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1、第一章 生物力学基础 1-1 两物体的转动动能之比为1:8，转动惯量之比为2:1，求两物体的角速度之比。解：由211112kEI，222212kEI，且121/8kkEE，12/2II，可得1214 1-2 细棒长度为1m，质量为6kg，转轴与棒垂直，距离一端为0.2m，求转动惯量。解：0.80.82230.20.211.0083Ir dmx dxx kg/m2 1-3 圆盘质量为m，半径为R，质量分布均匀，轴过盘中心且与盘面垂直，求转动惯。解：42322012242RmRJr dmr drmRR 1-4 一个飞轮的转动惯量为2335kg m，转速为每分钟 72 转，因受摩擦力矩作用而均匀减速
2、，经40s停止，求摩擦力矩。解：由每分钟 72 转可得角速度为 272/60=2.4 rad/s，由0t 可得 02.440，0.06 rad/s，由MI，可得 335(0.06)63.15 N mM 1-5 在自由旋转的水平圆盘边上，站着一质量为m的人，圆盘半径为R，转动惯量为J，角速度为，如果这人由盘边走到盘心，求角速度变化。解：由角动量守恒20JmRJ 220(1)JmRmRJJ 角速度变化20mRJ 1-6 一个人坐在转台上，将双手握住的哑铃置于胸前，转台以一定角速度0转动（摩擦不计），人和转台的转动惯量为0J，如果此人将两手平伸，使人和转台的转动惯量增加为原来的 2 倍，求：（1）人
3、和转台的角速度；（2）转动动能。解：（1）由角动量守恒0002JJ，所以0/2 （2）222001122224kJEIJ 1-7 解释以下各物理量的定义、单位以及它们之间的关系：（1）压应变、压应力、杨氏模量；（2）切应变、切应力、切变模量；（3）体应变、体应力、体变模量。答：（1）长度为0l的物体受外力的压缩作用时，长度改变量为l，则l与0l的比值可表示物体被压缩时长度的相对变化量，称为压应变，用表示，即：0ll。在物体内部的任一横截面上都有压力存在，且它在数值上等于在端面上的外力F。压力与横截面积S之比，即横截面单位面积上所受的内力叫做压应力，用表示：FS。根据胡克定律，物体受到的压应力与
4、压应变成正比，即E，式中比例系数E称为材料的杨氏模量。（2）长方形物体底面固定，其上下底面受到剪切力F的作用，产生切变，变成了一个平行六面体，形变后物体向右倾斜了角，最上层截面移动距离为x，上下截面的垂直距离为d，两者的比值称为切应变，用表示。当物体发生切应变时，物体上下两个底面受到与底面平行但方向相反的外力的作用，在物体内部任取一与底面平行的横截面，显然横截面上下两部分都受到与截面相切且与F大小相等的力的相互作用，它们都是沿切向的内力，称为剪切力。剪切力F与横截面积S之比，称为切应力，用表示，即：FS。当物体发生剪切形变时，切应力与切应变成正比，即：G，式中比例系数称为切变模量。（3）物体各
5、个部分在各个方向上受到同等压强时体积发生变化而形状不变，如图 1-10 所示。则体积的改变量V与原体积0V之比称为体应变，用表示，即：0VV 当物体受到来自各个方面的均匀压力，且物体是各向同性时，将发生体积变化而形状不变。此时物体内部各个方向的截面上都有同样大小的压应力，或者说具有同样的压强。因此，可以用压强P来表示体应力。在体积形变中，压强与相应的体应变成正比，即：PK，比例系数K叫做体变模量。1-8 为什么动物的有些骨头是空心的，从力学角度来看，它有什么意义？答：应力的大小与到中心轴的距离成正比，中心轴附近的应力作用较小，因此它们对抗弯所引起的作用不大。所以空心的骨头可以减轻重量却不至于严
6、重影响抗弯强度。1-9 生铁的杨氏模量为1028 10 N m，一生铁圆柱高1.5m，横截面积为20.02m，则10t重物可把它压缩多少？解：由 0,FlESl，可得0FlESl1010 1000 108 100.021.5l，所以压缩量为40.9410 ml 1-10 在边长为0.02m的正方体的两个相对面上，各施加大小相等、方向相反的切向力29.8 10 N，施加力后两面的相对位移为0.001m，求该物体的切变模量。解：由=,=FxGSd，可得=FxGSd229.8 100.0010.020.02G，所以切变模量724.9 10 N mG 1-11 如果某人的一条腿骨长0.6m，平均横截面
7、积为23cm。站立时，两腿支持整个人体重为800N，问此人每条腿骨要缩短多少？（已知骨的杨氏模量为10210 N m）解：两腿支持整个人体重为800N，每条腿骨压力为 400N，由 0,FlESl，可得0FlESl104400103 100.6l，所以每条腿骨要缩短58 10 ml 第二章：流体的运动 2-1 有人认为从连续性方程来看管子愈粗流速愈小，而从泊肃叶定律来看管子愈粗流速愈大，两者似有矛盾，你认为如何？为什么？解：因两种情形的前提条件不同，所以结果不同。流体连续性方程适用于不可压缩的流体在同一条流管中作稳定流动时的情况，满足这一条件，则有：QvS常量。泊肃叶定律可写成：LSPQ82
