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1、精品教案可编辑章末综合测评(二)圆锥曲线与方程(时间 120 分钟，满分160 分)一、填空题(本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分.请把答案填写在题中横线上.)1.双曲线x216y291 的两条渐近线的方程为_.【解析】由双曲线方程可知a4，b3，所以两条渐近线方程为y34x.【答案】y34x2.(2015上海高考)已知(2,0)是双曲线x2y2b21(b0)的一个焦点，则b_.【解析】由题意知c2，a 1，b2c2a23，所以b3.【答案】33.若方程x25ky2k31 表示椭圆，则k的取值范围为_.【解析】由题意可知5k0，k30，5kk3，解得 3k5 且k 4.【答案】(3
2、,4)(4,5)4.以y3 为准线的抛物线的标准方程为_.【解析】设抛物线的标准方程为x2 2py(p0)，则p23，p 6，则抛物线方程为x2 12y.【答案】x2 12y5.(2015上海高考)抛物线y22px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p_.精品教案可编辑【解析】依题意，点Q为坐标原点，所以p2 1，即p2.【答案】26.椭圆x29y221 的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF14，则PF2_，F1PF2的大小为 _.【解析】由椭圆的定义知PF1PF22a 2 3 6，因为PF1 4，所以PF22.在PF1F2中，cos F1PF2PF21PF22F1F222PF1
3、PF212，F1PF2 120.【答案】2 120 7.已知A(0，1)、B(0,1)两点，ABC的周长为6，则ABC的顶点C的轨迹方程是_.【解析】2cAB2，c1，CACB624 2a，顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(A、B、C不共线).因此，顶点C的轨迹方程y24x231(y2).【答案】y24x231(y2)8.(2015天津高考改编)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x 2)2y23 相切，则双曲线的方程为_.【导学号：24830061】【解析】由双曲线的渐近线bxay0 与圆(x2)2y23 相切得2ba2b23，由ca2
4、b22，解得a1，b3.【答案】x2y2319.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(5，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是_.精品教案可编辑【解析】F1(5，0)，PF1的中点坐标为(0,2)，P的坐标为(5，4).又双曲线的一个焦点为F1(5，0)，另一个焦点为F2(5，0).2a|PF1PF2|55216 552422.a1.又c5，b2c2a24.双曲线方程为x2y241.【答案】x2y24110.已知抛物线C：x212y，过点A(0，1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是 _.【解析】显然t 0，直线AB的方程为
5、y4tx1，代入抛物线方程得2tx24xt0.由题意16 8t20，解得t2.【答案】(，2)(2，)11.若点O和点F分别为椭圆x24y23 1 的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OPFP的最大值为 _.【解析】椭圆的左焦点F为(1,0)，设P(x，y)，OPFP(x，y)(x1，y)x(x1)y214x2x314(x2)222x 2，当x2 时，OPFP有最大值6.【答案】612.一动圆与两圆：x2y21 和x2y2 6x50 都外切，则动圆圆心的轨迹为_.【解析】x2y21 是以原点为圆心，半径为1 的圆，x2y26x50 化为标准精品教案可编辑方程为(x3)2y24，是圆心为A
6、(3,0)，半径为 2 的圆.设所求动圆圆心为P，动圆半径为r，如图，则POr1PAr2?PAPO1AO 3，符合双曲线的定义，结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.【答案】双曲线的一支13.(2015山东高考)过双曲线C：x2a2y2a21(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P，若点P的横坐标为2a，则C的离心率为 _.【解析】先表示出直线的方程和点P的坐标，再将点P的坐标代入直线的方程可得关于a，b，c的方程，化简可以求出离心率.如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为ba，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为yba(xc).因为点P的横坐标为2a
7、，代入双曲线方程得4a2a2y2b21，化简得y3b或y3b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，3b)，代入直线方程得3bba(2ac)，化简可得离心率eca23.【答案】2314.已知直线yk(x 2)(k0)与抛物线C：y2 8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若FA2FB，则k _.精品教案可编辑【解析】过A、B作抛物线准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，由抛物线定义可知，AA1AF，BB1BF，又2FBFA，AA12BB1，即B为AC的中点.从而yA2yB，联立方程组ykx2，y28x，?消去x得y28ky16 0，yAyB8k，yAyB16?3yB8k，2y2B 16，
