《北京市朝阳区2011-2012学年度第一学期期末测试卷(高三理科数学)含答案(word版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市朝阳区2011-2012学年度第一学期期末测试卷(高三理科数学)含答案(word版).pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、北京市朝阳区 2011-2012 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（理工类）2012.1（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分 第一部分（选择题 共 40 分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知平面向量(3,1)a，(,3)xb，且ab，则实数x的值为 （）A9 B1 C1 D 9 2.设集合U=1,2,3,4，25M=xU xx+p=0，若2,3UC M=，则实数p的值 为
2、 ()A4 B 4 C6 D6 3.设数列 na是公差不为 0 的等差数列，11a 且136,a a a成等比数列，则 na的前n项和nS等于 （）A 2788nn B2744nn C2324nn D2nn 4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A1 B1 C 2 D0 5.已知函数()sin3cosf xxx，设()7af，()6bf，()3cf，则,a b c的大小关系是 （）A.abc B.cab C.bac D.bca 6.函数2()2xf xax的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是（）A(1,3)B(1,2)C(0,3)D(0,2)7.已知正方形ABCD的边长为2
3、 2，将ABC沿对角线AC折起，使平面ABC 平面ACD，得到如图所示的三棱锥BACD若O为AC边的中点，M，N分别为线段DC，BO上的动点（不包括端点），且BNCM.设BNx，则三棱锥NAMC的体积()yf x的函数图象大致是（）A B C D 8.已 知 集 合(,)|,Ax yxn ynab nZ,(,)|,Bx yxm2312,ym mZ.若存在实数,a b使得AB 成立,称点(,)a b为“”点，则“”点在平面区域22(,)|108Cx yxy内的个数是 ()A.0 B.1 C.2 D.无数个 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 3
4、0 分.把答案填在答题卡上.9.已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取200辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间60,70)上的汽车大约有 辆.ADBNMOC时速（km/h）001 002 003 004 组距 40 50 60 70 80 频率 O 10 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 .11.在平面直角坐标系中,不等式组0,40,xyxyxa所表示的平面区域的面积是9,则实数a的值为 .12.设直线10 xmy 与圆22(1)(2)4xy相交于A，B两点，且弦AB的长为2 3，则实数m的值是 .13.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机
5、器生产的产品可获得的总利润y（万元）与机器运转时间x（年数，xN）的关系为21825yxx.则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是 万元.14.已知两个正数,a b,可按规则cabab扩充为一个新数c,在,a b c三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.（1）若1,3ab,按上述规则操作三次,扩充所得的数是_；（2）若0pq，经过 6 次操作后扩充所得的数为(1)(1)1mnqp（,m n为正整数），则,m n的值分别为_.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本题满
6、分 13 分）在锐角ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所 对的边，且满 足32 sin0abA（）求角B的大小；（）若5ac，且ac，7b，求AB AC的值 主视图 俯视图 3 2 3 2 2 2 侧视图 16.（本题满分 13 分）如图，一个圆形游戏转盘被分成 6 个均匀的扇形区域 用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头 A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头 A 指向每个区域的可能性都是相等的在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(,)a b（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能