8、或 LSPv8，（v是水平管某一截面的平均速度）要满足Sv，其条件为P、L为恒量，且为粘滞流体在水平管中作层流。可见Sv1，和Sv，两者适用的对象和所必须满足的条件是不同的，故二者并不矛盾。2-2 血液在血管内流动时压力逐渐降低的原因是什么？解：血液在血管内流动时所遇到的阻力，称为血流阻力。血流阻力的产生，是由于血液流动时因磨擦而消耗能量，一般是表现为热能。这部分热能不可能再转换成血液的势能或动能，故血液在血管内流动时压力逐渐降低。2-3 正常成年人休息时，通过主动脉的平均血流速度是 0.33 ms-1，如果主动脉的半径为 9mm，计算通过主动脉的血流量。如果大动脉和毛细血管的总截面分别为 2
9、0l0-4 m2和 0.25 m2，此时大动脉和毛细血管中血液的平均流速各是多少？解：设血管中血流量为Q,主动脉处截面积为S1，平均流速为v1；大动脉处截面积为S2，平均流速为v2；毛细血管总截面积为S3，平均流速为v2；体积流量Q为)(104.833.0009.035211smvSQ 由体积连续性方程知:)(104.833.0009.015211smvSQ)(102.41020104.8124522smSQv)(1036.325.0104.814533smSQv 2-4 水在粗细不均匀的水平管中作稳定流动，已知截面S1处的压强为 110Pa，流速为 0.2ms-1，截面S2处的压强为 5Pa
10、，求S2处的流速（内摩擦不计）。解：由伯努利方程在水平管中的应用 2222112121vPvP 代入数据 22323102152.01021110v 得 )(5.012smv 2-5 水管里的水在绝对压强为 4.0l05 Pa 的作用下流入房屋,水管的内直径为 2.0cm,管内水的流速为 4.0ms-1,引入 5m 高处二层楼浴室的水管内直径为 1.0cm.求浴室内水的流速和压强。解:设室外水管截面积为S1,流速为v1;浴室小水管的截面积为S2,流速为v2.水可视为理想流体,由连续性方程可得小水管中流速 11221211211212sm16sm0.4m100.1m100.2vvvvddddSS
11、 根据伯努利方程有 222212112121ghpghpvv 得小水管中的压强:)()(2121222112hhgppvv )sm16()sm0.4(mkg100.121Pa100.42121335)m5(sm8.9mkg100.1233 Pa103.25 2-6 一直立圆柱形容器，高m2.0，直径为m1.0，顶部开启，底部有一面积为2410m的小孔。若水以每秒134104.1sm的流量自上面放入容器中，求容器内水可升的最大高度。若达到该高度时不再放水，求容器的水流尽所需的时间。解：（1）设容器内水面可上升的高度为H，此时放入容器的水流量和从小孔流出的水流量相等，由连续性方程有 2211vSv
12、SQ 得 144224.110104.1smSQv 因为21SS，所以可将容器中水面处流速1v近似为零，水面处和出水处压强均为大气压强。运用伯努利方程有 gHv2221 得 mgvH1.08.924.12222（2）设容器内水流尽需要的时间为T，在t时刻容器内水的高度为h，小孔处流速为ghv22，液面下降dh高度从小孔流出的水体积为dhSdV1，需要的时间为 ghSdhSvSdhSQdVdt221221 上式积分 ghSSghSdhSTH2221021 代入数据得 sghSST2.118.91.021005.014.324221 2-7 测量气体流量的文丘利流量计结构如图 2-19 所示，水平
13、管中的流体密度为，U 形管中的液体密度为，U 形管中液柱高度差为h。试证明流过圆管气体的流量)(242412221rrghrrQ 证明：由连续性方程有2211vSvSQ 即 222121vrvr，可得 12212)/(vrrv 由压强计得 ghPP21 将上两式代入水平管中的伯努利方程2222112121vPvP 有 1)(21)(2122221212122rrvvvgh 得 )(24241421rrghrv 最后计算得到流量 4241222142414221121112)(2rrghrrrrghrrvrvSQ 2-8 一条半径为 3mm 的小动脉被一硬斑部分阻塞，此狭窄段的有效半径为 2mm
