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1、 1 第一讲 义务教育数学课程标准（2011 版）解读 【教学目标】1.了解义务教育数学课程改革的背景、进展，认识数学课程的理念、设计思路以及课程目标和内容标准。2.结合教材（苏教），理解四部分课程内容在三个学段的开设情况。3.领会义务教育阶段学生数学素养的几个方面的培养情况。【教学重难点】重点：课程标准的变化、课程理念解读 难点：对新增加的核心概念的理解【教学方法】讲授法、讨论法、合作教学【教学内容】引言由“课程标准”走进“后课程标准”（标准（2011 年）全日制义务教育数学课程标准（实验稿）（以下简称标准（实验稿）于 2001 年开始在实验区实施，2005 年在全国推广。经过几年的实施，取
2、得了明显成效，也发现了一些问题。教育部于 2005 年 5 月成立“全日制义务教育数学课程标准修订组”，开始标准的修订工作。数学课程标准修订是根据义务教育法的有关规定，遵循基础教育课程改革纲要确定的基础教育课程改革的基本理念，总结新一轮课程改革实施 10 年来的经验，使数学课程更加完善，适应社会发展与教育改革的需要。力求标准更加完善：使标准表述更加准确、规范、明了、全面；使标准结构更加合理、思路更加清晰；进一步增加标准的可操作性，更适合教材编写、教师教学和学习评价。同时在修改期间公布的国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020）对标准的修订工作起了重要的指导作用。2007 年底完成了
3、修订的主要工作，形成全日制义务教育数学课程标准（修订稿）（以下简称标准（修订稿）。之后，按教育部统一部署，对初稿广泛征求意见，并进行了必要的框架和文字修改，于 2010年完成修订稿，2011 年通过审查正式公布。义务教育数学课程标准（2011 年版）（以下简称标准（2011）根据教育部文件已正式印发，并将于 2012 年秋季开始执行其对课标（实验稿）作了哪些修订，下文先从整体上粗略的予以梳理，具体修订内容背后蕴含的意义还需要更加深入的研究。2 1.1 课程性质、课程理念、设计思路 标准（2011）包括如下几个部分：第一部分 前言 基本性质、基本理念、设计思路 第二部分 课程目标 总体目标、学段
4、目标 第三部分 课程内容（按第一、二、三学段分述）第四部分 实施建议 教学建议、评价建议、教材编写建议、课程资源开发与利用建议 附录 1 有关行为动词的分类 附录 2 课程内容及实施建议中的实例 说明：两次标准整体情况的对比：首先，“前言”内容做了较大的调整。在前言重点阐述了标准的指导思想、意义与功能课程性质、课程基本理念、课程设计思路。其次，课程目标中的关键术语的解释和所有比较完整的实例统一放在附录中，案例进行统一编号，便于查找和使用。最后，实施建议（教学建议、评价建议、教材编写建议、课程资源开发与利用建议）由原来按学段表述，改为三个学段整体表述，避免不必要的重复，减少了标准正文的篇幅。一、
5、前言 1.“数学”的定义 课标（2011）明确给出了“数学”的定义：数学是研究数量关系和空间形式的科学 课标（实验稿）把“数学”定义为“是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程”，将数学作为人类“数学化”组织现实世界的活动系列，定义有些泛化 2.数 学 观 课标（实验稿）在“基本理念”中论述其数学观：“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具.,数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法.；数学在提高人的推理能力、抽象能力和创造力方面有着独特的作用；数学是人类的一种文 化.”阐明了数学的工具观、模型观、语言观、方
6、法论观、思维场观和文化观 课标（2011）将对数学的理解前提至“前言”第一节，“数学更加广泛的应用于社会生产和日常生活的各个方面.数学作为对于客观现象抽象概括而成的科学语言与工具,不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学和社会科学中发挥着越来越大的作用.数学是人类文化的重要组成部分”课标（2011）论述不及课标（实验稿）全面，但强调了“数学与人文”的融合 课标（实验稿）强调学生对“数学化”过程的经历，即“经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”课标（2011）“发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用”1则奠定了课标修改的基调关注创新、关注思维【说明】树立正确
