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1、新数学高考一模试题及答案 一、选择题 1现有甲、乙、丙、丁 4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A12 B13 C16 D112 2如图所示的圆锥的俯视图为（）A B C D 3如图所示的组合体，其结构特征是（）A由两个圆锥组合成的 B由两个圆柱组合成的 C由一个棱锥和一个棱柱组合成的 D由一个圆锥和一个圆柱组合成的 4已知平面向量a=（1，3），b=（4，2），ab与a垂直，则是（）A2 B1 C2 D1 5设 是虚数单位，则复数(1)(12)ii（）A3+3i B-1+3i C3+i D-1+i 6为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜
2、色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A13 B12 C23 D56 7已知命题 p：若 xy，则xy，则 x2y2.在命题pq；pq；p(q)；(p)q中，真命题是()A B C D 8如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第 1 次到第 14 次的考试成绩依次记为1214,A AA，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（）A7 B8 C9 D10 9在下列区间中，函数 43xf xex的零点所在的区间为（）A1,04 B10,4 C1 1,4 2 D1 3,
3、2 4 10已知函数()(3)(2ln1)xf xxeaxx在(1,)上有两个极值点，且()f x在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A(,)e B2(,2)ee C2(2,)e D22(,2)(2,)eee 11由 a2，2a，4 组成一个集合 A，A 中含有 3 个元素，则实数 a 的取值可以是（）A1 B2 C6 D2 12已知,a bR，函数32,0()11(1),032x xf xxaxax x，若函数()yf xaxb恰有三个零点，则（）A1,0ab B1,0ab C1,0ab D1,0ab 二、填空题 13已知曲线lnyxx在点 1,1处的切线与曲线221yaxax相
4、切,则a=14设 为第四象限角，且sin3sin135，则 2tan _.15若不等式|3|4xb的解集中的整数有且仅有 1，2，3，则b的取值范围是 16一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 S 的值为_ 17函数lg 1 2sinyx的定义域是_ 18在极坐标系中，直线cossin(0)a a与圆2cos相切，则a _ 19设复数1(zi i 虚数单位),z的共轭复数为z，则1zz_.20在ABC中，若13AB，3BC，120C，则AC _ 三、解答题 21已知数列 na满足1112,22nnnaaa.（1）设2nnnab，求数列 nb的通项公式；（2）求数列 na的前n项和n
5、S；（3）记 21142 2nnnnnnnca a，求数列 nc的前n项和nT.22设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12.已知A是抛物线22(0)ypx p的焦点，F到抛物线的准线l的距离为12.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D.若APD的面积为62，求直线AP的方程.23已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为63，以椭圆的 2 个焦点与 1 个短轴端点为顶点的三角形的面积为2 2（1）求椭圆的方程；（2）如图，斜率为 k 的直线l过椭圆的右焦点
6、F，且与椭圆交与,A B两点，以线段AB为直径的圆截直线1x 所得的弦的长度为5，求直线l的方程 24如图，在正方体1111ABCDABC D中，S是11B D的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点.求证：（1）直线/EG平面11BDD B；（2）平面/EFG平面11BDD B.25如图所示，在四面体 PABC 中，PCAB，点 D，E，F，G 分别是棱 AP，AC，BC，PB 的中点，求证：(1)DE平面 BCP；(2)四边形 DEFG 为矩形 【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除 一、选择题 1B 解析：B【解析】【分析】求得基本事件的总数为222422226C CnAA，其中乙
7、丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222mC C A,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁 4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为222422226C CnAA，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222mC C A,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13mpn，故选 B.【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力