14、，血流平均速度为 50cm/s，试求：（1）未变窄处的血流平均速度；（2）会不会发生湍流；（3）狭窄处的血流动压强。解：小动脉半径(m)10331r 被阻塞处有效半径)sm(5.0),m(1021232vr ，（1）求1v 由 2211vSvS 得：222121vrvr )(.)()(12323221221sm22050103102vrrv（2）取血液的密度)mkg(1005.133 血液的粘度)sPa(100.33 则：狭窄处雷诺数 1000350100.31025.01005.1Re33322rv 故该处血流是层流形式，不会形成湍流。（3）狭窄处动压强为：13150100512321222
15、1.v(Pa)2-9 设某人的心输出量为 0.8310-4m3/s，体循环的总压强差为 12.0kPa，试求此人体循环的总流阻（即总外周阻力）是多少5msN。解：41083.0Q(13sm)，3100.12P（Pa），由 fRPQ 得外周阻力为：8431044.11083.0100.12QPRf(-3msPa)81044.1)msN(5。2-10 如图 2-19 所示，流量为 3000 cm3s-1的排水管水平放置，在截面积为 40 cm2及 10 cm2两处接一 U 形管，内装水银，（1）粗细两处的流速。（0.75ms-1，3ms-1）（2）粗细两处的压强茶。（4218Pa）（3）U 形管水
16、银柱的高度差。(3.17cm)解：（1）由体积流量方程知2211vSvSQ 可求得粗细两处的流速：)sm(75.010410313311SQv )sm(110110313322SQv（2）粗细两处的压强差：Pa75.42182121212221vvPPP（3）U 形管水银柱的高度差：ghP 则 cm17.3gPh 2-11 求血液流过一段长1.0mm、直径为4.0m的毛细血管的血压降与这段毛细血管的流阻.（毛细血管中血液的平均流速为 0.66mms-1，血液的黏度取 4.010 s-3Pas）.解：根据泊肃叶公式)(8214ppLrQ 有 sPa103.5)m100.4(sm1066.0m10
17、0.1sPa100.432328326133324dLrLQpv317463344smPa104.6)m100.4(14.3m100.1sPa100.41681688dLrLRf 2-12 一水平动脉管，内半径为 2l0-3 m，黏滞系数为 2.08410-3 Pas 的血液在动脉管中以0.03 ms-1的平均流速做层流。试求：（1）流量；（2）最大流速；（3）管长为 0.01 m 时血管两端的压强差。解：（1）由体积流量方程知 137231077.303.014.3)102(smSvQ（2）由于最大流速为平均流速的两倍，所以血管中的流速为（为什么最大流速是平均速度的两倍？）根据书 2-19
18、式，在管轴 r=0 处流体的速度最大：LPRv42max smv/06.001.010084.24)102(25.1323max （3）由泊萧叶公式知，血管两端的压强差p PaRLQp25.1)102(14.301.0102.0841077.38843-374 2-13 在液体中有一空气泡，直径为 1mm，设液体黏滞系数为 0.15 Pas，密度为 0.9103 kgm-3，求空气泡在该液体中上升的收尾速度。如果这个气泡在水中上升，收尾速度为多少？解：（1）解：根据斯托克斯定律，空气泡在液体中受到的向下的重力和粘滞阻力之和等 于向上的浮力 grrgr3334634v 则空气泡上升的速率为 22
19、21122 0.0005(0.9 101.3)9.8()0.326()99 1.5 10vrgcm s （2）空气泡在水中上升的收尾速度 2321122 0.0005(1.0 101.3)9.8()0.362()99 1.5 10vrgm s 2-14 红细胞的密度为 1.09103kgm-3,可近似看成是半径为 2.010-6 m的小球.设 37时的血浆的黏度为 1.210-3Pas,密度为 1.04103kg m-3.求红细胞在血浆中自然沉降 1.0cm 所需要的时间？解：根据斯托克斯定律，红细胞的自然沉降速率为 333322621mkg)1004.11009.1(sPa102.19sm8
20、.9)m100.2(2)(92gRv 16sm10363.0 s108.2sm10363.0m100.1416211vLt 2-15 液体的黏度为 1.510-1 Pas,密度为 9.0102 kgm-3,液体中有一半径为 5.010-4m的空气泡,如空气的密度为 1.3 kgm-3,试求此空气泡在液体中匀速上升的速率为多少？解：根据斯托克斯定律，空气泡在液体中受到的向下的重力和粘滞阻力之和等于向上的浮力 grrgr3334634v 则空气泡上升的速率为 133212422sm103.3mkg)3.1100.9(sPa105.19)m100.5(sm102)(92grv 第三章 振动、波动和声
