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1、北京市西城区2013-2014 学年下学期高二年级期末考试数学试卷（文科）试卷满分：150 分考试时间：120 分钟一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1.设集合1,2,3,4,5,1,3,5UM，则UC M（）A.U B.2，4 C.1，3，5 D.1，2，4 2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A.1yxB.2yxC.1yxD.3yx3.已知na是等比数列，142,16aa，则公比q 等于（）A.14B.12C.2 D.4 4.命题“对任意实数x，都有 x1”的否定是（）A.对任意实数x，都有 x1 B.不存在
2、实数x，使 x 1 C.对任意实数x，都有 x1 D.存在实数x，使 x1 5.“1a”是“函数2()(1)f xx在区间,)a上为增函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知31ln 4,log,12xyz，则（）A.xzyB.zxyC.zyxD.yzx7.函数1()xf xaa的图象可能是（）A B C D 8.设函数()lnf xxx，则()f x的极小值点为（）A.xeB.ln 2xC.2xeD.1xe9.已知数列na的前 n 项和21,1,2,3,nnSn，那么数列na（）A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C
3、.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列10.函数32()f xaxbxcx的图象如图所示，且()f x在0 xx与1x处取得极值，给出下列判断：0c；(1)(1)0ff；函数()yfx在区间(0,)上是增函数。其中正确的判断是（）A.B.C.D.二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。11.231loglog 92_。12.已知函数()sinfxx，则()2f_。13.若12m，则12m的取值范围是_。14.已知函数()fx是奇函数，且当0 x时，2()2f xx，则(1)f_。15.已知函数31(),1,()23,1,xxf xxx
4、则方程()2f x的解为 _；若关于x 的方程()f xk有两个不同的实数解，则实数k 的取值范围是 _。16.若在区间0,1上存在实数x 使2(3)1xxa成立，则 a的取值范围是_。三、解答题：本大题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分13 分）已知集合2|28,|280,|1 xAxBx xxCx axa。（）求集合AB；（）若CB，求实数a 的取值范围。18.（本小题满分13 分）已知数列na是公差为 2 的等差数列，6a是12a与3a的等比中项。（）求数列na的通项公式；（）设数列na的前 n 项和为nS，求nS的最大值。19.（本小题满
5、分13 分）已知一次函数()2f xkx满足(2)(0)6ff。（）求()f x的解析式；（）求函数1()()()g xf xfx的值域。20.（本小题满分14 分）已知函数()ln()f xaxx aR。（）当1a时，求曲线()yf x在2x处切线的斜率；（）求()f x的单调区间；（）当0a时，求()f x在区间(0,e上的最小值。21.（本小题满分13 分）某商场预计从2013 年 1 月份起的前x个月，顾客对某商品的需求总量 p（x）（单位：件）与 x 的关系近似的满足*1()(1)(392)(2p xx xxxN，且12x）。该商品第x月的进货单价q（x）（单位：元）与x 的近似关系
6、是*1502(,16),()160185(,712).x xNxq xxNxx（）写出这种商品2013 年第x月的需求量 f（x）（单位：件）与x 的函数关系式；（）该商品每件的售价为185 元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问该商场 2013 年第几个月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？22.（本小题满分14 分）已知函数2()(22),xf xxxk ekR。（）求()f x的单调区间；（）若()f x在区间0,1上的最小值为e，求 k 的值。【试题答案】一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共 40 分。1.B 2.D 3.C 4.D 5.A 6.C 7.C
7、8.D 9.B 10.C 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。11.1 12.0 13.3,314.1 15.1,(0,2)x16.(,1)注：一题两空的试题，第一空3 分，第二空2 分。三、解答题：本大题共6 小题，共80 分。17.（本小题满分13 分）解：（）由28x，得322,3xx。3 分解不等式2280 xx，得(4)(2)0 xx，所以24x。6 分所以|3,|24Ax xBxx，所以|23ABxx。9 分（）因为CB，所以14,2,aa11 分解得23a。所以，实数a的取值范围是 2,3。13 分18.（本小题满分13 分）解：（）因为6a是12a与3a的