7、的数学教学观：教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。3 教学中最需要考虑的是什么？数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。二、课程性质 义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。义务教育的数学课程能为学生
8、未来生活、工作和学习奠定重要的基础。三、基本理念及其变化 课标（2011）理念要点：要处理好四个关系：过程和结果的关系；学生自主学习和教师讲授的关系；合情推理和演绎推理的关系；生活情境和知识系统性的关系。有效的教学活动是什么？学生学与教师教的统一。数学课程基本理念（两句话）：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。数学教学活动的本质要求培养学生的数学素养，师生共同发展。培养良好的数学学习习惯 注重启发式 正确看待教师的主导作用 处理好评价中的关系 注意信息技术与课程内容的整合 具体而言：1 数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，
9、使得：2课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。课程内容的呈现应注意层次性和多样性。3教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维
10、；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。4 4学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改
11、进教师教学。应建立目标多元、方法多样的评价体系。评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建立信心。5信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。【变化情况】在结构
12、上由原来的 6 条改为 5 条。课标（实验稿）“基本理念”的结构为：课程性质、数学观、数学学习、数学教学、评价、信息技术 课标（2011）在“基本理念”中则新增了“课程内容”，并将实验稿中“数学学习、数学教学”合并为“教学活动”。理念整体上 先：数学课程数学数学学习数学教学评价信息技术 后：数学课程课程内容教学活动学习评价信息技术 数学课程 先：“使数学教育面向全体学生，实现：人人学有价值的数学，人人获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”。后：“数学课程应面向全体学生，适应学生个性发展需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。课程内容 先：学生的数学学
13、习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，后：课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验、思考与探索。课程内容的组织要处理好过程与结果，直观与抽象的关系，直接经验与间接经验的关系。（要充分利用现实背景材料，发展学生的数学素养）教学活动 A、关于教学方式 先：动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。后：除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是学生学习数学的重要方式。（肯定了接受学习的作用）B、关于学习途径 先：主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。后：学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。C、关于教师的主导作用 先
