《2022年信息论与编码试卷及答案分解 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年信息论与编码试卷及答案分解 .pdf（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 一、 （11 ）填空题（1）1948 年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。（2）必然事件的自信息是0 。（3）离散平稳无记忆信源X 的 N 次扩展信源的熵等于离散信源X 的熵的N 倍。（4）对于离散无记忆信源，当信源熵有最大值时，满足条件为_信源符号等概分布_。（5）若一离散无记忆信源的信源熵H（X）等于2.5，对信源进行等长的无失真二进制编码，则编码长度至少为3 。（6）对于香农编码、费诺编码和霍夫曼编码，编码方法惟一的是香农编码。（7）已知某线性分组码的最小汉明距离为3，那么这组码最多能检测出_2_个码元错误，最多能纠正 _1_个码元错误。（8）
2、设有一离散无记忆平稳信道，其信道容量为C，只要待传送的信息传输率R_小于 _C（大于、小于或者等于） ，则存在一种编码，当输入序列长度n 足够大， 使译码错误概率任意小。（9）平均错误概率不仅与信道本身的统计特性有关，还与_译码规则 _和_编码方法_有关三、（5 ）居住在某地区的女孩中有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高 1.6 米以上的，而女孩中身高1.6 米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高1.6 米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？解：设 A表示“大学生”这一事件，B表示“身高 1.60 以上”这一事件，则 P(A)=0.25 p(B)=0.5 p(B|A)=0
3、.75 （2分）故 p(A|B)=p(AB)/p(B)=p(A)p(B|A)/p(B)=0.75*0.25/0.5=0.375 （2分） I(A|B)=-log0.375=1.42bit （1分）四、 （5 ）证明：平均互信息量同信息熵之间满足I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(XY)证明：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - 2 YXHXHyxpyxpxpyxpxpyxpyxpYXIXXYjijiYijiXYij
4、ijilogloglog;（2分）同理XYHYHYXI;（1分）则YXIYHXYH;因为XYHXHXYH（1分）故YXIYHXHXYH;即XYHYHXHYXI;（1分）五、 （18 ）.黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，求：1） 黑色出现的概率为0.3，白色出现的概率为0.7。给出这个只有两个符号的信源X 的数学模型。假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵XH；2）假 设 黑 白 消 息 出 现 前 后 有 关 联 ， 其 依 赖 关 系 为，求其熵XH。3）分别求上述两种信源的冗余度，比较它们的大小并说明其物理意义。解： 1）信源模型为（1分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载
5、- - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 3 2）由题意可知该信源为一阶马尔科夫信源。（2分）由（4分）得极限状态概率（2分）（3分）3）119. 02log)(121XH（1分）4 4 7.02l o g)(122XH（1分）12。说明： 当信源的符号之间有依赖时，信源输出消息的不确定性减弱。而信源冗余度正是反映信源符号依赖关系的强弱，冗余度越大，依赖关系就越大。（2分）六、 （18 ）.信源空间为1234567()0.20.190.180.170.150.1
6、0.01XxxxxxxxP X，试分别构造二元香农码和二元霍夫曼码，计算其平均码长和编码效率（要求有编码过程）。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 4 14.3)(71iiilapL831.014.361.2)(LXHR名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - -
7、- - - - - 5 七（6 ）.设有一离散信道，其信道传递矩阵为2/16/13/13/12/16/16/13/12/1，并设41)(21)(41)(321xpxpxp，试分别按最大后验概率准则与最大似然译码准则确定译码规则，并计算相应的平均错误概率。1） （3分）最小似然译码准则下，有，2） （3分）最大后验概率准则下，有，八（10 ）.二元对称信道如图。1）若430p，411p，求XH、YXH|和YXI;；2）求该信道的信道容量。解： 1）共 6分2） ，（3分）此时输入概率分布为等概率分布。（1分）九、 （18 ）设一线性分组码具有一致监督矩阵110101100110111000H1）
8、求此分组码n=?,k=?共有多少码字？2）求此分组码的生成矩阵G。3）写出此分组码的所有码字。4）若接收到码字（101001） ，求出伴随式并给出翻译结果。解： 1）n=6,k=3, 共有 8个码字。（3分）符号/749.0|bitYXH名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 6 2）设码字012345CCCCCCC由TTHC0得0000135034012CCCCCCCCCC（3分）令监督位为012CCC，则有3404
9、51352CCCCCCCCC（3分）生成矩阵为101100110010011001（2分）3）所有码字为000000，001101，010011，011110，100110，101011，110101，111000。 （4分）4）由TTHRS得1 0 1S， （2分）该码字在第 5位发生错误，（101001）纠正为 （101011） ，即译码为 （ 101001）（1分）一、填空题（本题 10空,每空1分,共10分）1、必然事件的自信息量是_0_，不可能事件的自信息量是_无穷 _。2、 一信源有五种符号 a， b， c， d， e， 先验概率分别为 Pa=0.5， Pb=0.25， Pc=0.
