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1、海 淀 区 高 三 年 级 第 一 学 期 期 末 练 习数 学（文科）2012.01 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数i(12i)（A）2i（B）2i（C）2i（D）2i（2）如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么=EF（A）1122ABAD+（B）1122ABAD-（C）1122ABAD+（D）1122ABAD-（3）已知数列na满足：22111,0,1(*)nnnaaaanN，那么使5na成立的n的最大值为（）（A）4（B）5（C）24（D）25（4）某程序的框图如图所示，若执行
2、该程序，则输出的i值为（A）5（B）6（C）7（D）8（5）已知直线1l：110k xy与直线2l：210k xy，那么“12kk”是“1l2l”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（6）函数()sin(2)(,)f xAxAR的部分图象如图所示，那么(0)f（A）12（B）1FEDCBA开始i=1,s=0 s=s+2 i-1is100 i=i+1 输出 i结束是否（C）32（D）3（7）已知函数()2f xx xx，则下列结论正确的是（A）()f x是偶函数，递增区间是0,（B）()f x是偶函数，递减区间是(,1)（C）()f x是奇函数，递减
3、区间是1,1（D）()f x是奇函数，递增区间是,0（8）点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离.已知点(1,0)A，圆C：2220 xxy，那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1 的点的轨迹是（A）双曲线的一支（B）椭圆（C）抛物线（D）射线二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共 30分，把答案填在题中横线上.（9）双曲线22145xy的离心率为.（10）已知抛物线2yax过点1(,1)4A，那么点A到此抛物线的焦点的距离为.（11）若实数,x y满足40,250,10,xyxyy则2zxy的最大值为.（12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C）用
4、茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是_，气温波动较大的城市是_.甲城市乙城市9 08 7 73 1247（13）已知圆C：22(1)8xy，过点(1,0)A的直线l将圆C分成弧长之比为1:2的两段圆弧，则直线l的方程为.（14）已知正三棱柱ABCA B C的正（主）视图和侧（左）视图如图所示.设,ABCA B C的中心分别是,O O，现将此三棱柱绕直线OO旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度（x可以取到任意一个实数），对应的俯视图的面积为()S x，则函数()S x的 最 大 值 为；最 小 正 周 期为 .说明：“三棱柱绕直线OO旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针
5、方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角.三、解答题：本大题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2AB，3sin3B.（）求cosA的值；（）若2b，求边,a c的长.(16)（本小题满分13 分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛.（）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位
6、的概率；（）求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率.（17）（本小题满分13 分）在 四 棱 锥PABCD中，底 面ABCD是 菱 形，ACBDO.（）若ACPD，求证：AC平面PBD；（）若平面PAC平面ABCD，求证：PBPD；220 4 7 BCDOAP侧（左）视图正（主）视图43（）在棱PC上是否存在点M（异于点C）使得BM平面PAD，若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由.(18)（本小题满分13 分）已知函数2()e()xf xxaxa，其中a是常数.（）当1a时，求()f x在点(1,(1)f处的切线方程；（）求()f x在区间0,)上的最小值.（19）（本小题满分13 分
7、）已知椭圆C:22221(0)xyabab的右焦点为1F(1,0)，离心率为12.（）求椭圆C的方程及左顶点P的坐标；（）设过点1F的直线交椭圆C于,A B两点，若PAB的面积为3613，求直线AB的方程.（20）（本小题满分14 分）若集合A具有以下性质：A0，A1；若Ayx,，则Ayx，且0 x时，Ax1.则称集合A是“好集”.（）分别判断集合1,0,1B，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由；（）设集合A是“好集”，求证：若Ayx,，则Ayx；（）对任意的一个“好集”A，分别判断下面命题的真假，并说明理由.命题p：若Ayx,，则必有Axy；命题q：若Ayx,，且0 x，则必有Axy；海淀