14、：教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。5 后：注重启发式和因材施教，处理好讲授与学生自主学习的关系，通过有效的措施，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生（发挥教师的主导作用并不排斥教师讲授知识）【说明】如此修订的原因：教学实践中，教师对课标（实验稿）“活动、探究”理念的错误理解导致了形式化的倾向，如情境创设绚丽多彩、虚假造作、缺少问题、去数学化，探究活动方向模糊、时时探究、只重过程、缺少思维中国传统教学方式中，精讲多练、变式练习等仍有其合理之处，讲授
15、静听式的间接经验学习同样可以是“意义学习”。学习评价 先：要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，后：要关注学生学习的结果，也要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平，也要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，（两者同等重要）信息技术 先：应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，后：要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。改进教与学的方式，（既
16、要开发运用，又要考虑教学内容的需要，以及培养目标的实现）三、课程设计思路 义务教育阶段数学课程的设计，充分考虑本阶段学生数学学习的特点，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发数学思考；充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质；在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。按以上思路具体设计如下。1.课程内容的分类名称有所修改 先：“数与代数”，“空间与图形”，“统计与概率”，“实践与综合应用”后：“数与代数”，“图形与几何”，“统计与概率”，“综合与实践”。2.确立了义务教育阶段数学教
17、育的核心词 先：数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力。后：数感、符号意识、运算能力、空间观念、几何直观、推理能力（合情推理、演绎推理）、模型思想以及应用意识和创新意识。3.学习内容及要求进一步分类细化 如：在“数与代数”的教学中，应帮助学生建立数感和符号意识，发展运算能力和推理能力，初步形成模型思想。（A 强调“运算能力”；B 提出“推理能力”新要求；C 明确提出“模型思想”）6 如：在“图形与几何”的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。（“几何直观”是新增的要求）如：在“数据分析”的教学中，帮助学生逐渐建立起数据分析观念，了解随机现象。（“随机现
18、象”是新增要求）数学课程标准核心概念解读之“几何直观”【教学目标】1.使学生理解“几何直观”定义及内涵；2.通过具体的实例感受几何直观在中小学教学中的地位和作用；3.初步形成培养学生几何直观能力的策略，为以后的教学工作奠定基础。【教学重难点】几何直观的内涵；如何培养学生的几何直观能力【教学方法及技术】讲授法、问题驱动教学法 多媒体信息技术（2 学时）（一）几何直观 引入：以往的课程教学：数学家庞卡莱说过这样一个故事：教师里，先生对学生说：“圆周是一定点到同一平面上等距离点的轨迹。学生们抄在笔记本上，可是谁也不明白圆周是什么。于是，先生拿起粉笔在黑板上画了一个圆圈，学生们立即欢呼起来：“啊，圆周
19、就是圆圈啊，明白了！”教师在教学中，只呈现抽象的命题信息，学生可以一字不差地记住，但是不理解，画了一个圆圈之后，就把新知识与学生原有的生活经验（数学现实）联系起来了，同时也就是把命题信息与知觉信息结合在一起，有利于学生形成认识结构。今天的课堂教学：对于圆，比如说为什么车轮是圆形的？如何将一张纸撕成一个圆形？主张学生主动参与到课堂教学中来。1.几何学的诞生 7 最初的一些几何概念和知识要追溯到史前时期，它们是在实践活动的过程中产生的。人们为了自己的实际目的去测量长度、确定距离、估计面积和体积，最初的一些几何关系，比如说长方形的面积等于它的两边的乘积等。古希腊的学者欧第姆在公元前 4 世纪写道：“