10、125， Pd=Pe=0.0625。符号“a”的自信息量为 _1_bit，此信源的熵为 _1.875_bit/符号。3、如某线性分组码的最小汉明距dmin=6，最多能纠正 _2_个随机错。4、根据密码算法所使用的加密密钥和解密密钥是否相同，可将密码体制分成_对称（单密钥） _和_非对称（双密钥） _。5、平均互信息量 I(X;Y) 与信源熵和条件熵之间的关系是_I(X:Y)=H(X)-H(X/Y)_。6、克劳夫特不等式是唯一可译码_存在_的充要条件。 00，01，10，11是否是唯一可译码？ _是_。三、单项选择题 (本题共 10小题；每小题 2分，共 20分) 1、对连续集的熵的描述不正确的
11、是（A）A 连续集的熵和离散集的熵形式一致，只是用概率密度代替概率，用积分代替求和B 连续集的熵值无限大名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 7 C 连续集的熵由绝对熵和微分熵构成D 连续集的熵可以是任意整数2、设信道输入为 xm，输出为 y，若译码准则是当 P(y | xm ) P(y | xm)，对所有 m m 时，将 y判为m ，则称该准则为（ D）A 最大后验概率译码准则B 最小错误概率准则C 最大相关译码准
12、则 D 最大似然译码准则3、线性分组码不具有的性质是（C）A 任意多个码字的线性组合仍是码字B 最小汉明距离等于最小非0重量C 最小汉明距离为 3 D 任一码字和其校验矩阵的乘积cmHT=0 4、关于伴随式的描述正确的是（A）A 伴随式 s与传送中信道出现的错误图样e有关B 通过伴随式 s可以完全确定传送中信道出现的错误图样eC 伴随式 s 与发送的具体码字有关D 伴随式 s与发送的具体码字有关，与传送中信道出现的错误图样e也有关5、率失真函数的下限为（B）AH(U) B0 CI(U; V) D没有下限6、纠错编码中，下列哪种措施不能减小差错概率（D）A 增大信道容量B 增大码长 C 减小码率
13、 D 减小带宽7、已知某无记忆三符号信源a,b,c 等概分布，接收端为二符号集，其失真矩阵为,则信源的最大平均失真度Dmax 为（D）A 1/3 B 2/3 C 3/3 D 4/3 8、一珍珠养殖场收获240 颗外观及重量完全相同的特大珍珠，但不幸被人用外观相同但重量仅有微小差异的假珠换掉1 颗。一人随手取出3 颗，经测量恰好找出了假珠，不巧假珠又滑落进去，那人找了许久却未找到，但另一人说他用天平最多6 次能找出，结果确是如此，这一事件给出的信息量（A） 。A 0bit B log6bit C 6bit D log240bit 9、已知随机噪声电压的概率密度函数p(x) =1/2 ，x 的取值
14、范围为1V 至 +1V，若把噪声幅度从零开始向正负幅度两边按量化单位为0.1V 做量化，并且每秒取10 个记录，求该信源的时间熵 （B ）A 21.61bit/s B 43.22bit/s C 86.44 bit /s D 以上都不对10、彩色电视显像管的屏幕上有5105 个像元，设每个像元有64 种彩色度，每种彩度又有16 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - 8 种不同的亮度层次，如果所有的彩色品种和亮度层次的组
15、合均以等概率出现，并且各个组合之间相互独立。每秒传送25 帧图像所需要的信道容量（C ）A 50.106 B 75.106 C 125.106 D 250.106 第 7 章线性分组码1. 已知一个 (5, 3)线性码 C 的生成矩阵为：11001G0110100111（1）求系统生成矩阵；（2）列出 C 的信息位与系统码字的映射关系；（3）求其最小Hamming 距离，并说明其检错、纠错能力；（4）求校验矩阵H；（5）列出译码表，求收到r=11101时的译码步骤与译码结果。解：（1）线性码 C 的生成矩阵经如下行变换：2 31321100110011011010110100111001111
16、00111001101101010100011100111将第 、加到第 行将第 加到第行得到线性码 C 的系统生成矩阵为111000101011001SG（2）码字),(110ncccc的编码函数为111000101011001)(210mmmmfc生成了的 8 个码字如下信息元系统码字000 00000 001 00111 010 01010 011 01101 100 10011 101 10100 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - -
17、- - - - - - - 9 110 11001 111 11110 (3) 最小汉明距离d=2，所以可检 1 个错，但不能纠错。(4) 由,)()(knTknkknkknIAHAIG，得校验矩阵1010101111H(5) 消息序列 m=000,001,010,011,100,101,110,111，由 c=mGs 得码字序列c0=00000, c1=00111,c2=01010, c3=01101,c4=10011, c5=10100,c6=11001, c7=11110 则译码表如下：00000 00111 01010 01101 10011 10100 11001 11110 100
18、00 10111 11010 11101 00011 00100 01001 01110 01000 01111 00010 00101 11011 11100 10001 10110 00001 00110 01011 01100 10010 10101 11000 11111 当接收到 r =(11101)时，查找码表发现它所在的列的子集头为(01101)，所以将它译为c=01101。2设（ 7, 3）线性码的生成矩阵如下010101000101111001101G（1）求系统生成矩阵；（2）求校验矩阵；（3）求最小汉明距离；（4）列出伴随式表。解：（1）生成矩阵G 经如下行变换1 32
