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1、 5.4.3 正切函数的性质与图象 1 内容分析 1.1 课标要求 普通高中数学课程标准(2017 年版)“内容要求”部分对正切函数的性质与图象的要求是能画出正切函数的图象，借助图象了解正切函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值。1.2 教材分析 本节是人教 A 版(2019 年)高中数学必修第一册第五章第四节第三部分的内容，主要是正切函数的图象与性质。此前已研究了正弦函数，余弦函数的图象与性质，这两种函数的图象与性质的研究方法对正切函数的图象与性质的研究有着较强的指导意义。1.3 学情分析 学生已经学习了“幂函数、指数函数、对数函数”拥有对函数研究的经验，并且借助单位圆研究了正弦函数，余
2、弦函数的图象与性质，但是由于学生基础薄弱，所以要争取对已学过的内容循序渐进，比较自然地得到所要研究的新知识。通过类比让学生进行模仿，引导画出图象，再数形结合，得出正切函数的性质。1.4 核心素养及蕴含的数学思想方法 数学抽象：正切函数性质的总结。直观想象：函数图象与函数性质相对应。数学运算：在了解正切函数性质之后，运用性质解题。1.5 教学目标(1).理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性。并能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。(2).会利用正切函数的部分性质作正切函数的图象。(3).通过正切函数图象与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。1.6 教学重点与难点
3、 教学重点：正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性 教学难点：能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。教学过程 创作意图 一、创设情境，提出问题 图象法是函数的表示方法之一，函数的图象与性质有着紧密的联系，我们知道正弦函数、余弦函数和正切函数是三个基本的三角函数，前面我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象与性质（展示正弦函数，余弦函数的图象与性质）师问：我们能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验来研究正切函数的图象与性质？二、重温经验，发展思维 问题 1 师问：请同学们回顾一下，我们是如何研究正弦函数的图象与性质的？生：利用“五点作图法”师：用“五点作图法”作图象是在知道了
4、正弦函数的图象与性质的前提下，利用五个关键点画出简图。生：借助单位圆，利用单位圆中的三角函数做出了正弦函数在2,0 x内的图象，再根据正弦函数的定义域和周期性平移这个图象，从而作出完整的图象，再由完整的图象得到性质。问题 2 师问：为了作出正切函数的图象，我们应该怎样来类比正弦函数图象的研究方法呢？在学生回答的基础上，引导学生借助单位圆作正弦函数图象总共包含两个步骤：第一步，由正弦函数的定义域和诱导公式一，可以考虑只要2,0sinxxy在的图象。第二步，作出整个定义域上的图象，再由图象得到性质。三、探索新知 问题 3 师问：首先思考正切函数的哪些性质可以通过已有知识得到，并思考是怎样得到的。（
5、提示：定义域，诱导公式）通过重温“正弦函数的图象”，类比得出探索正切函数的图象与性质的可能思路：思考正切函数的部分性质（定义域和周期性），借助单位圆作出一个周期内的。第二步，根据图象探索新的性质 生：(1)xytan的 定 义 域 为Zkkxx,2;(2)由 诱 导 公 式xxtan)tan(，是xytan的一个 周期；(3)再 由诱导公 式xxtan)tan(可知，xytan是奇函数。问题 4 师：我们有了正切函数xytan的这些性质，如何画出它的图象呢？生：作正弦函数是先作出一个周期内的图象，通过类比，可以先作正切函数一个周期的图象。师：选择哪个周期比较好呢？生 1：可以选择一个周期内的，
6、在区间2,0内作正切函数的图象。生 2：2,0不行，因为根据定义域Zkkxx,2可以知道区间2,0中 的2是 不 能 取 的，xytan的 图 象 应 是 介 于，)23,2(),2,2(),2,23(这些区间的，所以我觉得应先画出)2,2(的图象比较好。师：生 2 说的很好，实际上这告诉了我们两个重要的知识，一是正切函数 xytan的定义域可以用区间Zkkk),2,2(来表示。二是正切函数xytan的图象像被一组平行直线),2(Zkkx隔开了（如图 1 所示）师：还有什么想法吗？通过对已有的知识探究正切函数的性质，并利用这些性质画出正切函数的图象 生：我觉得只要画出区间)2,0的图象就可以了