20、几何学是埃及人发现的，从测量土地中产生的。因为尼罗河水泛滥，经常冲去边界.，这门学科和其他学科一样，是从人类的需要产生的，对于这一点没有什么惊异的，任何新产生的知识都是从不完善的状况过度到完善的状况，知识通过感性的感觉而产生，逐渐成为我们的考察对象，而最后变成理性的财产。”当然，土地测量不是激起古人建立几何学唯一的课题。埃及人和巴比伦人会测定最简单的面积和体积，甚至可以知道圆周率的比较精确的值，并能够计算球的表面积，也就是说他们累积了很多几何知识，却没有将之作为一门有自己的的定理和证明理论科学的几何学。公元前 7 世纪，几何从埃及到希腊，经由泰勒斯、德谟克利特发展，毕达哥拉斯学派的充实。使得几
21、何学朝着积累新的事实和阐释它们间相互关系的方向发展。这些关系逐渐的转变为从一些几何原理得到另外一些几何原理的逻辑推论。用这种方法首先形成了关于几何定理及其证明概念本身，其次阐明了哪些可以从中推导出其他原理的基本原理，这就是说阐明了几何的公理。由此，几何就这样逐渐地转变成了数学理论。公元前 3 世纪左右几何原本一位希腊天才的完美创造物一本长命的书。研究对象：几何从事于几何物体和图形的研究，研究他们的量的关系和相互位置，但是几何物体不是什么别的东西，正是舍弃了其他性质，比如说密度、颜色、重量等等，而仅仅从它的空间形式的观点来加以考虑的现实的物体。所谓舍弃了其他性质也就是说采取“纯粹形式”的现实物体
22、的空间形式和关系作为自己的对象，正是这种抽象程度把几何同其他也是研究物体的空间形式和关系的科学区分开来（比如说天文学、测地学、晶体学等，研究其位置关系是与其他性质是相互联系的）。抽象引起了几何的思辨方法，对于没有任何厚度的直线，对于“纯粹形式”是不能做实验的，只有用推理方法从一些结论导出另一些新的结论，所以所几何定理应该有推理来证明。几何原本，1607 年传入我国（前六卷）。徐光启的评价：此书有四不必：不必疑，不必揣、不必试、不必改。有四不可得：欲脱之不可得、欲驳之不可得、欲改之不可得、欲前后更置之不可得。有三至三能：似至晦，实至明，故能以其明明它物之至晦；似至繁，实至简，故故能以其简简它物之
23、至繁；似至难，实至易，故能以其易易它物之至难。易生于简，简生于明，综其妙在明而已。公设：只适用于本学科。任意两点一直线；一直线段可以向两端无线延伸而成直线；以任意一点为中心，通过任意给定的另一点可以作一圆；凡直角都相等；如果同一平面内任一直线与另外两条直线相交，同一侧的两内角之和小于两直角，则.（第五公设也是科学史上最重要的一句话）公理：适用于一切科学的真理 2.几何直观加强几何直观，是世界数学课程改革的方向。8 标准（2011 版）明确指出，几何直观主要是指“利用图形描述和分析数学问题。”“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学
24、生直观的理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”从过程而言，它与文字、数字、符号、表格等相区别，主要体现在“利用图形”；从结果来说，“不同的学生具有不同的几何直观水平”，是一种静态能力与数学素养的反应。说明：其实这是针对几何直观的作用的解释性说明，而不是对“几何直观”的明确定义。但却给我们的教学和学习以思考的依据。那么，如何界定几何直观？2.1 品味什么是几何直观？直观：所谓直观，辞海（第六版）的解释是即感性认识：其特点是生动性、具体性和直接性；中国大百科全书的解释是：“通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识。拉丁文为，意为凝视。中国按其不同含义分别译为直观和直觉。直观的字面意义是
25、直接的观察。”克莱因：“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上”。数学的直观既是对概念和证明的直接把握。心理学家：直观是从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的能力。数学家徐利治：“直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知”。换言之，通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。综上：几何直观是一种特殊的数学直观。借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力。形成几何直观素养：技能、能力、意识、思维方