8、区高三年级第一学期期末练习数学（文科）参考答案及评分标准201201 一.选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分.题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案B D C A C B C D 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共 30分.（9）32（10）54（11）7（12）乙，乙（13）1yx或1yx（14）8；3注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给 5分；（12）、（14）题第一空 3分；第二空 2分.三.解答题：本大题共6小题，共 80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13 分）解：（）因为2AB，所以2coscos2
9、12sinABB.因为3sin3B，所以11cos1233A.（）由题意可知，(0,)2B.所以26cos1sin3BB.所以2 2sinsin22sincos3ABBB.因为sinsinbaBA，2b，所以232 233a.所以4 63a.由1cos3A可知，(0,)2A.过点C作CDAB于D.所以4 66110coscos23333caBbA.(16)（本小题满分13 分）解：基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲”.2 分（）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A，事件A包含的基本事件有“甲乙丙，乙甲丙”，则4 分2163P A.所以甲、乙两支队
10、伍恰好排在前两位的概率为13.7分（）设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B，事件B包含的基本事件有“甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”，则10 分4263P B.所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为23.13 分(17)（本小题满分14 分）（）证明：因为底面ABCD是菱形所以ACBD.1 分因为ACPD，PDBDD，所以AC平面PBD.3 分（）证明：由（）可知ACBD.因为平面PAC平面ABCD，平面PAC平面ABCDAC，BD平面ABCD，所以BD平面PAC.5 分因为PO平面PAC，所以BDPO.7 分因为底面ABCD是菱形，所以BODO.所以PBPD.8分（）解：不存在.下面用反
11、证法说明.9分假设存在点M（异于点C）使得BM平面PAD.在菱形ABCD中，BCAD，因为AD平面PAD，BC平面PAD，所以BC平面PAD.11 分因为BM平面PBC，BC平面PBC，BCBMB，所以平面PBC平面PAD.13 分而平面PBC与平面PAD相交，矛盾.14 分(18)（本小题满分13 分）解：（）由2()e()xf xxaxa可得2()e(2)xfxxax.2 分当1a时,(1)ef,(1)4ef.4 分所以曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为e4e1yx，即4e3eyx.6 分（）令2()e(2)0 xfxxax，解得(2)xa或0 x.8 分当(2)0a，即2a
12、时，在区间0,)上，()0fx，所以()f x是0,)上的增函数.所以()f x的最小值为(0)fa;10 分当(2)0a，即2a时,(),fxfx随x的变化情况如下表x0(0,(2)a(2)a(2),)a()fx00MBCDOAP()f x(0)f(2)fa由上表可知函数()f x的最小值为24(2)eaafa.13 分（19）（本小题满分13 分）解：（）由题意可知：1c，12ca，所以2a.所以2223bac.所以椭圆C的标准方程为22143xy，左顶点P的坐标是(2,0).4 分（）根据题意可设直线AB的方程为1xmy，1122(,),(,)A x yB xy.由221,431xyxm
13、y可得：22(34)690mymy.所以223636(34)0mm，122634myym，122934y ym.7 分所以PAB的面积21212121113()422SPFyyyyy y9分222223636181()2343434mmmmm.10 分因为PAB的面积为3613，所以22123413mm.令21tm，则22(1)3113ttt.解得116t（舍），22t.所以3m.所以直线AB的方程为310 xy+310 xy或.13 分（20）（本小题满分14 分）解：（）集合B不是“好集”.理由是：假设集合B是“好集”.因为1B，B1，所以1 12B.这与2B矛盾.2分有理数集Q是“好集”
14、.因为0Q，1Q,对任意的,x yQ，有xyQ，且0 x时，1xQ.所以有理数集Q是“好集”.4 分（）因为集合A是“好集”，所以A0.若,x yA，则Ay0，即Ay.所以Ayx)(，即Ayx.7分（）命题qp,均为真命题.理由如下：9 分对任意一个“好集”A，任取,x yA，若yx,中有 0 或 1 时，显然Axy.下设yx,均不为 0，1.由定义可知：Axxx1,11,1.所以111Axx，即1(1)Ax x.所以(1)x xA.由（）可得：(1)x xxA，即2xA.同理可得2yA.若0 xy或1xy，则显然2()xyA.若0 xy且1xy，则2()xyA.所以Ayxyxxy222)(2.所以Axy21.由（）可得：Axyxyxy21211.所以Axy.综上可知，Axy，即命题p为真命题.若,x yA，且0 x，则1Ax.所以1yyAxx，即命题q为真命题.14 分