8、，属于基础题.2C 解析：C【解析】【分析】找到从上往下看所得到的图形即可【详解】由圆锥的放置位置，知其俯视图为三角形故选 C.【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，本题容易误选 B，属于基础题.3D 解析：D【解析】【分析】根据圆柱与圆锥的结构特征，即可判定，得到答案.【详解】根据空间几何体的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选 D.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.4D 解析：D【解析】【详解】试题分析：,34,24,32ab，由ab与a
9、垂直可知 0433201ab a 考点：向量垂直与坐标运算 5C 解析：C【解析】因为2(1)(12)1223iiiiii ，故选 C.考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.6C 解析：C【解析】试题分析：将 4 种颜色的花种任选 2 种种在一个花坛中，余下 2 种种在另一个花坛中，有6 种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有 4 种，故所求概率为23，选 C.【考点】古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.7C 解析：C【解析】试题分析：根据不等式的基本
10、性质知命题p正确，对于命题q，当,x y为负数时22xy不成立，即命题q不正确，所以根据真值表可得,(pq pq)为真命题，故选 C.考点：1、不等式的基本性质；2、真值表的应用.8C 解析：C【解析】【分析】根据流程图可知该算法表示统计 14 次考试成绩中大于等于 90 的人数，结合茎叶图可得答案【详解】根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计 14 次考试成绩超过 90 分的次数根据茎叶图可得超过 90 分的次数为 9.故选：C【点睛】本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题 9C 解析：C【解析】【分析】先判断函数 f x在R上单调递增，
11、由104102ff,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数 43xf xex在R上连续单调递增，且114411221143204411431022feefee ,所以函数的零点在区间1 1,4 2内，故选 C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.10C 解析：C【解析】【分析】求得函数的导数()(2)()xxeafxxx，根据函数 f x在(1,)上有两个极值点，转化为0 xxea在(1,)上有不等于2的解，令 xg xxe，利用奥数求得函数的单调性，得到 1age且 222age，又由()f
12、 x在(1,2)上单调递增，得到 0fx在(1,2)上恒成立，进而得到xaxe在(1,2)上恒成立，借助函数 xg xxe在(1,)为单调递增函数，求得2(2)2age，即可得到答案.【详解】由题意，函数()(3)(2ln1)xf xxeaxx，可得2()(3)(1)(2)()(2)()xxxxaxeafxexeaxexxxx，又由函数 f x在(1,)上有两个极值点，则 0fx，即(2)()0 xxeaxx在(1,)上有两解，即0 xxea在在(1,)上有不等于 2 的解，令 xg xxe，则()(1)0,(1)xg xxex，所以函数 xg xxe在(1,)为单调递增函数，所以 1age且
13、 222age，又由()f x在(1,2)上单调递增，则 0fx在(1,2)上恒成立，即(2)()0 xxeaxx在(1,2)上恒成立，即0 xxea在(1,2)上恒成立，即xaxe在(1,2)上恒成立，又由函数 xg xxe在(1,)为单调递增函数，所以2(2)2age，综上所述，可得实数a的取值范围是22ae，即2(2,)ae，故选 C.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(
14、3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.11C 解析：C【解析】试题分析：通过选项 a 的值回代验证，判断集合中有 3 个元素即可 解：当 a=1 时，由 a2=1，2a=1，4 组成一个集合 A，A 中含有 2 个元素，当 a=2 时，由 a2=4，2a=4，4 组成一个集合 A，A 中含有 1 个元素，当 a=6 时，由 a2=36，2a=4，4 组成一个集合 A，A 中含有 3 个元素，当 a=2 时，由 a2=4，2a=0，4 组成一个集合 A，A 中含有 2 个元素，故选 C 点评：本题考查元素与集合的关系，基本知识的考查 12C 解
15、析：C【解析】【分析】当0 x 时，()(1)yf xaxbxaxba xb最多一个零点；当0 x时，32321111()(1)(1)3232yf xaxbxaxaxaxbxaxb，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得【详解】当0 x 时，()(1)0yf xaxbxaxba xb，得1bxa；()yf xaxb最多一个零点；当0 x时，32321111()(1)(1)3232yf xaxbxaxaxaxbxaxb，2(1)yxax，当1 0a，即1a时，0y，()yf xaxb在0，)上递增，()yf xaxb最多一个零点不合题意；当10a，即1a 时，令0y 得1x