7、 师：为什么呢？生：xytan是奇函数，只要能画出区间)2,0的图象，就可以利用其对称性画出0,2(的图象。师：太好了，下面我们类比正弦函数的图象借助单位圆画出正切函数xytan，)2,0 x的图象，角x的终边与单位圆的交点),(00yxB，过点B的作x轴的垂线，垂足为M;过点)0,1(A作x轴的垂线与角x的终边交于点T,则ATOAATOMMBxtan,由此可见，线段AT的长度就是相应角x的正切值。线段AT也叫做角x的正切线。正切线可以帮助我们画出函数xytan，)2,0 x的图象。（如图 2 所示）师问：下面请同学们尝试用单位圆中的正切线画出函数xytan，)2,0 x的图象。生：1）在单位
8、圆，作出角8348，及相应的正切线.2）把角8348，的正切线向右平移，他们的起点分别与x轴上表示8348，的重合。3）用光滑的曲线就把这些正切线的终点连接起来。引出正切线的定义，类比正弦函数图象的方法 图 2 师：当角从 0 到2变化时，正切值如何变化？当角接近2时，正切值如何变化，反映到图象是怎么回事？生：当角从 0 到2变化时，正切值逐渐增大。当角接近2时，正切值无限接近，正切的图象呈上升趋势，无限向上延伸，并无限逼近直线2x，但不与直线2x相交。（如图 3 所示）师：如何画出整个定义域上的图象？生：根据正切函数是奇函数，由对称性可得xytan在)2,2(x内的图象。再根据正切函数是周期
9、函数，只要把得xytan在)2,2(x内的 图 象 向 左 向 右，每 次 平 移个 单 位，就 可 得 到 正 切 函 数),2(tanZkkxxy的图象。观察图象总结性质 问题 5 师：我们把正切函数的图象称为正切曲线，正切曲线有哪些特征，这些特征刻画了正切函数的哪些性质？生：根据图象观察在每一段都是呈现上升的趋势，说明正切函数是增函数，师：通过观察，能说明正切函数在整个定义域上是增函数吗？只能说明在 通过对正切函数图象的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；图 3 每段区间Zkkk),2,2(是单调递增的。另外值域可以看出来吗？生：
10、正切函数的图象是向上向下都是无限延伸的，说明正切函数的值域是R;师：请同学们再思考两个问题：1）正切函数的图象除了关于原点对称，还有其他对称性吗？2）图象中的虚线与正切曲线有什么关系呢？生：正切函数的图象还关于)0,(),0,(对称，还有)0,3(),0,2(，也就是说正切函数的图象关于点Zkk，)0,(对称。正切曲线无限地逼近虚线但不相交。师：说明正切曲线是中心对称图形，对称中心为Zkk，)0,(；所有的直线Zkkx,2可以称为正切曲线的渐近线。下面我们总结这些性质。xytan 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 图象对称性 四、例题分析 例 1：求函数=(2+3)的定义域、周期及单调区间
11、 分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论 解：自变量的取值应满足;2+3 2+k,kZ；即;13+2k,kZ 通过对典型问题的分析解决，提高学生对函数性质的理解。发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；所以，函数的定义域是|13+2k,kZ 设 z=2+3，又(+)=，所以tan(2+3)+=(2+3)即;tan2(+2)+3=(2+3)因为|13+2k,kZ,都有tan2(+2)+3=(2+3)所以，函数的周期为 由2+2+32+,kZ 解得；53+2 13+2,kZ 因此，函数在区间(53+2,13+2),kZ,上单调递增 课堂练习 1函数 ytan x4x4且x0 的值域是()A1,1 B1,0)(0,1 C(，1 D1，)2(1)求函数 ytan12x4的单调区间；(2)比较 tan134与 tan125的大小 五、小结 让我们回顾半节课的学习过程，看看主要的收获有哪些？知识上：正切函数图象和性质及简单应用 思想方法上：类比思想，整体代换思想。六、作业 课本 213 页练习 1.函数 f(x)tanx6的定义域是_，f6_.2.函数 ytan x 的单调递减区间是_ 3.函数 y|tan x|的周期为_