7、参加一次活动）（）求某个家庭得分为(5,3)的概率？（）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于 8 的家庭可以获得一份奖品请问某个家庭获奖的概率为多少？（）若共有 5 个家庭参加家庭抽奖活动在（）的条件下，记获奖的家庭数为X，求X的分布列及数学期望 17.（本题满分 13 分）如图，在四棱锥SABCD中，平面SAD 平面ABCD底面ABCD为矩形，2,3ADa ABa，SASDa（）求证：CDSA；（）求二面角CSAD的大小.18.（本题满分 13 分）已知函数1()ln(1)1xf xaxx（0 x，a为正实数）.（）若1a，求曲线()yf x在点(1,(1)f处
8、的切线方程；（）求函数()f x的单调区间；（）若函数()f x的最小值为1，求a的取值范围.5 5 3 2 3 2 A 19.（本题满分 14 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，直线l过点(4,0)A，(0,2)B，且与椭圆C相切于点P.（）求椭圆C的方程；（）是否存在过点(4,0)A的直线m与椭圆C相交于不同的两点M、N，使得 23635APAMAN?若存在，试求出直线m的方程；若不存在,请说明理由.20.（本题满分 14 分）数列na，nb（1,2,3,n）由下列条件确定：110,0ab；当2k 时，ka与kb满足：当011kkba时，1kkaa,211kkkb
9、ab；当011kkba时，211kkkbaa，1kkbb.（）若11a ，11b，写出234,a a a，并求数列na的通项公式；（）在 数 列nb中，若sbbb21(3s,且*sN)，试 用11,ba表 示kb,2,1sk；（）在（）的条件下，设数列nc(*)nN满足211c，0nc，2212mnnnmcccma(其中m为给定的不小于 2 的整数)，求证：当mn 时，恒有1nc.北京市朝阳区 2011-2012 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷答案（理工类）2012.1 一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案 C B A D B C B A 二、填空
10、题：题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案 80 3 3 1 33 5 8 255 8,13 三、解答题：（15）（本小题满分 13 分）解：（）因为32 sin0abA，所以3sin2sinsin0ABA，2 分 因为sin0A，所以23sinB.3 分 又B为锐角，则3B.5 分（）由（）可知，3B因为7b，根据余弦定理，得 2272cos3acac，7 分 整理，得2()37acac 由已知 5ac，则6ac 又ac，可得 3a，2c 9 分 于是2227497cos2144 7bcaAbc，11 分 所以7coscos27114AB ACAB ACAcbA 13 分（1
11、6）（本小题满分 13 分）解：（）记事件 A：某个家庭得分情况为(5,3)111()339P A 所以某个家庭得分情况为(5,3)的概率为19 4 分 （）记事件 B：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括(5,3),(5,5),(3,5)共 3 类情况 所以1111111()3333333P B 所以某个家庭获奖的概率为13 8 分 （）由（）可知，每个家庭获奖的概率都是13，所以1(5,)3XB 00551232(0)()()33243P XC，11451280(1)()()33243P XC，22351280(2)()()33243P XC，33251240(3)()()332
12、43P XC，44151210(4)()()33243P XC，5505121(5)()()33243P XC.11 分 所以X分布列为：X 0 1 2 3 4 5 P 32243 80243 80243 40243 10243 1243 所以15533EXnp 所以X的数学期望为53 13 分（17）（本小题满分 13 分）证明：（）因为平面SAD 平面ABCD，CDAD，且面SAD面ABCDAD，所以CD 平面SAD.又因为SA 平面SAD 所以CDSA 6 分 （）由（）可知，CDSA.在SAD中，SASDa，2ADa，所以SASD，所以SA 平面SDC.即SASD，SASC,所以CSD
13、为二面角CSAD的平面角 在Rt CDS中，3tan3CDaCSDSDa，所以二面角CSAD的大小3 13 分 法二：取BC的中点E,AD的中点P 在SAD中，SASDa，P为AD的中点，所以，SPAD 又因为平面SAD 平面ABCD，且平面SAD平面ABCDAD 所以，SP 平面ABCD显然，有PEAD 1 分 如图，以 P 为坐标原点，PA 为 x 轴，PE 为 y 轴，PS 为 z 轴建立空间直角坐标系，则2(0,0,)2Sa，2(,0,0)2Aa，2(,3,0)2Baa，2(,3,0)2Caa，2(,0,0)2Da 3 分（）易知22(0,3,0),(,0,)22CDaSAaa 因为0