16、a，)，函数递增，令0y得0 x，1)a，函数递减；函数最多有 2 个零点；根据题意函数()yf xaxb恰有 3 个零点函数()yf xaxb在(,0)上有一个零点，在0，)上有 2 个零点，如图：01ba且32011(1)(1)(1)032baaab，解得0b，10a，310(116,)baa 故选C 【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.二、填空题 138【解析】试题分析：函数在处的导数为所以切线方程为；曲线的导函数的为因与该曲线相切可令当时曲线为直线与直线平行不符合题意；当时代入曲
17、线方程可求得切点代入切线方程即可求得考点：导函数的运用【方法点睛】解析：8【解析】试题分析：函数lnyxx在(1,1)处的导数为111|1|2xxyx，所以切线方程为；曲线2(2)1yaxax的导函数的为，因 与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐
18、标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数 14【解析】因为4cos212(2cos21)12cos21所以 cos2又 是第四象限角所以 sin2tan2点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同 解析：34【解析】因为3sinsin2sinsin 22sincoscossinsin 22221sin coscossinsin 24sin cossinsin 4cos212(2cos21)12cos 21 135，所以 cos 245.又 是第四象限角，所以 sin 235，tan234.点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦
19、，特殊值与特殊角的三角函数互化 15【解析】【分析】【详解】由得由整数有且仅有 123 知解得 解析：(5,7)【解析】【分析】【详解】由|3|4xb得4433bbx 由整数有且仅有 1，2，3知40134343bb，解得57b 168【解析】分析：先判断是否成立若成立再计算若不成立结束循环输出结果详解：由伪代码可得因为所以结束循环输出点睛：本题考查伪代码考查考生的读图能力难度较小 解析：8【解析】分析：先判断6I 是否成立，若成立，再计算IS，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8ISISIS，因为76，所以结束循环，输出8.S 点睛：本题考查伪代码，考查考生
20、的读图能力，难度较小.17【解析】由题意可得函数满足即解得即函数的定义域为 解析：513|22,66xkxkkZ【解析】由题意可得，函数lg(12sin)yx满足1 2sin0 x，即1sin2x，解得51322,66kxkkZ，即函数lg(12sin)yx的定义域为513|22,66xkxkkZ.18【解析】【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化 解析：12【解析】【分析】根据222,cos,sinxyxy将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程
21、，再根据圆心到直线距离等于半径解出a.【详解】因为222,cos,sinxyxy，由cossin(0)a a，得(0)xya a，由2cos，得2=2cos，即22=2xyx，即22(1)1xy，因为直线与圆相切，所以1112012.2aaaa ，【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cosx及siny直接代入并化简即可；（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos,sin,的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.19【解析】分析：由可得代入利用复数乘法
22、运算法则整理后直接利用求模公式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和 解析：10【解析】分析：由1 iz ，可得1iz ，代入1 zz，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.详解：因为1 iz ，所以1iz ，11 1121zziiii 39 110i ，故答案为10.点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题解题时一定要注意21i 和 abicdiacbdadbc i 201【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程解方程即可确定 AC 的值【详解】由
23、余弦定理得解得或（舍去）【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计 解析：1【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于 AC 的方程，解方程即可确定 AC 的值.【详解】由余弦定理得21393ACAC，解得1AC 或4AC （舍去）.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题 21（1）nbn（2）11 22nnSn（3）11412331 2nnnn【解析】【分析】【详解】（1）由1122nnnaa得11nnbb，得nbn；（2）易得2nnan，122311 2222,21 2