26、式。例题1：乘法对加法的结合律。例题2：完全平方公式.(通过学生推导完全平方公式，了解公式的几何背景)以上两个问题都是以明确的几何图形为载体的几何直观。凭借几何直观展开的思维活动，可以成为创新性思维活动的开端。在教学中，教师帮助学生凭借直观直观了解有关数学内容，不仅仅能够深化理解，而且能够培养一种思维方式凭借简捷、直观的载体，巧妙地化解相关问题。这种思维正是创新性思维的重要成分之一。在例题3中，借助“双数轴”化解“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，就包含深刻的创新成分：在小学分数除法教学中，下面的课堂实录很好地体现几何直观帮助学生理解“除以一个数等于乘以这个数的倒数”的事实。例题3：除以一个数
27、等于乘以其倒数.师：上节课我们学习了整式除法，那么，下面这个问题谁能帮老师解决呢？9 问题1：升油漆能刷平方米的墙，那么，升油漆能刷多少平方米的墙？问题2：升油漆能刷 平方米的墙，问升油漆能刷多少平方米的墙？事实上，几何直观的作用，一方面在于它对于数学认识活动有启动作用，另一方面则在于，直观直感的材料对于深化数学认识活动具有独特作用。因而，培养学生的几何直观也是认识论问题，是学生认知的重要基础。几何直观素养的培养是一个长期、动态的过程，学生直接感知到的图形并不一定就能产生“直观”的效果，只有在学生主体认知水平和既有经验积累达到一定程度而产生的“直观”，才是具有教学价值的直观。几何直观在学生数学
28、学习过程中具有不可替代的作用：一方面，可以帮助学生直观地理解数学，借助图形，使得抽象的概念、算理、法则、公式变得形象、简明；另一方面，也能培养学生利用几何直观发现问题、分析问题、简化思路，寻求个性化数学思考的能力。几何直观不仅仅在“图形与几何”教学中具有重要的教学价值，在非几何与图形领域中，更能彰显出它的教学价值来，因为，只有在非几何与图形领域的教学中，才能更好地培养学生的几何直观意识与能力，最终达到提升几何直观素养的目的。2.2 处理好几对关系（1）空间观念与几何直观 空间观念（空间想象能力）倾向于即使脱离了背景也能想象出图形的形状、关系的能力，而几何直观更强调借助一定的直观背景条件而进行整
29、体把握的能力。从对象上来看，空间观念不仅涉及“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体”，而且涉及“想象出物体的方位和相互之间的位置关系，描述图形的运动和变化，依据语言的描述画出图形等”，而几何直观是凭借图形对几乎所有的数学研究对象进行思考的能力。可见，几何直观与空间观念有重叠的成分，诸如“根据几何图形想象出所描述的实际物体”等，但是，二者各有侧重。此外，几何直观具有思维的跳跃性，而空间观念具有思维的连贯性。几何直观与空间观念在几何活动中共同发挥作用。（2）几何直观与几何推理 几何直观与几何推理论证也有密切的关联，几何中的推理论证始终在利用几何直观想象相应的图形，即使是欧
30、几里得在几何原本中处理几何证明问题，也不时地借助几何直观（当然，希尔伯特在几何基础中已经不再借助几何直观，而是单纯的形式化、高度的形式化）。而借助几何直观“看”出来的结果，需要经过逻辑推理的验证。几何直观与几何直觉 几何直观与几何直觉非常相似。所谓“直觉”，辞海的解释是“一般指不经过逻辑推理认识真理的能力”，而中国大百科全书的解释是“一种不经过分析、推理的认识过程而直接快速地进行判断的认识能力。近代认知心理学则把直觉看成一种再认过程，是在过去经验的基础上，从长时记忆中提取具有问题解决意义的答案过程。直觉能力是人的心理能力高度发展的表现”。国内外学者普遍认为：“直觉是不经过逻辑的、有意识的推理而
31、识别或了解事物的能力”。1 0 几何直观是在直观感知的感性基础之上所形成的理性思考的结果所致，是学习者对于数学对象的几何属性（或与几何属性密切相关的一些属性）的整体把握和直接判断的能力，而几何直觉属于学习者对于数学对象的感性认识，有很大程度上的猜测成分和朦胧的整体把握，不仅有“经验直觉”的成分，而且有“知性直觉”、“理性直觉”的成分。同时，几何直观是学习者、研究者对于数学对象的全貌和本质进行的直接把握，这种直接判断建立在针对几何图形长期有效的观察和思考的基础之上，既有相对丰富的经验积累，也有经验基础之上的理性的概括和升华。几何直觉是“右脑以并行性方式思维，针对几何研究对象，采取的是同时进行整体
