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1、北京市西城区 2013-2014学年下学期高一年级期末考试数学试卷（试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.不等式3)2(xx的解集是（）（A）13xx（B）31xx（C）,3xx或1x（D）,1xx或3x 2.在等比数列 na中，若321aaa8，则2a等于（）（A）38（B）2（C）38（D）23.总体由编号为01，02，29，30 的 30 个个体组成。利用下面的随机数表选取4 个个体。选取方法是从随机数表第1 行的第5 列和第6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选
2、出的第4个个体的编号为（）7806 6572 0802 6314 2947 1821 9800 3204 9234 4935 3623 4869 6938 7481（A）02 （B）14 （C）18 （D）29 4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）（A）1（B）5（C）14 （D）30 5.在ABC中，若CBA222sinsinsin，则ABC的形状是（）（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）无法确定6.已知不等式015xx的解集为P。若Px0，则“10 x”的概率为（）（A）41（B）31（C）21（D）327.设0,0 ba，则下列不等式中不恒成立的是（）（A）aa
3、12（B）22ba2（1ba）（C）baba（D）33ba22ab8.已知数列A：1a，2a，na（210aa3,nan）具有性质P：对任意)1(,njiji,ijijaaaa与两数中至少有一个是该数列中的一项。给出下列三个结论：数列 0，2，4，6 具有性质P；若数列A具有性质P，则01a；若数列1a，2a，3a（3210aaa）具有性质P，则2312aaa。其中，正确结论的个数是（A）3（B）2（C）1（D）0 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。9.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的
4、平均分数为_。10.下图是甲，乙两名同学在五场篮球比赛中得分情况的茎叶图。那么甲、乙两人得分的标准差s甲_s乙（填“”或“=”）。11.已知 na 是公差为d的等差数列，11a。如果2a53aa，那么d的取值范围是_。12.从 1，2，3，4，5 中随机选取一个数为a，从 2，4，6中随机选取一个数为b，则ab的概率是 _。13.若实数ba,满足122ba，则ba的最大值是 _。14.设M为不等式组0,04,04yyxyx所表示的平面区域，N为不等式组tytxt40所表示的平面区域，其中4,0t。在M内随机取一点A，记点A在N内的概率为P。（）若1t，则P=_；（）P的最大值是 _。三、解答题
5、：本大题共6 小题，共80 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13 分）在等差数列 na中，12,1312aaa。（）求数列na 的通项公式；（）设 na的前n项和为nS。若99kS,求k。16.（本小题满分13 分）在 ABC中，A4，B3，BC2。（）求AC的长；（）求AB的长。17.（本小题满分14 分）经统计，某校学生上学路程所需要时间全部介于0 与 50 之间（单位：分钟）。现从在校学生中随机抽取100 人，按上学所需时间分组如下：第1 组10,0(，第 2 组20,10(，第 3 组30,20(，第 4 组40,30(，第 5 组50,40(，得到
6、如图所示的频率分布直方图。（）根据图中数据求a的值；（）若从第3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取6 人参与交通安全问卷调查，应从这三组中各抽取几人？（）在（）的条件下，若从这6 人中随机抽取2 人参加交通安全宣传活动，求第4 组至少有 1 人被抽中的概率。18.（本小题满分13 分）已知函数)1)(2()(aaxxaxf，其中0a。（）若1a，求)(xf在区间 0，3上的最大值和最小值；（）解关于x的不等式0)(xf。19.（本小题满分14 分）已知数列 na的前n项和13nnS，其中*Nn。（）求数列na 的通项公式；（）若数列nb满足11b，)2(31nabbnnn，（）证明：数列13n
7、nb为等差数列；（）求数列nb的前n项和nT。20.（本小题满分13 分）在无穷数列 na中，11a，对于任意*Nn，都有*Nan，1nnaa。设*Nm，记使得man成立的n的最大值为mb。（）设数列na 为 1，3，5，7，写出321,bbb的值；（）若 na为等比数列，且22a，求321bbb50b的值；（）若 nb 为等差数列，求出所有可能的数列na。高一数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。1.A；2.B；3.D；4.C；5.B；6.B；7.D；8.A 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。9.73.1；10.；11.（0，