8、等比中项，所以2613(2)aaa。2 分因为数列na是公差为 2 的等差数列，所以2111(10)(2)(4)aaa，4 分解得16a。6 分所以1(1)62(1)82naandnn。8 分（）解0na，即820n，得4n，10 分故数列na的前 3 项大于零，第4 项等于零，以后各项均小于零。所以，当3n或4n时，nS取得最大值。11 分34144()122SSaa。所以nS的最大值为12。13 分19.（本小题满分13 分）解：（）由已知，得(22)(2)6k，3 分解得3k。所以函数()f x的解析式为()32f xx。6 分（）133()()()322340g xf xfxxxxxx
9、。当0 x时，336xx，当且仅当33xx，即1x时等号成立，8 分所以()2g x。10 分当0 x时，因为33()6xx，所以336xx，当且仅当33xx，即1x时等号成立，11 分所以()10g x。12 分所以，函数()g x的值域为(,102,)。13 分20.（本小题满分14 分）解：（）当1a时，1()ln,()(0)xf xxx fxxx，2 分故曲线()yf x在2x处切线的斜率为12。4 分（）11()(0)axfxaxxx。6 分当0a时，由于0 x，故10,()0axfx。所以，()fx的单调递减区间为(0,)。8 分当0a时，由()0fx，得1xa。在区间1(0,)a
10、上，()0fx，在区间1(,)a上，()0fx。所以，函数()f x的单调递减区间为1(0,)a，单调递增区间为1(,)a。10 分综上，当0a时，()f x的单调递减区间为(0,)；当0a时，函数()f x的单调递减区间为1(0,)a，单调递增区间为1(,)a。11 分（）根据（）得到的结论，当1ea，即10ae时，()f x在区间(0,e上的最小值为()f e，()1f eae。13 分当1ea，即1ae时，()f x在区间(0,e上的最小值为1()fa，11()1 ln1 lnfaaa。综上，当10ae时，()f x在区间(0,e上的最小值为1ae，当1ae，()f x在区间(0,e上的
11、最小值为1ln a。14 分21.（本小题满分13 分）解：（）当1x时，(1)(1)37fp，2 分当212x，且*xN时，()()(1)f xp xp x211(1)(392)(1)(412)34022x xxxxxxx。4 分经验证1x符合2()340f xxx。故 2013 年第 x 月的需求量2*()340(f xxx xN，且12x）。5 分（）该商场预计第x 月销售该商品的月利润为2*2*(340)(352)(,16),()160(340)(,712).xxxxNxg xxxxNxx7 分即32*61851400(,16),()4806400(,712).xxx xNxg xxx
12、Nx8 分当16x时，2()183701400gxxx，令()0gx，解得5x或1409x（舍去）。所以，当15x时，()0g x；当56x时，()0gx。当5x时，()g x的最大值为(5)3125g元。10 分当712x时，()4806400g xx是减函数，所以，当7x时，()g x的最大值为(7)3040g元。12 分综上，该商场2013 年第 5 个月销售该商品的月利润最大，最大月利润为3125 元。13 分22.（本小题满分14 分）解：（）22()(22)(22)()xxxfxxexxk exk e。3 分当0k时，()0fx，函数()f x在 R 上是增函数。当0k时，在区间(
13、,0)和(0,)上()0,(0)0fxf，函数()f x在 R 上是增函数。5 分当0k时，解()0fx，得xk，或xk。解()0fx，得kxk。所以函数()f x在区间(,)k和(,)k上是增函数，在区间(,)kk上是减函数。综上，当0k时，(,)是函数()f x的单调增区间；当0k时，(,)k和(,)k是函数()fx的单调递减区间，(,)kk是函数()f x的单调递减区间。7 分（）当0k时，函数()f x在 R 上是增函数，所以()f x在区间0,1上的最小值为(0)f，依题意，(0)2fke，解得2ke，符合题意。8 分当1k，即1k时，函数()f x在区间0,1上是减函数。所以()f
14、 x在区间0,1上的最小值为(1)f，解(1)(1)fk ee，得0k，不符合题意。9 分当1k，即01k时，函数()f x在区间0,k上是减函数，在区间,1k上是增函数。所以()f x在区间0,1上的最小值为()fk，10 分解()(22)kfkk ee，即1(22)kke，设()2,(0,1)th tet t，11 分()2th te，则在区间(0,ln 2)上()0h t，在区间(ln 2,1)上()0h t，所以()h t在区间(0,1)上的最小值为(ln 2)h，12 分又ln 2(ln 2)2ln 222ln 20he，13 分所以20tet在区间(0,1)上无解，所以1(22)kke在区间(0,1)上无解，14 分综上，2ke。