19、3010101010011010010111001011110011010101010100110110011010010111010101001010100010111交换第 、行交换第、行得到系统生成矩阵：100110101010100010111SG名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 10 （2）由,)()(knTknkknkknIAHAIG，得校验矩阵为110100010101000110010101000
20、1H（3）由于校验矩阵H 的任意两列线性无关，3 列则线性相关，所以最小汉明距离d=3。（4） （7, 3）线性码的消息序列m=000,001,010,011,100,101,110,111，由 c=mGs 得码字序列： c0=0000000， c1=0010111，c2=0101010，c3=0111101，c4=1001101，c5=1011010，c6=1100111，c7=1110000。又因伴随式有24=16 种组合，差错图样为 1 的有771种，差错图样为2 的有7212种，而由TTHrHe，则计算陪集首的伴随式，构造伴随表如下：伴随式陪集首伴随式陪集首0000 0000000 0
21、101 1001000 1101 1000000 1001 1000100 1010 0100000 1111 0011000 0111 0010000 1100 0001100 1000 0001000 1110 0100100 0100 0000100 1011 0100001 0010 0000010 0011 0010100 0001 0000001 0110 0000110 3已知一个 (6, 3)线性码 C 的生成矩阵为：.011100110010101001G（1） 写出它所对应的监督矩阵H；（2） 求消息 M=(101)的码字；（3） 若收到码字为101010，计算伴随式，并求
22、最有可能的发送码字。解：（1）线性码 C 的生成矩阵G 就是其系统生成矩阵GS，所以其监督矩阵H 直接得出：101100011010110001H名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 11 （2）消息 M=(m0,m1,m2)=(101)，则码字 c 为：()100101001 1 1010101 1cf m（3）收到码字r=(101010)，则伴随式101011110101010001100010001TrH又
23、（6, 3） 线性码的消息序列m=000,001,010,011,100,101,110,111， 由 c=mGs 得码字序列： c0=000000，c1=001110，c2=010011，c3=011101，c4=100101，c5=101011，c6=110110，c7=111000。伴随式有23=8 种情况，则计算伴随式得到伴随表如下：伴随式陪集首000 000000 101 100000 011 010000 110 001000 100 000100 010 000010 001 000001 111 100010 伴随式（ 001）对应陪集首为（ 000001） ，而 c=r+e
24、，则由收到的码字r=(101010)，最有可能发送的码字c 为：c=（101011） 。4设 (6, 3)线性码的信息元序列为x1x2x3，它满足如下监督方程组000631532421xxxxxxxxx（1）求校验矩阵，并校验10110 是否为一个码字；（2）求生成矩阵，并由信息码元序列101 生成一个码字。解：（1）由监督方程直接得监督矩阵即校验矩阵为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - 12 11010001
25、1010101001H因为收到的序列10110 为 5 位，而由（ 6, 3）线性码生成的码字为6 位，所以 10110 不是码字。（2）由,)()(knTknkknkknIAHAIG，则生成矩阵为：100101010110001011SGG信息码元序列M=（101） ，由 c=mGs 得码字为 c：012100101010110001011101110cmmm第 8 章循环码1. 已知 (8, 5)线性分组码的生成矩阵为1000011101000100001000100001000100001111G（1）证明该码是循环码；（2）求该码的生成多项式)(xg。（1）证明如下：名师资料总结 -
26、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 13 (1) (2)(2)1 1 1 1 0 0 0 01 1 1 1 0 0 0 01 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 1 0 0 0 1 01 1 1 0 0 0 0 11 1 1 0 0 0 0 1(3)(3)(4)1 1 1 1 0 0 0 01 1 1 1
27、0 0 0 00 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 1 1 1 1 01 1 1 0 0 0 0 11 1 1 0 0 0 0 1(1) (5)(4)(5)1 1 1 1 0 0 0 01 1 1 1 0 0 0 00 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 00 0 0 1 1 1 1 00 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 1 1 1 1由生