8、21）；12.53；13.2；14.83，21注：14 题第一问2 分，第二问3 分。三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分。若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分。15.（本小题满分13 分）（）解：设等差数列na的公差为d。依题意，得123,111dada。【4 分】解得11a，2d。【6 分】所以数列 na的通项公式为32)1(1ndnaan。【8 分】（）解：nnnnaanSnn22)42(2)(21。【10 分】令9922kkSn，即09922kk。【12 分】解得11k，或9k（舍去）。【13 分】16.（本小题满分13 分）（）解：由正弦定理可得ABCBACsin
9、sin，【3 分】所以6sinsinABBCAC【6 分】（）解：由余弦定理，得BBCABBCABACcos2222，【9 分】化简为0222ABAB，【11 分】解得31AB，或31AB（舍去）。【13 分】17.（本小题满分14 分）（）解：因为（0.005+0.01+a+0.03+0.035）,110【2 分】所以02.0a。【3 分】（）解：依题意，第3 组的人数为301003.0，第 4 组的人数为201002.0，第 5 组的人数101001.0，所以这三组共有60 人。【4 分】利用分层抽样的方法从这60 人中抽取6 人，抽样比为101606。【5 分】所以在第3 组抽取的人数为
10、310130，在第 4 组抽取的人数为210120，在第 5 组抽取的人数为110110。【8 分】（）解：记第3 组的 3 人为321,AAA，第 4 组的 2 人为,21BB第 5 组的 1 人为1C。从 6 人中抽取2 人的所有情形为：（21,AA）,（31,AA）,（11,BA），（21,BA），（11,CA），（32,AA），（12,BA），（22,BA），（12,CA），（13,BA），（23,BA），（13,CA），（21,BB），（11,CB），（12,CB），共 15 种可能。【11 分】其中第 4 组的 2 人中，至少有1 人被抽中的情形为：（11,BA），（21,BA），
11、（12,BA），（22,BA），（13,BA），（23,BA），（21,BB），（11,CB），（12,CB），共 9 种可能。【13 分】所以，第4 组至少有1 人被抽中的概率为53159P。【14 分】18.（本小题满分13 分）（）解：1a时，.1)1()2()(2xxxxf【1 分】所以，函数)(xf在（0，1）上单调递减；在（1，3）上单调递增。【2 分】所以)(xf在0，3上的最小值为1)1(f。【3 分】又),0()3(ff所以)(xf在0，3上的最大值为3)3(f。【4 分】（）解：（1）当0a时，原不等式同解于0)1)(2(aaxx。【5 分】因为,0112aaaa所以,21
12、aa【6 分】此时，()0fx的解集为,2xx或aax1。【7 分】（2）当0a时，原不等式同解于0)1)(2(aaxx。【8 分】由aaaa112，得：若01a，则aa12，此时，)(xf0的解集为 aaxx12。【10 分】若1a，原不等式无解。【11 分】若1a，则aa12，此时，)(xf0的解集为 21xaax。【13 分】综上，当0a时，不等式的解集为aaxxx1,2 或；当01a时，不等式的解集为 aaxx12；当1a时，不 等 式 的 解 集 为；当1a时，不 等 式 的 解 集 为21xaax。19.（本小题满分14 分）（）解：因为数列na的前n项和13nnS，所以)2(3.
13、2)13()13(111nSSannnnnn。【2 分】因为1n时，211Sa，也适合上式，【3 分】所以)(3.2*1Nnann。【4 分】（）（）证明：当2n时，113.23nnnbb，将其变形为112233nnnnbb，即233211nnnnbb。【6 分】所以，数列13nnb是首项为1301b，公差为2 的等差数列。【8 分】（）解：由（）得，12)1(2131nnbnn。所以)(3)12(*1Nnnbnn。【10 分】因为12103)12(353331nnnT，所以nnnT3)12(3533313321。【12 分】两式相减得nnnnT3)12()333(212121。整理得)(13
14、)1(*NnnTnn。【14 分】20.（本小题满分13 分）（）解：11b，21b，32b。【3 分】（）解：因为na为等比数列，11a，22a，所以12nna，【4 分】因为使得nam成立的n的最大值为mb，所以11b，232bb，45673bbbb，89154bbb，1617315bbb，3233506bbb，【6 分】所以12350243bbbb。【8 分】（）解：由题意，得1231naaaa，结合条件*naN，得nan。【9 分】又因为使得nam成立的n的最大值为mb，使得1nam成立的n的最大值为1mb，所以11b，*1()mmbbmN。【10 分】设2ak，则2k。假设2k，即22ak，则当2n时，2na；当3n时，1nak。所以21b，2kb。因为 nb为等差数列，所以公差210dbb，所以1nb，其中*nN。这与2(2)kbk矛盾，所以22a。【11 分】又因为123naaaa，所以22b，由 nb为等差数列，得nbn，其中*nN。【12 分】因为使得nam成立的n的最大值为mb，所以nan，由nan，得nan。【13 分】