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1、甘肃省武威第六中学2020 届高三上学期第六次诊断考试试题数学（理）一、选择题(5 1260)1.已知集合Px|yx2x2，Qx|ln xb0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A.23B.12C.13D.1410正项等比数列an 中，a2 018a2 0172a2 016，若aman16a21，则4m1n的最小值等于()A.1 B.32C.53D.13611已知函数f(x)12cos xcos(x3)是偶函数，其中 0，2，则下列关于函数g(x)cos(2x)的正确描述是()A.g(x)在区间12，3上的
2、最小值为1 B.g(x)的图象可由函数f(x)的图象向上平移2 个单位长度，向右平移3个单位长度得到C.g(x)的图象的一个对称中心是12，0D.g(x)的一个单调递减区间是0，212.在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y2x 4，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使|MA|2|MO|，则圆心C的横坐标的取值范围为()A.0，125 B.0，1 C.1，125D.0，125二、填空题(4520）13若实数x，y满足约束条件2xy20，xy10，ym，且xy的最大值为 5，则实数m的值为_.14.设数列an的前n项和为Sn，若Snn2n，则数列2（n1）an的前 4
3、0项的和为_.15一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为 _.16我国古代数学名著九章算术对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图为一个“堑堵”，即三棱柱ABCA1B1C1，其中ACBC，已知该“堑堵”的高为6，体积为 48，则该“堑堵”的外接球体积的最小值为_.三、解答题17.（本小题12 分）已知函数f(x)32sin 2xcos2x12(xR).（1）求f(x)的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合；（2）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b
4、，c，且c3，f(C)0，若 sin B 2sin A，求a，b的值.18（本小题 12 分）在单调递增的等差数列 bn中，前n项和为Sn，已知b36，且b2，S52，b4成等比数列.（1）求 bn的通项公式；（2）设anbn2(e)bn，求数列 an的前n项和Tn.19.（本小题12 分）在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，底面ABC是边长为2 的正三角形，A1AA1C，A1AA1C.（1）求证：A1C1B1C；（2）求二面角B1A1CC1的正弦值.20.（本小题12 分）已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率e32，直线x3y10 被以
5、椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为3.（1）求椭圆C的方程；（2）过点M(4，0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且|MA|MB|，求的取值范围.21.（本小题12 分）已知函数()ln()f xtxx tR.（1）当1t时，证明：()1f x；（2）若对于定义域内任意x，()1xf xx e恒成立，求t的取值范围.22(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x22cos，y2sin（为参数），M为曲线C1上的动点，动点P满足OPaOM(a0 且a1)，P点的轨迹为曲线C2.（1）求曲线C2的方程，并说明C2是什么曲线；（2）在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极
6、坐标系中，A点的极坐标为2，3，射线与C2的异于极点的交点为B，已知AOB面积的最大值为423，求a的值.一、选择题题号1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 答案C D B A B B C D D B C A 二、填空题13.2 14.4041 15.43或3416.68173三、解答题17.解(1)f(x)32sin 2x1 cos 2x212sin2x61.当 2x6 2k2(k Z)，即xk6(kZ)时，f(x)min 2.此时自变量x的取值集合为x xk6，kZ.(2)由f(C)0，得 sin2C61.又C(0，)，则62C60，所以b12，d2，所以 bn 的通项公式为
7、bn2n.(2)因为anbn2(e)bn，所以annen.所以Tn1e12e2 3e3nen，所以 eTn1e2 2e33e4nen1.以上两个式子相减得，(1 e)Tnee2e3 ennen1，所以(1 e)Tneen11enen1，所以Tnnen2（n 1）en1e（1e）2.19.(1)证明如图，取A1C1的中点D，连接B1D，CD，C1CA1AA1C，CDA1C1，底面ABC是边长为2 的正三角形，ABBC2，A1B1B1C12，B1DA1C1，又B1DCDD，A1C1平面B1CD，且B1C平面B1CD，A1C1B1C.(2)解法一如图，过点D作DEA1C于点E，连接B1E.侧面AA1
8、C1C底面ABC，侧面AA1C1C平面A1B1C1，又B1DA1C1，侧面AA1C1C平面A1B1C1A1C1，B1D侧面AA1C1C，又A1C平面AA1C1C，B1DA1C，又DEA1C且B1DDED，A1C平面B1DE，B1EA1C，B1ED为所求二面角的平面角，A1B1B1C1A1C1 2，B1D3，又ED12CC122，tan B1EDB1DED3226，二面角B1A1CC1的正弦值为427.法二如图，取AC的中点O，以O为坐标原点，射线OB，OC，OA1分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，B(3，0，0)，A1(0，0，1)，B1(3，1，1)，C1(0
9、，2，1)，C(0，1，0)(3，1，0)，(0，1，1)，设m(x，y，z)为平面A1B1C的法向量，令y3，得m(1，3，3)，又(3，0，0)为平面A1C1C的一个法向量，设二面角B1A1CC1的大小为，显然为锐角，cos|cos m，|77，则 sin 427，二面角B1A1CC1的正弦值为427.20.解(1)原点到直线x3y10 的距离为12，由题得122322b2(b0)，解得b1.又e2c2a21b2a234，得a2.所以椭圆C的方程为x24y21.(2)当直线l的斜率为0 时，|MA|MB|12.当直线l的斜率不为0 时，设直线l：xmy4，点A(x1，y1)，B(x2，y2
10、)，联立xmy 4，x24y21，消去x得(m2 4)y28my 120.由64m248(m24)0，得m212，所以y1y212m24.|MA|MB|m21|y1|m21|y2|(m21)|y1y2|12（m21）m2412 13m24.由m212，得 03m24316，所以39412.综上可得：39412，即394，12.21.（1）证明：即是证明ln1xx，设()ln1g xxx，1()xgxx当01x，()0g x，()g x单调递增；当1x，()0gx，()g x单调递减；所以()g x在1x处取到最大值，即()(1)0g xg，所以ln1xx得证（2）原式子恒成立即ln1xxtex
11、在(0,)恒成立设ln1()xxxex，22ln()xx exxx，设2()lnxQ xx ex，21()20 xQ xxx ex，所以()Q x单调递增，且102Q，(1)0Q所以()Q x有唯一零点0 x，而且0200ln0 xxex，所以0200lnxxex两边同时取对数得0000lnlnlnlnxxxx易证明函数lnyxx是增函数，所以得00lnxx，所以001xex所以由()x在00,x上单调递减，在0,x上单调递增，所以0000000ln111()1xxxxxexxx于是t的取值范围是(,122.解(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，由a，得xax0，yay0，x0 xa，y0
12、ya.M在C1上，xa22cos，ya2sin，即x 2a2acos，y 2asin(为参数)，消去参数得(x2a)2y24a2(a1)，曲线C2是以(2a，0)为圆心，以2a为半径的圆.(2)法一A点的直角坐标为(1，3)，直线OA的普通方程为y3x，即3xy0，设B点坐标为(2a2acos，2asin)，则B点到直线3xy0 的距离da|23cos 2sin 23|2a2cos63，当6时，dmax(32)a，S AOB的最大值为122(32)a423，a2.法二将xcos，ysin 代入(x2a)2y24a2并整理得：4acos，令得4acos，B(4acos，)，S AOB12|OA|OB|sin AOB4acos sin3a|2sin cos 23cos2|a|sin 23cos 23|a2sin233，当12时，SAOB取得最大值(2 3)a，依题意(2 3)a423，a2.