28、成矩阵可知为（8、5）循环码。（2）生成多项式如下：32( )1g xxxx2. 证明：1245810 xxxxxx为 (15, 5)循环码的生成多项式，并写出信息多项式为1)(4xxxm时的码多项式（按系统码的形式）。由定理 8-1 可知（ n，k）循环码的生成多项式g(x)为 xn+1 的因子，g(x)为 n-k 次多项式，本题目中知：108542( )1g xxxxxxx为一个 10 次多项式， n-k=15-5=10 并且：15108542(1)mod(1)0 xxxxxxx所以：1085421xxxxxx是151x的一个因子，也是循环码的生成多项式。按系统码构造多项式如下：4( )1
29、m xxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 14 410141110108542876( )(1)( )( )mod(1)n kn km xxxxxxxxb xm xxxxxxxxxxxx141110876( )( )( )n kc xm xxb xxxxxxxx3. 已知 (7, 4)循环码的生成多项式为1)(3xxxg，信息多项式为1)(3xxm，分别由编码电路和代数计算求其相应的码多项式C(x)。由题目可
30、知代数计算求解过程如下：36332632( )1( )( )( )mod(1)( )( )( )(1001110)n kn kn km xxm xxxxb xm xxxxxxc xm xxb xxxxxc由编码电路进行求解：编码电路如下所示：D0门1或门D2D1+mc(x)编 码 过 程如下：时钟信息元寄存器码字输出码字D0 D1 D20 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 0 0 1 1 0 3 0 1 1 1 0 4 1 0 1 1 1 5 0 0 1 1 6 0 0 0 1 7 0 0 0 0 可得：632( )c xxxxx4. 令(15, 11)循环码的生成多项式为1)(4xxx
31、g，计算名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 15 （1）若信息多项式为1)(810 xxxm，试求编码后的系统码字；（2）求接收码组1)(414xxxxR的校正子多项式。(1)解题过程如下：10841412442141242( )1( )( )( )( )mod(1)1( )( )( )1(1010000000010101)n kn kn km xxxm xxm xxxxxb xm xxxxxc xm xxb x
32、xxxxc（2）校正多项式如下所示：14434( )1( )mod( ( )1( )1R xxxxS xg xxg xxx5. 码长为 n=15 的本原 BCH 码，求不同纠错能力下的BCH 码各自的生成多项式)(xg。21154mnm纠错能力：128mt，所以最多能纠正7个错误码。有限域 GF（24） ，4 次本原多项式4( )1f xxx，为 f(x)的一个根，可知：410，计算 2t=14 个连续幂次为对应的最小多项式：4443212342432456434478924321011( )1,( )1,( )1( )1,( )1,( )1( )1,( )1,( )1( )1,( )1m x
33、xxm xxxm xxxxxm xxxm xxxm xxxxxmxxxm xxxm xxxmxxxmxxxxxm43224312133( )1,( )1,( )1xxxxxmxxxm xxx(1) t=1 的码字：(15，11)BCH 码411( )( )1gxLcm m xxx(2)t=2 的码字： (15，7)BCH 码8764213( )( )( )1gxLcm m x mxxxxx(3)t=3 的码字： (15，5)BCH 码1085423135( )( )( )( )1gxLcm m x mx mxxxxxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
34、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 16 (4) t=4 的码字： (15，1)BCH 码1413121110987654324( )1gxxxxxxxxxxxxxxx(5) t=5 的码字： (15，1)BCH 码1413121110987654325( )1gxxxxxxxxxxxxxxx(6) t=6 的码字： (15，1)BCH 码1413121110987654326( )1gxxxxxxxxxxxxxxx(7) t=7 的码字： (15，1)BCH 码14131211109
35、87654327( )1gxxxxxxxxxxxxxxx6 构造一个能纠正t=3 个错误符号，码长为15，m=4 的 RS 码，并求其生成矩阵。码长： n=q-1，216mq，m=4 min217dtn-k=2t=6 k=n-2t=15-6=9 可知 RS 码为： （5，9）码设为本原多项式4( )1f xxx的根，即：41t=3，生成多项式g(x) 有 6 个连续的根，61054436296( )()g xxxxxxxxxxxxx（15，9）的 RS 码的生成矩阵如下：10144696101446961014469610144696101446961 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 10144696101446961014469610144696 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -