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1、 1 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）名师简评 该套试卷整体上来说与往年相比，比较平稳，试题中没有偏题和怪题，在考查了基础知识的基础上，还考查了同学们灵活运用所学知识的解决问题的能力。题目没有很多汉字的试题，都是比较简约型的。但是不乏也有几道创新试题，像选择题的第 8 题，填空题的 13 题，解答题第 20 题，另外别的试题保持了往年的风格，入题简单，比较好下手，但是做出来并不是很容易。整体上试题由梯度，由易到难，而且大部分试题适合同学们来解答体现了双基，考查了同学们的四大思想的运用，是一份比较好的试卷。本试卷分为第 I 卷（选择题和第卷(非选择题)两部分，共
2、150 分,考试用时 120 分钟 第 I 卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）i是虚数单位，复数7=3izi=（A）2i （）2i （）2i （）2i B【命题意图】本试题主要考查了复数的概念以及复数的加、减、乘、除四则运算.【解析】7=3izi=(7)(3)(3)(3)iiii=21 73110ii=2i（）设R，则“=0”是“()=cos(+)f xx()xR为偶函数”的（A）充分而不必要条件 （）必要而不充分条件（）充分必要条件 （）既不充分也不必要条件 2A【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定.【解析】=
3、0()=cos(+)f xx()xR为偶函数，反之不成立，“=0”是“()=cos(+)f xx()xR为偶函数”的充分而不必要条件.（）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为25时，输出x的值为（A）1 （）1 （）3 （）9 3C【命题意图】本试题主要考查了算法框图的读取，并能根据已给的算法程序进行运算.【解析】根据图给的算法程序可知：第一次=4x，第二次=1x，则输出=2 1+1=3x.（4）函数3()=2+2xf xx 在区间(0,1)内的零点个数是（A）0 （）1 （）2 （）3 4B【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图
4、的数学能力.2【解析】解法 1：因为(0)=1+02=1f，3(1)=2+22=8f，即(0)(1)0ff且函数()f x在(0,1)内连续不断，故()f x在(0,1)内的零点个数是 1.解法 2：设1=2xy，32=2yx，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知 B 正确.422468510（5）在251(2)xx的二项展开式中，x的系数为（A）10 （）-10 （）40 （）-40 5D【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用，并借助于通项公式分析项的系数.【解析】25-1+15=(2)()rrrrTCxx=5-10-352(1)rrrrC x，103=1r，即=3
5、r，x的系数为40.（6）在ABC 中，内角A，B，C所对的边分别是,a b c，已知8=5bc，=2CB，则 cosC=（A）725 （）725 （）725 （）2425 6A【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式.考查学生分析、转化与计算等能力.【解 析】8=5bc，由 正 弦 定 理 得8sin=5sinBC，又=2CB，8sin=5sin 2BB，所 以8sin=10sincosBBB，易知sin0B，4cos=5B，2cos=cos 2=2cos1CBB=725.（7）已知ABC 为等边三角形，=2AB，设点 P，Q 满足=APAB，=(1)AQAC，R，若3=
6、2BQ CP，则=（A）12 （）122 （）1102 （）32 22 7A【命题意图】本试题以等边三角形为载体，主要考查了向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用.【解析】=BQ AQAB=(1)ACAB，=CP APAC=ABAC，又 3=2BQ CP，且|=|=2ABAC，0=60AB AC，0=|cos60=2AB ACAB AC，3(1)()=2ACABABAC，2223|+(1)+(1)|=2ABAB ACAC，所以 3 234+2(1)+4(1)=2，解得1=2.CBAPQ（8）设m，nR，若直线(1)+(1)2=0mxny与圆22(1)+(y1)
7、=1x相切，则+m n的取值范围是（A）13,1+3 （）(,131+3,+)（）22 2,2+2 2 （）(,22 22+2 2,+)8D【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法，并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.【解 析】直 线(1)+(1)2=0mxny与 圆22(1)+(y1)=1x相 切，圆 心(1,1)到 直 线 的 距 离 为22|(1)+(1)2|=1(1)+(1)mndmn，所以21()2mnmnmn，设=t mn，则21+14tt，解得(,22 22+2 2,+)t.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题
8、5 分，共 30 分.（9）某地区有小学 150 所，中学 75 所，大学 25 所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校.918，9【命题意图】本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算.【解析】分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为 250 所，所以应从小学中抽取15030=18250，中学中抽取7530=9250.（10）个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为 3m.1018+9 4【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力.【解析】由
9、三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为：343=3 6 1+2()32V=18+93m.（11）已 知 集 合=|+2|3AxR x，集 合=|()(2)0BxR xm x,且=(1,)ABn，则=m ,=n .111，1【命题意图】本试题主要考查了集合的交集的运算及其运算性质，同时考查绝对值不等式与一元二次不等式的解法以及分类讨论思想.【解析】=|+2|3AxR x=|5 0p，焦点为F，准线为l，过抛物线上一点M作的垂线，垂足为E，若|=|EFMF，点M的横坐标是 3，则=p .122【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义，抛物线的定义及其
10、几何性质.【解析】2=2,=2,xptypt可得抛物线的标准方程为2=2ypx(0)p，焦点(,0)2pF，点M的横坐标是 3，则(3,6)Mp，所以点(,6)2pEp，222=()+(06)22ppEFp 由抛物线得几何性质得=+32pMF，=EF MF，221+6=+3+94pppp，解得=2p.（13）如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦.过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D,过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点，与 AB 相交于点 F，=3AF，=1FB，3=2EF，则线段CD的长为 .1343【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，
11、切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质.【解析】=3AF，=1FB，3=2EF，由相交弦定理得=AF FB EF FC，所以=2FC，又BDCE，=AFFCABBD，4=23ABBDFCAF=83，设=CD x，则=4ADx，再由切割线定理得2=BDCD AD，即 5 284=()3xx，解得4=3x，故4=3CD.（14）已知函数2|1|=1xyx的图象与函数=2y kx 的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是 .14(0,1)(1,4)【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点，从而确定参数的取值范围.【解析】函数=2y kx 的图像直线恒过定点B(0
12、,2)，且(1,2)A，(1,0)C，(1,2)D，2+2=01 0ABk，0+2=21 0BCk，2+2=41 0BDk，由图像可知(0,1)(1,4)k.4224681012510AOBCD 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分 13 分）已知函数2()=sin(2+)+sin(2)+2cos133f xxxx，xR.()求函数()f x的最小正周期；（）求函数()f x在区间,4 4 上的最大值和最小值.【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin(+)y Ax的数学模型
13、，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.（16）（本小题满分 13 分）现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏.（）求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率：（）求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率：（）用,X Y分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记=|XY，求随机变量的分布列与数学期望E.【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考
14、点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新,对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.6（17）（本小题满分 13 分）如图，在四棱锥PABCD中，PA丄平面ABCD，AC丄AD，AB丄BC，0=45ABC，=2PA AD，=1AC.()证明PC丄AD；（）求二面角APCD的正弦值；（）设 E 为棱PA上的点，满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为030，求 AE 的长.【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们
15、平时练习的试题相似，但底面是非特殊 的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点 E 的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.（18）(本小题满分 13 分）已知na是等差数列，其前n项和为nS，nb是等比数列,且1a=1=2b，44+=27ab，44=10Sb.()求数列na与nb的通项公式；()记11 21=+nnnnTa baba b，+nN，证明+12=2+10nnnTab+()nN.【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】【点评】该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合
16、应用，但方法多样，第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证明，给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原则.（19）（本小题满分 14 分）设椭圆2222+=1xyab(0)a b的左、右顶点分别为 A，B，点 P 在椭圆上且异于 A，B两点，O为坐标原点.（）若直线 AP 与 BP 的斜率之积为12，求椭圆的离心率；（）若|=|APOA，证明直线OP的斜率k满足|3k.【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】【点评】（20）（本小题满分 14 分）已知函数()=ln(+)f xxx a的最小值为0，其中0a.（）求a的值；（）若对任意的0,+)x,有2()f xkx成立，求实数
17、k的最小值；7（）证明=12ln(2+1)221nini*()nN.【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】【点评】试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行.关于数学名言警句大全 1、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。努瓦列斯 2、不管数学的任一分支是多么抽象，总有一天会应用在这实际世界上。罗巴切夫斯基 3、宁可少些，但要好些。高斯 4、在数学中最令我欣喜的，是那些能够被证明的东西。罗素 5、获得智慧，科学可改善物
18、质生活，但数学能给予以上的一切。克莱因 6、给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。高斯 7、当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。柯普宁 8、没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯 9、第一是数学，第二是数学，第三是数学。伦琴 10、数学的本质在於它的自由。康扥尔 11、在数学里，分辨何是重要，何事不重要，知所选择是很重要的。广中平佑 12、新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。华罗庚 13、宁可少些，但要好些，二分之一个证明等于0
19、。高斯 14、从最简单的做起。波利亚 15、在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。拉普拉斯 16、每一个目标，我都要它停留在我的眼前，从第一到曙光初现开始，一直保留，慢慢展开，直到整个大地光明为止。牛顿 17、下棋要找高手。只有不怕在能者面前暴露自己的弱点，才能不断进步，自学，不怕起点 8 低，就怕不到底。华罗庚 18、我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算。纳皮尔 19、一个国家只有数学蓬勃的发展，才能展现它国立的强大。数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关。拿破仑 20、每当我的头脑没有问题思考时，我就喜欢将已经知道的定理重新验证一番。()这样做并没有什么目的，只是让自己
20、有个机会充分享受一下专心思考的愉快。爱因斯坦 21、思维自疑问和惊奇开始。亚里士多德 22、历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根 23、用一，从无，可生万物。莱布尼兹 24、数学主要的目标是公众的利益和自然现象的解释。傅立叶 25、如果我能够看的更远，那是因为我站在巨人的肩上。牛顿 26、数学对观察自然做出重要的贡献，它解释了规律结构中简单的原始元素，而天体就是用这些原始元素建立起来的。开普勒 27、数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚 28、现代高能物理到了量子物理以后，有很多根本无法做实验，在家用纸笔来算，这跟数学家想样的差不了多远，所以说数学在物理上有着不可思议的力量。邱成桐 2
21、9、当我听别人讲解某些数学问题时，常觉得很难理解，甚至不可能理解。这时便想，是否可以将问题化简些呢往往，在终于弄清楚之后，实际上，它只是一个更简单的问题。希尔伯特 30、数缺形时少直观，形缺数时难入微，又说要打好数学基础有两个必经过程：先学习、接受“由薄到厚”；再消化、提炼“由厚到薄”。华罗庚 31、学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然。苏步青 32、数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明 33、数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支。它愈来愈成为衡量科学成就的主要标志了。冯纽曼 34、我的成功归功于精细的思考，只有不断地思考，才能到达发现的彼岸。35、历史使人贤明，诗造成气质高雅的人，数学使人高尚，自然哲学使人深沉，道德使人稳重，而伦理学和修辞学则使人善于争论。培根