32、分析的策略”。因而，几何直觉无须推理就能直接地对事物及其关系作出迅速的识别和理解，而几何直观则是建立在图形基础之上，以直观背景为条件而进行整体把握的。从“整体把握”这一点上看，二者是相似的，而从“是否有逻辑性来看”二者是明显不同的，几何直观的“整体把握”往往带有明显的逻辑成分。2.3 教学中对几何直观能力培养的思考 案例 1.这是一节圆周角的起始课，引入概念、剖析定义中的关键词、探索并证明圆周角定理，一切进行的比较顺利。在巩固概念的环节，教师的一道看似平常的小题，却让初次认识圆周角的一个高个男生不知所错了。老师出示的问题是：已知：如图，AOB=1000，问ACB 的度数。问题出示片刻后，老师开
33、始提问，下面就是一 个学生的回答。学生：ACB=500 学生的回答似乎验证了教师出示此题目的意 义，也给了教师进一步提问和阐释的机会。教师：这个角是什么角，它与已知角是什么关系，那么，找一找，和它在同一弧上的圆心角是哪个角呢？那你知道这个角是多少了吗？在老师的引导下，学生终于找到了要求的角与已知角的关系，并求出了这个角的度数。在上面的这个教学片段中，学生由于对圆周角的概念还不十分熟悉，所以，认为所求的角与已知的角是同弧上的圆周角和圆心角的关系，对这个问题的错误回答反映出了学生初学概念时理解上出现的问题，教师对学生的引导也是对概念的进一步巩固，然而，在解答学生出现问题的过程中，不知读者是否感觉到
34、还缺少些什么，学生对该角大小的回答只是考虑了刚刚学过的圆周角与圆心角的关系，老师的回答也是仅仅从定义和两个角的关系这些角度考虑的。然而从直观上看，所求的角的大小与 500有多么大的差距啊！学生们为什么在下结果前没有注意到这一点，而我们的老师也忽略了这样一个指出错误的显而易见的理由。如果学生不是视图形的特征而不顾，他应 1 1 该不会把那样一个角说成是 500，但遗憾的是，教师对图形的直观作用也视而不见，师生双双被定义和逻辑束缚了手脚。案例 2 这是一节反比例函数的练习讲评课。老师带领大家一起来看下面这个问题的解答。问题：若点 A（-2，y1），B（-1，y2），C（1，y3）在反比例函数 y=
35、x1的图像上，则下列结论正确的是A.1y2y 3y B.3y1y2y C.2y1y 3y D.3y2y1y 经询问大家后，老师得知很多学生的解答方法是将四个点的横坐标代入，然后比较四个数的大小，老师在肯定了同学们的解答和答案后，就继续其他问题的解答了。也就是说这样的一个题目的完成完全转变成了代数的运算和数的比较大小。但是，这个问题的解答是不是还应该引导学生有另一个角度的理解呢。如果能够结合函数的图像，观察到所给出的三个点在图像上的关系，就能够得到答案，不仅仅是解题的速度问题，而且还可以将这样的问题进行一般性的推广，这样的考虑问题的角度应该是函数性质的一个更全面的复习与把握，应该是学生学好函数内
36、容的关键之处，但如果只关注需找问题的正确答案，而忽视了对它的多个角度的分析，就失去了一个机会。函数学习中借助图像解决问题的思路和方法是很重要的，教师们也都赞同这一点，但是在遇到具体问题时，我们应该如何处理，如何让学生们体会到图像的意义？这还需要老师们的真正对它的认识。以上两个例子的一个共同之处，就是在能用图形说话的时候，教师却没有意识到，也使得摆在眼前的可借助的直观可惜地溜掉了。那么，在数学的学习过程中养成用图形说话的习惯是培养几何直观的途径，同时养成画图的习惯也是十分重要的。上面所举的例子，是用图形说明一个具体的问题，除了这样的情形之外，我们在一部分知识内容学习之后，梳理知识之间的联系、用图
37、形表达它们之间的关系是用图形说话的另一种方式，而教学中教师呈现知识之间的网络图可以使学生很好地把握知识之间的联系，但是如果让学生尝试着自己去画出表达知识之间联系的图形，那么对学生整体理解和把握知识、运用图形表达自己的理解是更加重要的。当然，只要教师能够对几何直观有充分的认识，在教学中就会有很多的培养几何直观的机会。在数与代数的学习中，用图形描述数的关系，可以多角度地认识和理解知识，体会数的知识与形的知识之间的联系。例如，对于)(22bababa，2222)(bababa等这些代数的规律，如果学生可以用图形来表示，那么，他们将体会到图形的意义，也会感受图形与代数的联系，也是培养学生几何直观的一次
38、机会。因此，几何直观不仅在“图形与几何”的学习中，而且在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。1 2 几何直观包括在已有的图形中利用其蕴含的信息，发现问题、解决问题；也包括在没有图形的情况下，根据已有信息绘制图形解释和说明并进一步解决问题。对于后者，教师们熟悉的“数形结合”中的利用图形分析解决代数问题属于其中，但是我们常常看到的一些典型案例有些为结合而结合的味道，而关于前者可能不被老师们所意识，因此也就出现了上述教学中的几何直观的“溜走”现象。2.3 教材的编写与几何直观的培养 培养学生的几何直观能力，在教育的过程中，就需要对学生适时地引导，也需要有相应的素材来提供这样的机会，为学生展现利用图形
