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1、精品教案可编辑章末综合测评(二)圆锥曲线与方程(时间 120 分钟，满分160 分)一、填空题(本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分请把答案填在题中横线上)1抛物线y18x2的准线方程是_【解析】把抛物线方程化为标准形式得x2 8y，所以抛物线的准线方程为y2.【答案】y22如果方程x2a2y2a61 表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是_【解析】焦点在x轴上，则标准方程中a2a 6，解得a3 或a0，a60，所以a3 或 6a3 或 6a0)相切，则r等于 _【解析】双曲线x26y231 的渐近线方程为y22x，与圆(x3)2y2r2(r0)相切，得r3.【答案】34若F1
2、，F2是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)与椭圆x225y291 的共同的左、右焦点，点P是两曲线的一个交点，且PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是_.【导学号：09390068】【解析】不妨设PF1PF2，则PF1F1F2 8，由双曲线及椭圆的定义，可知PF1PF22a，PF1PF210，即8PF22a，8PF210，得 2a6，a3.精品教案可编辑又a2b216，所以b27，故双曲线的渐近线方程为y73x.【答案】y73x5设抛物线y2 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_【解析】易知抛物线y28x的准线x 2 与x轴的交
3、点为Q(2,0)，于是，可设过点Q(2,0)的直线l的方程为yk(x2)(由题可知k是存在的)，联立y28x，ykx 2?k2x2(4k28)x4k2 0.当k0 时，易知符合题意；当k0时，其判别式为(4k28)216k4 64k2 64 0，可解得1k 1，且k 0，综上可知，1k 1.【答案】1,16(2015天津高考改编)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y247x的准线上，则双曲线的方程为_【解析】由双曲线的渐近线ybax过点(2，3)，可得3ba 2.由双曲线的焦点(a2b2，0)在抛物线y247x的准线x7上，可得a2
4、b27.由解得a2，b3，所以双曲线的方程为x24y231.【答案】x24y2317设F1，F2为曲线C1：x26y221 的焦点，P是曲线C2：x23y21 与C1的一个交点，则PF1F2的面积为 _【解析】由题意知，|F1F2|2624，设P点坐标为(x，y)精品教案可编辑由x26y221，x23y21，得x322，y22.则SPF1F212|F1F2|y|12 4222.【答案】28已知抛物线y22px(p0)与双曲线x2a2y2b2 1 有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为_【解析】由抛物线的定义知，AF2c，b2a2c.c2a22ac，e2 2e10.又
5、e1，e21.【答案】219直线l过抛物线y22px(p0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是 8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是_【解析】如图，分别过点A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为点M，N，由抛物线的定义知，AMBNAFBFAB8.又四边形AMNB为直角梯形，故AB中点到准线的距离即为梯形的中位线的长度 4，而抛物线的准线方程为xp2，所以 42p2，即p4，所以抛物线的方程是y28x.【答案】y2 8x精品教案可编辑10 已知抛物线y2px2(p0)的焦点为F，点P1，14在抛物线上，过点P作PQ垂直抛物线的准线，垂足为点Q，若抛物线的准线与对称轴相交
6、于点M，则四边形PQMF的面积为 _【解析】由点P1，14在抛物线上，得p18，故抛物线的标准方程为x24y，点F(0,1)，准线为y 1，FM2，PQ11454，MQ1，则直角梯形PQMF的面积为12542 1138.【答案】13811 已知椭圆方程x24y231，双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为_【解析】因为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，所以c2，a1，所以双曲线的离心率为2.【答案】212 已知长为12的线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且AP22PB
7、，则点P的轨迹C的方程为 _【解析】设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，AP22PB，又AP(xx0，y)，PB(x，y0y)，所以xx022x，y22(y0y)，得x0 122x，y0(12)y，因为|AB|12，即x20y20(12)2，所以122x2(1 2)y2(12)2，化精品教案可编辑简得x22y21.点P的轨迹方程为x22y21.【答案】x22y2113 过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点若AF3，则BF_.【解析】由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)又|AF|3，由抛物线定义知，点A到准线x 1 的距离为3，点A的横坐标为 2.将x2 代入y
8、24x，得y2 8，由图知，y22，A(2,22)，直线AF的方程为y22(x1)由y22x 1，y2 4x，解得x12，y2或x2，y22.知点B的坐标为12，2，BF12(1)32.【答案】3214 已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32.双曲线x2y21 的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为 _【解析】因为椭圆的离心率为32，所以eca32，c234a2a2b2，所以b214精品教案可编辑a2，即a24b2.双曲线的渐近线方程为yx，代入椭圆方程得x2a2x2b21，即x24b2x2b25x24b21，所以x245b2，x2