21、 3-1 什么是简谐振动？说明下列振动是否为简谐振动？(1)拍皮球时球的上下运动。(2)一小球在半径很大的光滑凹球面底部的小幅度振动。解：质点的简谐振动一定要有平衡位置，以平衡位置作为坐标原点，如果以 x 表示质点偏离平衡位置的位移，质点所受合外力一定具有F=-kx的形式。(1)皮球在硬地上的跳动不是简谐运动，因为忽略空气阻力，皮球在上升和下落阶段，始终受到竖直向下的重力的作用，任一时刻所受的合外力不具有F=-kx 的形式，所以皮球的运动不是简谐运动。(2)一小球在半径很大的光滑凹球面底部的来回滑动，且经过的弧线很短是简谐运动。符合简谐运动的定义。3-2 简谐振动的速度和加速度的表达式中都有个
22、负号，这是否意味着速度和加速度总是负值？是否意味着两者总是同方向的？解：不是，不是 3-3 有一弹簧振子，质量m=0.01kg，劲度系数k=0.49Nm-1，t=0 时，小球过x0=0.04m 处，并以v0=0.21ms-1的速度沿x轴正方向运动，试求弹簧振子的(1)振幅；(2)初相位；(3)振动表达式。解：弹簧振子作简谐振动，由方程)cos(tAx得 简谐振动的圆频率为17sradmk；振幅为mvxA05.022020；初相位3754arccosarccos0Ax 因为0v为正，sin 应为负，故初相位为)(6.037rad 弹簧振子的振动表达式：)()6.07cos(05.0mtx 3-4
23、 一作简谐振动的质点在t=0 时，位于距离平衡位置 10cm 处，速度为 0，振动周期为 2s，求振动的位移、速度以及加速度表达式。解：由简谐振动的位移表达式为)cos(tAx知)/(2sradT 当t=0 时，)cos(1.0A 由速度公式 sin()dxvAtdt 知 0sin()A 得0，0.1Am 因此振动的位移、速度以及加速度的表达式为)()cos(1.0mtx)()2cos(1.01smtv)()cos(1.022smta 3-5 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，其表达式分别为x1=4cos(3t+/3)m，x2=3cos(3t-/6)m，试写出合振动的表达式。解：由合振
24、动的振幅和位相公式知 则合振动的表达式为：)()403.03cos(5mtx 3-6 振动和波动有何区别和联系？解：（1）联系 振动是波动的原因，波动是振动的结果；有波动必然有振动，有振动不一定有波动 波动的性质、频率和振幅与振源相同。（2）区别 研究对象不同振动，是单个质点在平衡位置附近的往复运动；波动，是介质中大量质点依次的集体振动。力的来源不同产生振动的回复力，可以由作用在物体上的各种性质的力提供；而引起波动的力，则总是联系介质中各质点的弹力。运动性质不同各质点的振动，是变加速运动；而波动是匀速直线运动，传播距离与时间成正比。总之，振动是从个体的角度指组成介质的无数质点的运动形式，而这种
25、振动形式的传播使得各质点依次振动，产生位移不同的情形，从而使我们看到了诸多个体所形成的群体行为，即机械波。)(5)2cos(34234)cos(222212212221mAAAAAA11221122sin()sin()arctan0.403()cos()cos()AAradAA3-7 机械波在通过不同的介质时，它的波长、频率和速度哪些会发生变化？哪些不会改变？解：频率不会改变，波速、波长不变 3-8 已知波动方程为y=Acos(bt-cx)，试求波的振幅、波速、频率和波长。解:波的振幅为A 根据时间和空间的周期性有bT2，c2 即波速为cbTu，频率为21bT 3-9 一平面简谐波，坐标原点按
26、y=Acos(t+)的规律振动，已知A=0.10m，T=0.50s，=10m。试求（1）波函数的表达式；（2）波线上相距 2.5m 的两点的相位差；（3）假如t=0 时处于坐标原点的质点的振动位移为y0=0.05m，且向平衡位置运动，求初相位，并写出波函数。解：(1)由波动方程知)/(cosuxtAy 角频率)(45.0221sradT 波速)(205.0101smTu 故(m)x/10)-(2.0t 2 0.1cosyt (2)波线上相距 2.5m 的两点的相位差 (3)当t=0 时，)cos(1.005.0，得3；又因0v，3；则波函数为(m)3 x/10)-(2.0t 2 0.1cosy
27、 3-10 一简谐波以 0.8 ms-1的速度沿一长弦线传播，在x=0.1m 处，弦线质点的位移随时间的变化关系为y=0.05sin(1.0-4.0t)m，试写出波函数。解：由简谐波动方程知(m)/(Asin yuxt 由简谐波沿x轴正方向传播时，波的方程变为(m)5.00.450.05sin txy 由简谐波沿x轴负方向传播时，波的方程变为(m)5.10.4-50.05sin txy 3-11 P和Q是两个同方向、同频率、同相位、同振幅的波源所在处。设它们在介质中产生的波长为，PQ之间的距离为 1.5.。R是PQ连线上Q点外侧的任一点。试求（1）PQ两点发出的波到达R时的相位差；（2）R点的
28、振幅。解：(1)由题意知，21，则R点处两波的相位差为 35.1221212rr 0.252212x(2)相位差为的奇数倍，R点处于干涉相消的位置，即0A 3-12 一弦上的驻波表达式为y=0.1cos(2x)cos(100t)m，求（1）形成驻波的两个反向传播的行波的波长和频率；（2）位于x1=1/8 m P1与位于x1=3/8 m 处P2的振动位相差。解:(1)驻波方程为 )2cos()2cos(2txAy 则 波长1m 因2100，则频率 50()Hz (2)24122x 3-13 弦线上驻波相邻波节的距离为 65m，弦的振动频率为 2.3102Hz，求波的波长和传播速度u。解：(1)由
29、驻波特征知，相邻波节间的距离为2，故1.3m(2)由2211.3 2.3 103.0 10()um s 3-14 什么叫声压、声阻抗、声强，它们之间的关系如何？解：当声波在介质中传播时，某一时刻介质中某一点的压强与无声波通过时的压强之差，称为该点的瞬间声压；声阻抗定义为声压与声振动速度的比值；声强是指单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的声波能量。它们之间的关系为2mPIZ,mP称为声压幅值。3-15 两种声音的声强级相差 1dB，求它们的声强之比。解：由声强级公式知 11010lgILI,22010lgILI 1211200210lg10lg10lg1IIILLIII 则 121.26
30、II 3-16 由两个相同的音叉发出的相干声波无衰减的传播，其声强级均为 40dB，在它们相遇区域内的各点处，最大声强级是多少？解：由题意知,它们相遇区域内的各点处，最大声强级为 max00210lg10(lg2lg)46()IILdBII 3-17 人耳对 1000Hz 的声波产生的听觉的最小声强约为 1.010-12 Ws2），试求温度为 200C 空气分子相应的振幅。解：由声强公式知 2212IcA 即：128211.0 100.00121 3 10210002A 则 111.0 10()Am 3-18 火车以 10 ms-1的速度行使，机车鸣笛，其振动频率为 500Hz，求车厢中的旅客
31、和站在铁轨附近的人所听到笛声的频率各是多少？解：(1)由于车厢中的旅客相对声源静止，故所听到的笛声的频率为 500Hz；(2)若声源朝向观察者运动时 0340500515.62()340 10suffHzuv(2)若声源背向观察者运动时 0340500485.3()34010suffHzuv 3-19 应用超声多普勒探测心脏的活动，以频率为 5MHz 的超声波垂直入射心脏（即超声波的入射角为 00）测得的多普勒频移为 500Hz，已知超声波在软组织中的传播速度为 1500 ms-1，求心壁的运动速度。解：由多普勒频移公式知 02 cosduffv 代入数据得：615005.0 1050021v
32、 即 217.5 10()m s 3-20 若在同一介质中传播的频率为 1200 Hz 和 400 Hz 的两声波有相同的振幅，求两声波的声强之比和声强级之差。解：由声强公式知：2222211(2)22IcAcA 则两声波的声强之比：22112221200()9:1400II 两声波的声强级之差为：0lgIIL )dB(54.9954.0lglglg210201BIIIIIIL 第四章 液体表面现象 4-1 解：已知 d=0.1m 所以)(10810401.0224322Jdw )(321.0104088413mNdrP 4-2 解：由于两弯曲液面产生的附加压强为：Dppbig40 dppsm
33、all40 q q a a x y A B C 有)11(4Ddppghsmallbig 所以：cmDdgh2)1031101(8.910103.74)11(43332 4-3 解：由于两弯曲液面产生的附加压强为：rppsmall20 Rppbig20 因为：ghppsmallbig 所以：cmRrggpphsmallbig5.5)10311031(8.910103.72)11(23432 第五章 静电场 5-1 解：由对称性可知,场强应垂直于带电线,呈辐射状分布.在线外任选一点P,与带电线垂直距离为R,以R为半径,以带电线为轴作一高为l的圆柱面.过此柱面的电通量为 0dlSEE,其中侧面两底
