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1、重庆市北碚区2019-2020 学年高二上学期期末学业质量调研抽测试题数学一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1.以抛物线C的顶点为圆心的圆交抛物线C于A，B两点，交抛物线C的准线于D，E两点已知，则抛物线C的焦点到准线的距离为A.2 B.4 C.6 D.8 2.在中，已知三个内角为A，B，C，满足 sinA：sinB：5：4，则A.B.C.D.3.已知曲线：，：，则下面结论正确的是A.把上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B.把上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C.把上各点的
2、横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线4.若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是A.9 B.4 C.D.5.已知P是椭圆上的动点，则P点到直线l：的距离的最小值为A.B.C.D.6.设函数，则使得成立的x的取值范围是A.B.C.D.7.若函数在单调递增，则a的取值范围是A.B.C.D.8.设集合，集合，则使得的a的所有取值构成的集合是A.B.C.D.9.若函数在区间上不是单调函数，则函数在上的极小值为A.B.C.0 D.10.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
3、，则的最大值为A.B.C.D.11.设，是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使为坐标原点，且，则双曲线的离心率为A.B.C.D.12.定义在R上的偶函数，其导函数，当时，恒有，若，则不等式的解集为A.B.C.D.二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.函数零点的个数为_14.设等比数列满足，则的最大值为 _15.已知动圆E与圆外切，与圆内切，则动圆圆心E的轨迹方程为_16.如图，在棱长为1 的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点，若平面AEF，则线段长度的取值范围是_三、解答题（本大题共6 小题，共72.0 分）17.的内角A，B，C所对的边分别为
4、a，b，c，向量与平行求A；若，求的面积18.设全集，集合，若，求，；若，求实数a的取值范围19.已知直线l：为参数以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；设点M的直角坐标为，直线l与曲线C的交点为A，B，求的值20.已知椭圆C的焦点为和，长轴长为6，设直线交椭圆C于A，B两点求：椭圆C的标准方程；弦AB的中点坐标及弦长21.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，EF交BD于点H，将沿EF折到的位置证明：；若，求五棱锥体积22.如图，已知棱柱的底面是菱形，且面ABCD，F为棱的中点，M为线段的
5、中点求证：面ABCD；判断直线MF与平面的位置关系，并证明你的结论；求三棱锥的体积1.【答案】B【解析】【分析】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力，转化思想的应用，属于中档题画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可【解答】解：设抛物线为，如图：，解得：抛物线C的焦点到准线的距离为4故选B2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，利用正弦定理得a，b，c的关系，然后由余弦定理即可得出【解答】解：sinB：5：4，由正弦定理有a：b：5：4，不妨取，则，则故选C3.【答案】D【
6、解析】【分析】本题考查三角函数的图象变换、诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可【解答】解：把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，即曲线，故选D4.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线和圆的位置关系及基本不等式的应用问题，是中档题求出圆心和半径，可得直线过圆心，即，再利用基本不等式乘法求得的最小值【解答】解：圆，即圆，它表示以为圆心、半径为2 的圆，弦长等于直径，直线经过圆心，故有，即，再由，可得：，当且仅当，即，时取等号，的最小值是9故选A5.【答案】A【解析】【分析】本题
7、考查直线与椭圆的位置关系、两平行直线间的距离等知识点，属于中档题设与直线平行的直线方程是，与椭圆方程联立并消元，令可得c的值，求出两条平行线的距离，即可求得椭圆上的动点P到直线l距离的最小值【解答】解：设与直线平行的直线方程是，与椭圆方程联立消元可得，令，可得，故与直线平行的直线方程是，与之间的距离为，与之间的距离为，椭圆上的动点P到直线l距离的最小值是故选A6.【答案】B【解析】【分析】本题考查对数不等式以及对数函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题由 题 意，可 化 为：，根 据 对 数 函 数 的 性 质，可 得，即可求出结果【解答】解：函数，则不等式可化为，可得，解得，即使得成立的x
8、的取值范围是故选B7.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题，注意运用参数分离和换元法，属于中档题求出的导数，由题意可得恒成立，设，即有恒成立【解答】解：函数的导数为：，由题意可得恒成立，即为，即有，设，即有，a的取值范围是故选C8.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，注意集合B为空集时也满足条件利用，求出a的取值，注意要分类讨论【解答】解：，当B是时，可知显然成立；当时，可得，符合题意；当时，可得，符合题意；当时，a无解；故满足条件的a的取值集合为故选：D9.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数的单调性、极值问题，