39、思考、分析解决问题搭建合适的平台，这其中，教材的编写要发挥应有的作用。在北师大的新世纪数学实验教材中，我们能够发现在不同领域的内容呈现中对几何直观能力培养的关注。以函数内容的呈现为例。我们知道，表现变量之间的关系的形式是多样的，图形的、表格的和解析式的，其中以图形（即函数图像）的方式表现变量之间的关系能够很好地反映其对应的本质，也是使学生体会函数本质的不可或缺的方面。新世纪数学实验教材在七年级下册中，专门安排了一章“变量之间的关系”，对以图形的形式展示变量之间的关系也给予了关注，有读图描述对应关系、看图讲故事、情景与图形的对应等等，总之，用图形说明函数的关系和本质为学生理解函数提供了直观的、丰
40、富的认识基础，也是将抽象概念的直观化的一个成功的案例。此外，新世纪数学实验教材在一些数与代数的课程内容处理上，也常常借助图形说明问题，如有理数的加法运算运用了如下的图解形式：1 3 而下面的拼图与表示等活动，则是在推导多项式与多项式相乘的公式时以图形对其进行解释的一个片段 所有这些编排的出发点，都是希望能够借助图形等直观的方式帮助学生更好地理解相应的课程内容，同时，也在向学生展示着如何利用图形说明一个问题或一个道理。“几何直观”与其他的核心概念一样，既被表述在课程目标中，又与课程内容的学习密切联系着，它们成为沟通目标与内容的桥梁。在标准（实验稿）中明确了“空间观念”核心概念之后，“几何直观”将
41、对人们对“图形与几何”的学习目标的认识带来不一样的理解，除推理能力（包括演绎推理和合情推理）外，我们对几何课程的价值的理解又有了更深刻的认识。然而，核心概念在课程实施中的贯彻与体现，远不像知识技能那样显性和易于评价。如何在教学中选择合适的方式实现课程标准的要求还需要我们的思考和不断探索。【作业】思考：以苏教版初中数学教材七年级上的某个内容为依据，说说对这部分知识的认识（目的、作用、地位），以及其中所蕴含着的几何直观思想。【参考文献】1 4 1中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）M，北京师范大学出版社，2001.2蒋文蔚.几何直观思维在科学研究及数学教学研究中的作用J，
42、数学教育学报.1997(4)3史宁中.关于数学的反思J,东北师大学报(哲学社会科学版),1997(2)4 希尔伯特(D.Hilbert),康福森(S.Cohnvossen).直观几何.高等教育出版社，1959 （二）运算能力简析 数学运算能力是数学的基本能力之一，数学运算是初中数学教学的重要内容，也是数学学科的基础，在很大程度上影响着学生的数学成绩。数学运算能力的提高还可以促进记忆能力、理解能力、推理能力、抽象概括能力及数学思维的发展。课改前对运算的“准确、快捷、灵活、简便”的要求，使得教师通过大量练习来训练、提升学生的运算能力，这当然对我国的基础教育起到了很重要的作用。然而，通过题海战术过分
43、侧重运算技巧的训练，已经不能适应当今社会发展的需求，社会的进步发展推动着数学教学的改革。新课程教材删掉了一些偏、难的内容，对运算的要求也随之降低，再加上计算器引入数学教学，使得教师在平时的教学中对学生运算能力的培养有所忽视。课堂上，教师重视通过组织教学活动来揭示新知识的形成过程，重视分析、推理，却对运算教学重视不够，特别是在复习时间紧张的时候，对一些问题往往只重视题目的分析与理解，重视解题策略的选择，至于具体进行运算则一带而过，或是笼统的讲一下运算步骤、易错知识点，没什么针对性。学生碰到运算更是眼高手低，认为运算很简单，没什么技术含量，但是每次测试中运算内容的错题率均居高不下，而学生把这些运算
44、错误归结为马虎、不认真、不仔细、没看清题、笔误等等，而下次还会犯同样的马虎、不仔细。殊不知，是学生的运算能力较差，导致出现运算错误是必然的，而不仅是一次偶然的马虎。对初中生运算能力的问题，已经引起了不少学者和一线教师的重视。杜先存 结论：“学生的实际数学能力水平不高，尤其是运算能力，仍处在义务教育的初级阶段。总的来说，学生的推理能力较强，其次是判断能力，而较差的是应用能力，最差的是运算能力。1.数学运算能力 数学辞海（2002 年版）第六卷指出，运算能力是指运用有关运算的知识进行运算、推理求得运算结果的能力，它是数学能力的基本成分之一。运算是一个演绎推理的过程。在初等数学阶段数学运算主要有四则