34、面侧面SESESESEd0cosd2cosd0cosd 而RlESESE2dd0cos侧面侧面 则场强0022RRllE 5-2 解:建立如图的坐标系,在坐标x处取一线元 dx,此线元带电为 dq=dx,)(4dd0RxLqU dq在P处产生的电势为 带电线在P点产生的电势为 dq在P处产生的场强为xRxLqE)(4dd20 由于各电荷元在P点的场强方向一致则P点的场强为LLLRxLxRxLqEE0200200)(4d)(4dd 结果为)11(40RLRE R l O L x dx R P x RRLRxLxRxLqUULLln4)(4d)(4dd000005-3 若电荷Q均匀地分布在长为L的
35、细棒上。求证：（1）在棒的延长线，且离棒中心为r处的电场强度为 22041LrQE（2）在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为 220421LrrQE 若棒为无限长（即L），试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较。分析：这是计算连续分布电荷的电场强度。此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理。但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上。如图所示，在长直线上任意取一线元，其电荷为 dq=Qdx/L，它在点P的电场强度为 rrqeE20d41d 整个带电体在点P的电场强度 EEd 接着针对具体问题来处理这个矢量积分。（1）若点P在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P的电场强
36、度方向相同，LiEEd （2）若点P在棒的垂直平分线上，则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P的电场强度就是 LLjjEEEdsindy 证：（1）延长线上一点P的电场强度LrqE204d，利用几何关系xrr统一积分变量，则 2200222-041212141)(d41LrQLrLrLxrLxQELLP 电场强度的方向沿x轴。（3）根据以上分析，中垂线上一点P的电场强度E的方向沿y轴，大小为 LrqE204dsin 利用几何关系22,sinxrrrr统一积分变量，则 220232222-0412)(d41rLrQrxLxrQELL 当棒长L时，若棒单位长度所带电荷为常量，则P
37、点电场强度 rLrLQrEL022024121lim 此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同。这说明只要满足122Lr，带电长直细棒可视为无限长带电直线。5-4 一半径为R的半圆细环上均匀分布电荷Q，求环心处的电场强度 分析：在求环心处的电场强度时，不能将带电半圆环视作点电荷。现将其抽象为带电半圆弧线。在弧线上取线元 dl，其电荷此电荷元可视为点电荷lRQqdd，它在点O的电场强度r20d41deErq。因圆环上电荷对y轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，则有LE0dx，点O的合电场强度jELEyd，统一积分变量可求得E。解：由上述分析，点O的电场强度 lRQRELdsin4120O
38、由几何关系ddRl，统一积分变量后，有 20200O2dsin41RQE 方向沿y轴负方向。5-5 设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量。分析：作半径为R的平面S与半球面S一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理 01d0qSSE 这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S的电场强度通量。因而 SSSESEdd 解：由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有 SSSESEdd 依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元 dS的方向，ERRE22cos 5-6 地球周围的大气犹如一部大电机，由于雷雨云和大
39、气气流的作用，在晴天区域，大气电离层总是带有大量的正电荷，云层下地球表面必然带有负电荷。晴天大气电场平均电场强度约为 120 Vm，方向指向地面。试求地球表面单位面积所带的电荷（以每平方厘米的电子数表示）。分析：考虑到地球表面的电场强度指向地球球心，在大气层中取与地球同心的球面为高斯面，利用高斯定理可求得高斯面内的净电荷。解：在大气层临近地球表面处取与地球表面同心的球面为高斯面，其半径ERR（RE为地球平均半径）。由高斯定理 qRES02E14dSE 地球表面电荷面密度 2902EmC1006.14ERq 单位面积额外电子数 25cm1063.6)(en 5-7 设在半径为R的球体内，其电荷为