24、222,nnnnSnSn 错位相减得12111222222212nnnnnSnn 所以其前n项和11 22nnSn；（3）222111142 21421212?1 2?1 2?1 2nnnnnnnnnnnnnnnnncnnn nn n 1111111111112?21?222?21?2nnnnnnnnnnnnnn，2231212231111111111122221?22?22?23?2?21?2nnnnnnTnn 1112113621?2nnnn 或写成 11412331?2nnnn.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“nS
25、”与“nqS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“nnSqS”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1和不等于 1两种情况求解.22（）22413yx，24yx.（）3630 xy，或3630 xy.【解析】试题分析：由于A为抛物线焦点，F到抛物线的准线l的距离为12，则12ac，又椭圆的离心率为12，求出,c a b，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则(1,0)A，设直线AP方程为设1(0)xmym，解出PQ、两点的坐标，把直线AP方程和椭圆方程联立解出B点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D的坐标，最后根据APD的面积为62解
26、方程求出m，得出直线AP的方程.试题解析：（）解：设F的坐标为,0c.依题意，12ca，2pa，12ac，解得1a，12c，2p，于是22234bac.所以，椭圆的方程为22413yx，抛物线的方程为24yx.（）解：设直线AP的方程为10 xmym，与直线l的方程1x 联立，可得点21,Pm，故21,Qm.将1xmy与22413yx 联立，消去x，整理得223460mymy，解得0y，或2634mym.由点B异于点A，可得点222346,3434mmBmm.由21,Qm，可学*科.网得直线BQ的方程为222623421103434mmxymmmm，令0y，解得222332mxm，故2223,
27、032mDm.所以222223613232mmADmm.又因为APD的面积为62，故2216262322mmm，整理得232 620mm，解得63m，所以63m .所以，直线AP的方程为3630 xy，或3630 xy.【考点】直线与椭圆综合问题【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键.23（1）22162xy；（2）2yx或2yx .【解析】【
28、分析】（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积建立方程，结合 a2b2+c2，即可求椭圆 C 的方程；（2）联立直线方程与椭圆联立，利用韦达定理表示出12xx及12xx，结合弦的长度为5，即可求斜率 k 的值，从而求得直线方程【详解】解：（1）由椭圆222210 xyabab的离心率为63，得63ca，33ba.由21222 223Sc ba得6a，2b，所以椭圆方程为22162xy（2）解：设直线:2ABlyk x，11,A x y，22,B x y，AB中点00,M xy 联立方程222360yk xxy得22221 3121260kxk xk，2212122212126,1 31 3kkxx
29、x xkk.221222 6111 3kABkxxk 所以20261 3kxk，点M到直线1x 的距离为22022316111 31 3kkdxkk 由以线段AB为直径的圆截直线1x 所得的弦的长度为5得 222522ABd，所以2222222613151 31 32kkkk，解得1k，所以直线l的方程为2yx或2yx 【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，整理出12xx及12xx，代入弦长公式22121214ABkxxx x列方程求解，还考查了圆的弦长计算，考查学生的计算能力，属于中档题 24（1）证明见解析（2）证明见解析【解
30、析】【分析】（1）结合几何体，因为,E G分别是,BC SC的中点，所以/EGSB.，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由,F G分别是,DC SC的中点，得/FGSD.由线面平行的判定定理/FG平面11BDD B.，再由（1）知，再利用面面平行的判定定理证明.【详解】证明：（1）如图，连接SB，,E G分别是,BC SC的中点，/EGSB.又SB 平面11,BDD B EG 平面11BDD B，所以直线/EG平面11BDD B.（2）连接,SDF G分别是,DC SC的中点，/FGSD.又SD 平面11,BDD B FG 平面11,BDD B/FG平面11BDD B.又EG 平面,EFG
31、FG 平面,EFG EGFGG，平面/EFG平面11BDD B.【点睛】本题主要考查了线面平行，面面平行的判断定定理，还考查了转化化归的能力，属于中档题.25(1)见解析；(2)见解析.【解析】【分析】（1）根据 DE 平行 PC 即可证明（2）利用 PC，可知 DE 与 FG 平行且相等，即可证明.【详解】证明：(1)因为 D，E 分别为 AP，AC 的中点，所以 DEPC.又因为 DE平面 BCP，PC平面 BCP，所以 DE平面 BCP.(2)因为 D，E，F，G 分别为 AP，AC，BC，PB 的中点，所以 DEPCFG，DGABEF.所以四边形 DEFG 为平行四边形 又因为 PCAB，所以 DEDG.所以四边形 DEFG 为矩形【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的判定及中位线的性质，属于中档题.