A 与 B 的距离之差最大，即|PA-PB|最大作法作法：作点 B 关于l的对称点 B，连接 AB，交交交l于点 P 即为所求，最大值为 AB 的长度。原理：原理：三角形任意两边之差小于第三边典型例题典型例题三角形三角形1如图，在等边ABC 中，AB=6，ADBC，E 是 AC 上的一点，M 是 AD 上的一点，且 AE=2，求 EM+EC 的最小值解：点 C 关于直线 AD 的对称点是点 B，连接 BE，交 AD 于点 M，则 ME+MD 最小，过点 B 作 BHAC 于点 H，则 EH=AH AE=3 2=1，BH=BC2-CH2=62-32=3 3在直角BHE 中，BE=BH2+HE2=(3 3)2+12=2 7