40、对称分布，电荷体密度为 RrRrkr00 k为一常量。试用高斯定理求电场强度E与r的函数关系。（你能用电场强度叠加原理求解这个问题吗?）分析：利用高斯定理求球内外的电场分布。由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度大小为常量，且方向垂直于球面，因而有 24drESSE 根据高斯定律VSd1d0SE，可解得电场强度的分布（解：因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的 大 小为常量，由高斯定律VSd1d0SE得球体内)0(Rr 400202d414)(rkrrkrrrEr rkrreE024)(球体外（rR）400202d41
41、4)(RkrrkrrrER rrkRreE2044)(5-8 一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为，在平板中部有一半径为r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一点P的电场强度。分析：用补偿法求解 利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场。本题的电场分布虽然不具有这样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加，求出电场的分布。若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成、挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷（电荷面密度）的圆盘。这样中心轴线上的电场强度等效于平板和圆盘各自独立在该处激发的电场的矢量和。解：在带电平面附近 n012eE
42、 ne为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场 n220212eErxx 它们的合电场强度为 n220212eEEErxx。在圆孔中心处x=0，则 E=0 在距离圆孔较远时xr，则 n0n2202112eeExr 上述结果表明，在xr时。带电平板上小圆孔对电场分布的影响可以忽略不计。5-9 一无限长、半径为R的圆柱体上电荷均匀分布。圆柱体单位长度的电荷为，用高斯定理求圆柱体内距轴线距离为r处的电场强度。分析：无限长圆柱体的电荷具有轴对称分布，电场强度也为轴对称分布，且沿径矢方向。取同轴往面为高斯面，电场强度在圆柱侧面上大小相等，且与柱面正交。在圆柱的两个底面上，电场强度与底面平行，0d SE对
43、电场强度通量贡献为零。整个高斯面的电场强度通量为 rLE2dSE 由于，圆柱体电荷均匀分布，电荷体密度2R，处于高斯面内的总电荷 Lrq2 由高斯定理0dqSE可解得电场强度的分布，解：取同轴柱面为高斯面，由上述分析得 LrRLrrLE2202012 202RrE 5-10 一个内外半径分别R1为R2和的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为 R3的均匀带电球面，球面带电荷为Q2。求电场分布。电场强度是否是场点与球心的距离r的连续函数？试分析。分析：以球心O为原点，球心至场点的距离r为半径，作同心球面为高斯面。由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向
44、，且大小相等。因而24drESE，在确定高斯面内的电荷q后，利用高斯定理 0dqSE 即可求的电场强度的分布 解：取半径为r的同心球面为高斯面，由上述分析 024qrE r R1，该高斯面内无电荷，0q，故 E1=0 R1 r R2，高斯面内电荷31323131)(RRRrQq，故 23132031312)(4)(rRRRrQE R2 r R3，高斯面内电荷为Q1+Q2，故 202144rQQE 电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如图所示。在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r=R3的带电球面两侧，电场强度的跃变量 0302344RQEEE 这一