14、CD SA，所以CDSA 6 分（）设(,)x y zn为平面CSA的一个法向量，则有00SACAnn，即22022230axazaxay，所以(3,2,3)n 7 分 显然，EP 平面SAD，所以PE为平面SAD的一个法向量，所以(0,1,0)m为平面SAD的一个法向量 9 分 所以 21cos,22 2n m，所以二面角CSAD的大小为3 13 分 （18）（本小题满分 13 分）解：（）当1a 时，1()ln(1)1xf xxx，则212()1(1)fxxx.2 分 所以(1)0f.又(1)ln2f，因此所求的切线方程为ln2y.4 分（）22222()1(1)(1)(1)aaxafxa
15、xxaxx.5 分 （1）当20a，即2a 时，因为0 x，所以()0fx，所以函数()f x在0,上单调递增.6 分 （2）当20a，即02a时，令()0fx，则220axa（0 x），所以2axa.因此，当20,)axa时，()0fx，当2(,)axa时，()0fx.所以函数()f x的单调递增区间为2(,)aa，函数()f x的单调递减区间为20,)aa.10 分（）当2a 时，函数()f x在0,上单调递增，则()f x的最小值为(0)1f，满足题意.11 分 当02a时，由（）知函数()f x的单调递增区间为2(,)aa，函数()f x的单调递减区间为20,)aa，则()f x的最小
16、值为2()afa，而(0)1f，不合题意.所以a的取值范围是2,.13 分（19）（本小题满分 14 分）解:（）由题得过两点(4,0)A，(0,2)B直线l的方程为240 xy.1 分 因为12ca，所以2ac，3bc.设椭圆方程为2222143xycc,由2222240,1,43xyxycc消去x得，224121230yyc.又因为直线l与椭圆C相切,所以22124 4(123)0c ,解得21c.所以椭圆方程为22143xy.5 分（）易知直线m的斜率存在,设直线m的方程为(4)yk x，6 分 由22(4),1,43yk xxy消去y，整理得2222(34)3264120kxk xk.
17、7 分 由题意知2222(32)4(34)(6412)0kkk，解得1122k.8 分 设11(,)M x y，22(,)N xy，则21223234kxxk，2122641234kx xk.9 分 又直线:240l xy与椭圆22:143xyC相切，由22240,1,43xyxy解得31,2xy，所以3(1,)2P.10 分 则2454AP.所以3645813547AMAN.又22221122(4)(4)AMANxyxy 2222221122(4)(4)(4)(4)xkxxkx 212(1)(4)(4)kxx 21212(1)(4()16)kx xxx 22222641232(1)(416)
18、3434kkkkk 2236(1).34kk 所以223681(1)347kk，解得24k .经检验成立.13 分 所以直线m的方程为2(4)4yx.14 分（20）（本小题满分 14 分）（）解：因为011ba，所以112 aa,02112bab.因为0122ba,所以212223baa,023 bb.因为33102ab,所以334124aba,430bb.所以1234111,1,24aaaa .2 分 由此猜想，当2k时,011kkba，则22111kkkkabaa，10kkbb.3 分 下面用数学归纳法证明：当2k 时，已证成立.假设当kl（lN，且2l）猜想成立，即110llab，10
19、llbb，102llaa.当1kl 时，由102llaa，10llbb得0llab，则10llbb，1022llllabaa.综上所述，猜想成立.所以22221111(2)222nnnnaan .故211,12.2nnnan.6 分（）解：当sk 2时，假设110kkab，根据已知条件则有1kkbb，与sbbb21矛盾，因此110kkab不成立，7 分 所以有110kkab，从而有1kkaa，所以1aak.当011kkba时，1kkaa，211kkkbab,所以111111()22kkkkkkkabbaaba;8 分 当sk 2时，总有111()2kkkkbaba成立.又110ba，所以数列kkab(sk,2,1)是首项为11ba，公比为12的等比数列,11121)(kkkabab，1,2,ks,又因为1aak，所以111121)(aabbkk.10 分（）证明：由题意得2212mnnnmcccma nnccm21.因为211nnncccm，所以2110nnncccm.所以数列 nc是单调递增数列.11 分 因此要证)(1mncn,只须证1mc.由2m，则nnnccmc211nnncccm11，即1111nnccm.12 分 因此1122111)11()11()11(1ccccccccmmmmm mmmm121.所以11mmcm.故当mn,恒有1nc.14 分