45、运算，整式、有理式、根式运算，指数、对数及三角函数运算。而到了高等阶段则发展为极限运算，微分、积分运算，向量、矩阵运算，数据、信息处理和概率运算，集合、逻辑运算以至于更广义、更抽象的运算。数学运算能力包括所有这些方面的运算能力 曹才翰先生在中国中学教学百科全书数学卷（1991 年版）中指出，运算能力并非一种单一的数学能力，它是运算技能与逻辑思维能力的一种独特结合。运算能力和逻辑思维能力、空间想象能力并称为数学的三大基本能力。他还指出，学生运算能力的发展主要通过数学解题活动来实现。学生的运算能力主要表现 1 5 为能正确、迅速的感知题目形式，确定题目类型，根据题目类型选择解题模式、解题方法，然后
46、多方向的寻求解题方法，摆脱思维定势，力求解法简洁合理，并对题目类型、解题模式方法进行反思总结概括等 没有一个统一的界定，不同的人对运算能力有不同的理解。章士藻先生认为运算是根据运算法则与公式对具体对象进行变形的演绎过程，而运算能力是指根据法则、公式等正确进行运算，而且理解运算的算理，能够根据运算的条件寻求合理、简洁的运算途径 罗增儒则认为运算能力包括计算技能和逻辑思维。计算技能体现在：能记住数学公式及计算法则，能运用概念、性质进行有关计算和推导；能正确、迅速的得出运算结果，过程合理、推导严密。逻辑思 维则体现在：合理运用公式法则进行推理，能简化运算，能对运算结果进行检查和判断，自我改正运算中的
47、各类错误等。2011 年颁布的义务教育数学课程标准（2011 年版）中指出运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。数学运算是初中数学的重要内容，几乎每一块数学知识均涉及到数学运算，尤其在数与代数领域，数学运算更是占据重要地位。具体来说，数学运算主要呈现在以下知识内容中。数与代数领域：（一）数与式：有理数、实数、代数式、整式与分式；（二）方程与不等式：方程与方程组、不等式与不等式组；（三）函数：函数、一次函数、反比例函数、二次函数。图形与几何领域：（一）图形的性质：角、三角形、四边形、圆；（二）图形的变化：图
48、形的相似。统计与概率领域：抽样与数据分析。在知识技能上，体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运算(包括估算)技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法。在数学思考上，通过用代数式、方程、不等式、函数等表达数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识；在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念，经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。例 1,45tan23127200132 本题是实数运算的题目，涉及到的核心概念较多，有幂的运算、立方根、负指数、零指数以及三角函数值，
49、重点考察学生对这些实数基本概念、运算法则的掌握情况，实数运算是整个数学运算的基础，代数运算是实数教学中的重点。在进行实数运算时，首先要能正确回忆出相关概念法则，并能熟练运用，解决实数运算题目时还要特别警惕运算符号，确保运算的正确性。解题策略：首先应对其中涉及到的五个实数进行“化简或转化”，变成实数的常规形式，即 1.主观因素（1）非智力因素影响初中生数学运算能力 其一，初中生对数学学习的兴趣和爱好影响其数学运算能力 初中阶段与小学阶段相比，数学课程发生了重大变化，小学数学知识量很少，每节新课后都有练习课，往往一周只进行两节新课，而且每节课的内容量很少。小学阶段重在让学生正确熟练掌握一些基本的整
50、数、1 6 小数、分数、百分数等的加减乘除四则运算及混合运算，为以后学习打基础。有一些学生在小学阶段基础知识掌握不牢固不灵活，认知水平相对较低，理解能力相对较低，这些学生到了初中之后，由于知识量大幅增加，几乎每堂都是新课，每堂课的内容量也在加大，运算从整数、小数、分数、百分数扩展到了有理数、实数；从加减乘除扩展到了乘方；从数的运算扩展到了整式运算、分式运算，而且难度也在增加，难以适应初中的数学学习生活，对数学学习产生畏惧害怕心理，缺乏数学学习的信心与勇气，学习数学学习的兴趣爱好较低。数学学习心理学研究表明，在消极情绪状态下学习，不容易在头脑中形成稳定清晰的表征，进而影响着对表征的加工速度与深度