45、跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性。实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层内外的电场强度也是连续变化的，如本题中带电球壳内外的电场，如球壳的厚度变小，E的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，E的变化成为一跃变。5-11 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2(R2 R1)，单位长度上的电荷为。求离轴线为r处的电场强度：（1）r R1，（2）R1 r R2 分析：电荷分布在无限长同轴圆拄面上，电场强度也必定呈轴对称分布，沿径矢方向。取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且rLE2dSE，求出不同半径高斯面内的电荷q。利用高斯定理可解得各区域电场
46、的分布。解：作同轴圆柱面为高斯面。根据高斯定理 04qrLE 0020032022111EqRrrELqRrREqRr，在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变 00022rLLrE 5-12 两个同心球面的半径分别为R1和R2，各自带有电荷Q1和Q2。求：（1）各区域电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面间的电势差为多少？分析：通常可采用两种方法（1）由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势。取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布，再由PPVlE d可求得电势分布。解 由高斯定理可求得电场分布 22021321
47、201211440RrrQQRrRrQRrrreEeEE 由电势rVlE d可求得各区域的电势分布。当1Rr 时，有 2021012021210132114441140ddd2211RQRQRQQRRQVRRRRrlElElE 当21RrR时，有 202012021201322444114dd22RQrQRQQRrQVRRrlElE 当2Rr 时，有 rRQQVr2021334dlE（2）两个球面间的电势差 2101212114d21RRQURRlE 第六章 直流电 6-1 解：(1)由tQI 得，每秒内通过电路中的电子数为 81910102.6106.111010qItn(2)由Jnev 得
48、）（m/s107.4101101.6104.81096192210neSIneJv 6-2 解：由于为并联电路且每个蓄电池的电动势彼此相同，所以每个蓄电池的端电压 U 也相同，根据一段含源电路的欧姆定律有)(75.15.11.01041VIrU 6-3 证明：设通过 1、2、3的电流分别为I1、I2、I3，通过Ri的电流为I 列方程 IRi3I3R IRi2I2R IRi1I1R II1+I2+I3 三个电压方程相加：3IRi123（I1+I2+I3）R 123IR 当 RiR 时，4IR123 UIR1/4(123)6-4 解：R1|R2=）2(2.5102.510RRRR2121 总电流
49、21432121|内内RRRRRRI )A(26.04.01322-16（1）UabI（R1|R2）22=4(V)（2）Ubc2(V).51.622)(422RRI内（3）Ua4(V)，Ub0，Uc5.2(V)Ud3.2(V)0.62222内R 6-5 解：标出各支路电流方向、回路绕行方向以及电流强度符号(图 6-1)，图 6-1 习题 6-5 图 列节点电流方程 0321III 回路电压方程 331111411RIrIRIRI 2222332rIRIRI 带入相应物理量的数值，联立三个方程组求解得：AI35.01；AI1.02；AI25.03 I2 为负值，表明实际方向与所标方向相反.6-6
50、 解：设通过R2、R3的电流分别为I2（向上）、I3（向下），选回路列电压方程及节点电流方程：011222IRRI 0333222RIRI I2=II3 代入数据：00.5241212I 06441232II I2=0.5 I3 联立求解得：1=6.6(V)6-7 解：选回路列电压方程及节点电流方程：0)()(2212111131内内RIIRIRII 0332211RIRIRI 0)()(3323331131内内RIIRIRII 代入数据并联立求解得：联立求解得：I12.5A，I23A，I31.1A 6-8 解：(1)当电容器充满电荷时，其上电压为电源电压U，电荷Q 为 Q=CU1001106