9、5b，y25b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为25b，25b，所以四边形的面积为425b25b165b216，所以b25，a2 20，所以椭圆方程为x220y251.【答案】x220y251二、解答题(本大题共6 小题，共90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14 分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为yx，且过点(4，10)(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求MF1MF2.【解】(1)双曲线的一条渐近线方程为yx，设双曲线方程为x2y2(0)把(4，10)代入双曲线方程得42(10)2，6，所求
10、双曲线方程为x2y2 6.(2)由(1)知双曲线方程为x2y26，双曲线的焦点为F1(23，0)，F2(23，0)点M在双曲线上，32m26，m23.MF1MF2(233，m)(233，m)(3)2(23)2m2 330.16(本小题满分14 分)已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F(1,0)的距离减精品教案可编辑去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)设直线l交曲线C于A，B两点，线段AB的中点为D(2，1)，求直线l的一般式方程.【导学号：09390069】【解】(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：x 12y2x1(x0)，化简得y24x(x
11、0)即曲线C的方程为y24x(x0)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y214x1，y224x2，得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，易知l的斜率k存在，故(y1y2)y1y2x1x24，即 2k4，所以k 2，故l的一般式方程为2xy30.17 (本小题满分14 分)如图 1，抛物线关于x轴对称，它的顶点是坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上图 1(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率精品教案可编辑【解】(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px(p0)点P
12、(1,2)在抛物线上，222p 1，解得p2.故所求抛物线的方程是y2 4x，准线方程是x 1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPAy12x11(x1 1)，kPBy22x11(x2 1)PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，kPAkPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y214x1，y224x2，y1214y211y2214y221，y12(y22)，y1y2 4.，得kABy2y1x2x14y1y2 1(x1x2)18(本小题满分16 分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x2a2y2b21 的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂
13、直，抛物线与双曲线交于点P32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程【解】依题意，设抛物线的方程为y22px(p0)，点P32，6 在抛物线上，62p32，解得 2p4，所求抛物线的方程为y24x.精品教案可编辑双曲线的左焦点在抛物线的准线x 1 上，c1，则a2b21，又点P32，6 在双曲线上，94a26b2 1，解方程组a2b21，94a26b21，得a214，b234或a2 9，b2 8舍去.所求双曲线的方程为4x243y21.19 (本小题满分16 分)如图 2 所示，已知直线l：ykx2 与抛物线C：x2 2py(p0)交于A，B两点，O为坐标原点，OAOB(4，12)图 2精品教案可
14、编辑(1)求直线l和抛物线C的方程；(2)抛物线上一动点P从点A到点B运动时，求ABP面积的最大值【解】(1)由ykx 2，x2 2py，得x22pkx 4p0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2 2pk，y1y2k(x1x2)4 2pk24.因为OAOB(x1x2，y1y2)(2pk，2pk2 4)(4，12)，所以 2pk 4，2pk24 12，解得p1，k2.所以直线l的方程为y2x2，抛物线C的方程为x2 2y.(2)设点P(x0，y0)，依题意，抛物线过点P的切线与直线l平行时，ABP的面积最大设切线方程是y 2xt，由y2xt，x2 2y，得x24x2t0，42 42
15、t0，t 2.此时，点P到直线l的距离为两平行线间的距离，d|2 2|5455.由y2x 2，x2 2y，得x24x 40，AB1k2x1x224x1x212242 4 4410.ABP面积的最大值为1241045582.20(本小题满分16 分)已知椭圆C：x2a2y2b2 1(ab0)的离心率为22，以原点为精品教案可编辑圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy20 相切(1)求椭圆C的方程；(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足OAOBtOP(O为坐标原点)，当|PAPB|253时，求实数t的取值范围【解】(1)由题意知，eca22，所以e2c2
16、a2a2b2a212，即a22b2.又因为b2111，所以a22，b21.故椭圆C的方程为x22y21.(2)由题意知，直线AB的斜率存在设AB：yk(x2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，由ykx2，x22y21，得(12k2)x28k2x8k22 0.64k44(2k21)(8k22)0，k212，x1x28k212k2，x1x28k2212k2.OAOBtOP，(x1x2，y1y2)t(x，y)，xx1x2t8k2t12k2，yy1y2t1tk(x1x2)4k4kt12k2.点P在椭圆上，8k22t212k222 4k2t212k222，精品教案可编辑 16k2t2(12k2)|PAPB|253，1k2|x1x2|253，(1k2)(x1x2)2 4x1x2209，(1k2)64k41 2k2248k2212k2209，(4k2 1)(14k213)0，k214，14k212.16k2t2(12k2)，t216k212k28812k2，2t263或263t2，实数t的取值范围为 2，263263，2.