9、考查导数的应用，是一道中档题，求出函数的导数，根据函数的单调性，求出b的范围，从而求出函数的单调区间，得到是函数的极小值即可【解答】解：，函数在区间上不是单调函数，由，解得：或，由，解得：，故选A10.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题由正弦定理化简已知等式可求，进而可求B，由余弦定理，基本不等式可求，进而利用三角形面积公式即可得解【解答】解：由正弦定理知：，即，故，所以，又，由余弦定理得，故，故选：D11.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量知识的运用，考查双曲线的定义，属于中档题，利用向量确
10、定是关键取的中点A，利用，可得，从而可得，利用双曲线的定义及勾股定理，可得结论【解答】解：取的中点A，则，是的中点，A是的中点，故选：D12.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性及利用导数研究函数的单调性，属于较难题根据函数为偶函数，则也为偶函数，利用导数可以判断在为减函数，则不等式转化为求解即可【解答】解：是定义在R上的偶函数，时，恒有，在为减函数，为偶函数，为偶函数，即，即，解得则不等式的解集为故选A13.【答案】4【解析】【分析】本题主要考查余弦函数，对数函数的图象，函数的零点与方程根的关系，属于中档题在同一直角坐标系中作出和的图象，由图可得当时，和的图象有 4 个交点，由此可
11、得函数零点的个数【解答】解：在同一直角坐标系中画出函数，的图象，如图所示：函数的零点，即方程的实数根，结合图可知当时，函数和的图象的交点个数为4，即的零点有 4 个故答案为414.【答案】64【解析】【分析】本题考查数列的通项，数列与函数相结合，属于中档题求出数列的公比与首项，化简，然后求解最值【解答】解：等比数列满足，设公比为q，可得，解得，解得，则，当或时，取得最大值：，故答案为6415.【答案】【解析】【分析】本题考查两圆的位置关系、双曲线的定义以及标准方程，属于一般题设动圆的半径为r，由相切关系建立圆心距与r的关系，进而得到关于圆心距的等式，结合双曲线的定义即可解决问题【解析】解：由圆
12、，圆心，半径为，圆，圆心，半径为，设动圆圆心M的坐标为，半径为r，则，由双曲线的定义知，点M的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，且，双曲线的方程为：故答案为：16.【答案】【解析】【分析】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属难题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置分别取棱、的中点M、N，连接MN，易证平面平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得【解答】解：如下图所示：分别取棱、的中点M、N，连接MN，连接，、N、E、F为所在棱的中点，又平面AEF，平面AEF，平面AEF；
13、，四边形为平行四边形，又平面AEF，平面AEF，平面AEF，又，平面平面AEF，是侧面内一点，且平面AEF，则P必在线段MN上，在中，同理，在中，求得，为等腰三角形，当P在MN中点O时，此时最短，P位于M、N处时最长，所以线段长度的取值范围是故答案为17.【答案】解：因为向量与平行，所以，由正弦定理可知：因为，所以因为A为的内角，所以，由余弦定理可得，可得，解得负值舍去，所以的面积为【解析】本题考查平面向量、余弦定理以及正弦定理的应用，三角形面积的求法，考查计算能力利用向量的平行，列出等量关系式，通过正弦定理求解A；利用A，以及，通过余弦定理求出c，然后求解的面积18.【答案】解：集合，或，时
14、，所以，或若则，分以下两种情形：时，则有，时，所以，解得，综合上述，所求a的取值范围为【解析】本题考查集合的基本运算，补集以及并集的求法，考查分类讨论思想的应用，属于基础题利用已知条件求出A的补集，然后直接求解即可分类讨论B是否是空集，列出不等式组求解即可19.【答案】解：，令，故C的直角坐标方程为；直线l：为参数，显然M在直线l上，把l的参数方程代入可得，故【解析】本题考查简单曲线的极坐标方程及直线的参数方程，属于中档题曲线的极坐标方程即，根据极坐标和直角坐标的互化公式得，即得它的直角坐标方程；把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程即可求解20.【答案】解：椭圆C的焦点为和，长轴长为6，椭圆的
15、焦点在x轴上，椭圆C的标准方程设，AB线段的中点为，由，消去y，得，弦AB的中点坐标为，【解析】本题主要考查椭圆方程的求法，考查弦AB的中点坐标及弦长解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用，属于中档题由椭圆C的焦点为和，长轴长为6，能求出椭圆C的标准方程；设，AB线段的中点为，由，得，故，由此能求出弦AB的中点坐标及弦长21.【答案】证明：菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，且，将沿EF折到的位置，则，；若，则，满足，则为直角三角形，且，又，即底面ABCD，即是五棱锥的高底面五边形的面积，则五棱锥体积【解析】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的
16、判断，以及空间几何体的体积，根据线面垂直的判定定理以及五棱锥的体积公式是解决本题的关键本题的难点在于证明是五棱锥的高考查学生的运算和推理能力根据直线平行的性质以菱形对角线垂直的性质进行证明即可根据条件求出底面五边形的面积，结合平行线段的性质证明是五棱锥的高，即可得到结论22.【答案】解：连接AC、BD交于点O，再连接OM，中，OM是中位线，且，矩形中，且，且，可得四边形MOAF是平行四边形，平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD；-分平面，证明如下在底面菱形ABCD中，又平面ABCD，平面ABCD，、BD是平面内的相交直线平面，平面，-分过点B作，垂足为H，平面ABCD，平面ABCD，、是平面内的相交直线平面，在中，因此，三棱锥的体积-分【解析】连接AC、BD交于点O，再连接OM，利用三角形中位线定理结合平行四边形的性质，得四边形MOAF是平行四边形，从而，所以平面ABCD；菱形的对角线互相垂直，得，由平面ABCD，得，所以平面，再结合，得平面；过点B作于H，可证出平面，从而BH是三棱锥的高，算出的面积并结合锥体体积公式，可得三棱锥的体积本题在特殊四棱柱中，证明线面平行、线面垂直，并求三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题