8、消去yB得k223.【答案】223二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分14 分)已知抛物线C1的顶点在坐标原点，它的焦点为双曲线C2：x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点F，若抛物线C1与双曲线C2的一个交点是M23，263.(1)求抛物线C1的方程及其焦点F的坐标；(2)求双曲线C2的方程及离心率e.【解】设抛物线C1的方程为y22px(p0)，因为图象过点M23，263，则有26322p23，所以p2，则抛物线C1的方程为y24x，焦点F的坐标为(1,0).(2)由双曲线C2过点M23，263以及焦点为(1,0)
9、和(1,0)，由双曲线的定义可知精品教案可编辑2a231226322312263223，所以a13，b289，所以双曲线C2的方程为9x298y2 1，离心率e3.16.(本小题满分14 分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为 213.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为 73，求椭圆和双曲线的方程.【解】焦点在x轴上，椭圆为x2a2y2b21(ab0)，且c13.设双曲线为x2m2y2n21(m0，n0)，ma4.因为e双e椭73，所以am73，解得a7，m 3.因为椭圆和双曲线的焦半距为13，所以b236，n24.所以椭圆
10、方程为x249y236 1，双曲线方程为x29y241.焦点在y轴上，椭圆方程为x236y249 1，双曲线方程为y29x24 1.17.(本小题满分14 分)如图 1 所示，已知斜率为1 的直线l过椭圆x24y21 的右焦点F，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长.图 1【解】设A、B两点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，由椭圆方程知a24，b21，c23，所以F(3，0)，直线l的方程为yx3.将其代入x24y24，化简整理，精品教案可编辑得 5x283x80.所以x1x2835，x1x285.所以AB1k2|x1x2|1k2x1x224x1x22832 4 58585.18.(
11、本小题满分16 分)如图 2，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(21)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.图 2(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，求证：k1k21.【解】(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知，ca22，2a2c4(21)，所以a22，c2.又a2b2c2，因此b2.故椭圆的标准方程为x28y241.由题意设等轴双曲线的标准方程为x2m2y2m21(m 0)，因为
12、等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m2，因此双曲线的标准方程为x24y24 1.(2)证明：设P(x0，y0)，则k1y0 x02，k2y0 x02.精品教案可编辑因为点P在双曲线x2y2 4 上，所以x20y20 4.因此k1k2y0 x02y0 x02y20 x2041，即k1k21.19.(本小题满分16 分)已知直线y12x2 和椭圆x2a2y2b21(ab0)相交于A，B两点，M为AB的中点，若AB25，直线OM的斜率为12(O为坐标原点)，求椭圆的方程.【解】由y12x2，x2a2y2b21，消去y，整理得(a24b2)x28a2x16a2 4a2b20.设A(x1，y1)，B(x
13、2，y2)，则由根与系数的关系，得x1x28a2a24b2，x1x216a24a2b2a24b2.又设AB的中点M(xM，yM)，则xMx1x224a2a24b2，yM12xM28b2a24b2.直线OM的斜率kOMyMxM12，2b2a212，a24b2，从而x1x28a2a24b24，x1x216a24a2b2a24b282b2.又 AB 25，114x1x224x1x2 25，即5216 482b2 25，解得b2 4，a24b216，故所求椭圆的方程为x216y241.精品教案可编辑20.(本小题满分16 分)(2016盐城高二检测)设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为
14、F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知AB32F1F2.(1)求椭圆的离心率.(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，MF222.求椭圆的方程.【解】(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)，由AB32F1F2，可得a2b23c2，又b2a2c2，则c2a212.所以椭圆的离心率e22.(2)由(1)知a22c2，b2c2，故椭圆方程为x22c2y2c21.设P(x0，y0)，由F1(c,0)，B(0，c)，有F1P(x0c，y0)，F1B(c，c)，由已知，有F1PF1B0，即(x0c)cy0c0.又c 0，故有x0y0c0.因为点P在椭圆上，故x202c2y20c21.由和可得3x20 4cx00，而点P不是椭圆的顶点，故x04c3，代入得y0c3，即点P的坐标为4c3，c3.设圆的圆心为T(x1，y1)，则x14c30223c，y1c3c223c，进而圆的半径rx102y1c253c.由已知，有TF22MF22r2，又MF2精品教案可编辑22，故有c2c32 02c32859c2.解得c23.所以所求椭圆的方程为x26y231.