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1、信息论与编码期中试题答案 一、（10）填空题（1）1948 年，美国数学家 香农 发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。（2）必然事件的自信息是 0 。（3）离散平稳无记忆信源 X 的 N 次扩展信源的熵等于离散信源 X 的熵的 N 倍 。（4）对于离散无记忆信源，当信源熵有最大值时，满足条件为_信源符号等概分布_。（5）若一离散无记忆信源的信源熵 H（X）等于 2.5，对信源进行等长的无失真二进制编码，则编码长度至少为 3 。二、（10）判断题 （1）信息就是一种消息。（）（2）信息论研究的主要问题是在通信系统设计中如何实现信息传输、存储和处理的有效性和可靠性。（）（3）
2、概率大的事件自信息量大。（）（4）互信息量可正、可负亦可为零。（）（5）信源剩余度用来衡量信源的相关性程度，信源剩余度大说明信源符号间的依赖关系较小。（）（6）对于固定的信源分布，平均互信息量是信道传递概率的下凸函数。（）（7）非奇异码一定是唯一可译码，唯一可译码不一定是非奇异码。（）（8）信源变长编码的核心问题是寻找紧致码（或最佳码）。（）（9）信息率失真函数 R(D)是关于平均失真度 D 的上凸函数.()三、（10）居住在某地区的女孩中有 25%是大学生，在女大学生中有 75%是身高 1.6 米以上的，而女孩中身高 1.6 米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高 1.6 米以上的某女孩是
3、大学生”的消息，问获得多少信息量？解：设A 表示“大学生”这一事件，B 表示“身高1.60以上”这一事件，则 P(A)=0.25 p(B)=0.5 p(B|A)=0.75 （5 分）故 p(A|B)=p(AB)/p(B)=p(A)p(B|A)/p(B)=0.75*0.25/0.5=0.375 （4 分）I(A|B)=-log0.375=1.42bit （1 分）四、（10）证明：平均互信息量同信息熵之间满足 I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(XY)证明：YXHXHyxpyxpxpyxpxpyxpyxpYXIXXYjijiYijiXYijijilogloglog;（4 分）同理 XYHYHY
4、XI;（2 分）则 YXIYHXYH;因为 XYHXHXYH （2 分）故 YXIYHXHXYH;即 XYHYHXHYXI;（2 分）五、（30）.黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，求：1）黑色出现的概率为 0.3，白色出现的概率为 0.7。给出这个只有两个符号的信源 X 的数学模型。假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵 XH；2）假设黑白消息出现前后有关联，其依赖关系为，求其熵 XH。3）分别求上述两种信源的冗余度，比较它们的大小并说明其物理意义。解：1）信源模型为 （4 分）（6 分）2）由题意可知该信源为一阶马尔科夫信源。（2 分）由 （4分）得极限状态概率 （2分）（2分）3）
5、119.02log)(121XH （4 分）4 4 7.02l o g)(122XH （4 分）12。说明：当信源的符号之间有依赖时，信源输出消息的不确定性减弱。而信源冗余度正是反映信源符号依赖关系的强弱，冗余度越大，依赖关系就越大。（2分）六、（10）一个信源含有三个消息,概率分布为 p1=0.2,p2=0.3,p3=0.5,失真函数矩阵为 421032201d求:Dmax,Dmin,R(Dmax),R(Dmin)p1=0.2,p2=0.3,p3=0.5 在给定的失真函数矩阵中,对每一个 xi找一个最小的 dij 然后求 R(Dmax)=0,R(Dmin)=R(0)=Hmax(x)=0.2l
6、og0.2+0.3log0.3+0.5log0.5 七、（10）有一信源它有四种可能的输出，其概率分布如下图所示，表中给出了对应的码 A、B、C、D 和 E。1）求这些码中哪些是唯一可译码。2）求哪些是非延长码（即时码）3）对所有唯一可译码求出其平均码长和编码效率？码 E 符号出现的概率 码 A 码 B2 码 C 码 D 0 1/2 00 0 0 0 01 1/4 01 01 10 10 001 1/8 10 011 110 110 111 1/8 11 0111 1110 111 解：1、唯一可译码为 A、B、C、D 2、即时码为 A、C、D 3、信源熵 H（X）=1.75 bit/符号 A 码平均码长为 2 bit/符号，效率为 87.5%B 码平均码长为 1.875 bit/符号，效率为 93.75%C 码平均码长为 1.875 bit/符号，效率为 93.75%D 码平均码长为 1.75 bit/符号，效率为 100%)15.033.02.01;3.032.02;25.003.042.0(min1.2,1maxniijimjdpDmin()minjiijyiDp xd