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1、2011 年高考数学总复习提能拔高限时训练：等差数列与等比数列的综合问题（练习详细答案）大纲人教版-1-/7 提能拔高限时训练61 等差数列与等比数列的综合问题一、选择题1.等比数列 an 的公比为 q,则“q1”是“对于任意自然数n,都有 an+1an”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件解析:当 a10 时,条件与结论均不能由一方推出另一方.答案:D 2.若 a,b,c是互不相等的实数,且 a,b,c成等差数列,c,a,b成等比数列,则 abc 等于()A.(-2)14 B.123 C.234 D.(-1)13解析:由已知得,22bcacab由
2、消b,得 2a2-ac-c20.abc,c-2a.代入,得ab21,abc(-2)14.答案:A 3.互不相等的三个正数x1、x2、x3成等比数列,且点P1(logax1,logby1)、P2(logax2,logby2)、P3(logax3,logby3)三点共线(a 0 且 a1,b 0 且 b1),则 y1、y2、y3()A.成等差数列,但不成等比数列B.成等比数列而不成等差数列C.成等比数列也可能成等差数列D.既不成等比数列又不成等差数列解析:P1、P2、P3三点共线,3121PPPP与共线.(logax2-logax1)(logby3-logby1)-(logax3-logax1)(
3、logby2-logby1)0,即0loglogloglog12131312?yyxxyyxxbaba.x1、x2、x3成等比数列,21312,qxxqxx(0 q 1,q 为公比).0loglog2loglog1213?yyqyyqbaba.logaq0,21213)(loglogyyyybb,2011 年高考数学总复习提能拔高限时训练：等差数列与等比数列的综合问题（练习详细答案）大纲人教版-2-/7 即21213)(yyyy.y22y1y3.y1、y2、y3成等比数列,当 y1y2y30 时也有 y22y1y3.答案:C 4.已知-9,a1,a2,-1 四个实数成等差数列,-9,b1,b2
4、,b3,-1 五个实数成等比数列,则 b2(a2-a1)等于()A.8 B.-8 C.8 D.89解析:公差 d31(-1)-(-9)38,a2-a1d38,b22(-1)(-9)9,又有 b2-9q20,b2-3,从而 b2(a2-a1)(-3)(38)-8.答案:B 5.设等差数列 an 的公差 d 不为 0,a19d,若 ak是 a1与 a2k的等比中项,则 k 等于()A.2 B.4 C.6 D.8 解析:由题意得ak2a1a2k,即 9d+(k-1)d 29d 9d+(2k-1)d,得 k4 或 k-1(舍去).答案:B 6.设 Sn是等差数列 an的前 n 项和,已知 S636,S
5、n324,Sn-6144,则 n 等于()A.15 B.16 C.17 D.18 解析:Sn324,Sn-6144,Sn-Sn-6an-5+an-4+an180.又S6a1+a2+a636,a1+ana2+an-1 a6+an-5,6(a1+an)36+180216a1+an 36.由324182)(1nnaaSnn,有 n18.答案:D 7.已知集合Anx|2n x2n+1,且 x7m+1,m、nN*,则 A6中各元素之和为()A.792 B.890 C.891 D.990 解析:由 A6得 64x 128,则有 64 7m+1 128,得 9m 18,易知A6中有 9 个元素且构成等差数列
6、,首项为 71,第 9 项为 127,从而所求元素之和为8919212771.答案:C 8.数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,的第1 000 项等于()A.42 B.45 C.48 D.51 解析:将数列分段,第 1 段 1 个数,第 2 段 2 个数,第 n 段 n 个数,设 a1 000k,则 a1 000在第 k个数段,由于第 k 个数段共有k 个数,则由题意k 应满足 1+2+(k-1)1 0001+2+k,解2011 年高考数学总复习提能拔高限时训练：等差数列与等比数列的综合问题（练习详细答案）大纲人教版-3-/7 得 k45.答案:B 9.下列命
7、题中正确的是()A.若数列 an的前 n 项和是 Snn2+2n-1,则an 为等差数列B.若数列 an的前 n 项和是 Sn3n-c,则 c1 是an为等比数列的充要条件C.常数列既是等差数列又是等比数列D.等比数列 an 为递增数列的充要条件是公比q1 解析:A项不正确.因为,2,12,1,2nnnan从第二项起成等差数列,而第一项不适合.C 项不正确.因为零数列是等差数列而不是等比数列.D 项不正确.因为当 a10,q 1 时,数列 an 是递减的.答案:B 10.一套共 7 册的书计划每两年出一册,若出完全部各册书公元年代之和为13 958,则出齐这套书的年份是()A.1994 B.1
8、996 C.1998 D.2000 解析:设出齐这套书的年份是n,则从出第一套书到出齐这套书的年份成一等差数列an,a1n-12,d 2,S7 13 958,139582267)12(7 n.n 2 000.答案:D 二、填空题11.数 列 an 是 等 比 数 列,下 列 四 个 命 题:an2、a2n 是 等 比 数 列;lnan 是 等 差 数列;na1、|an|是 等 比 数 列;kan、an+k(k 0)是 等 比 数 列.正 确 的 命 题 是_.解析:an必须是正数才有意义;an+k 在公比 q 为 1 时才成立.答案:12.已知 a、b、c 成等比数列,如果 a、x、b 和 b
9、、y、c 都成等差数列,则ycxa_.解析:baq,c aq2,)1(21)(21),1(21)(21qaqcbyqabax,2)1(41)1(21)1(2122222qqaqqaqqaxycxayycxa.答案:2 13.已知 an 是等差数列,a4+a66,其前 5 项和 S510,则其公差d_.解析:由 a4+a6 6,得 a53,2011 年高考数学总复习提能拔高限时训练：等差数列与等比数列的综合问题（练习详细答案）大纲人教版-4-/7 又102)(5515aaS,a11.4d a5-a1 2,21d.答案:2114.对于大于或等于2 的自然数m的 n 次幂进行如图方式的“分裂”.仿此
10、,52的“分裂”中最大的数是_,若 m3的“分裂”中最小的数是211,则 m 的值为_.解析:521+3+5+7+9,52的“分裂”中最大的数是9.m3211+(211+2)+211+2(m-1)211m+m(m-1),m2-m-210 0,m15 或-14(舍去),m 15.答案:9 15 三、解答题15.数列 an 中,a1 2,an+1an+cn(c是常数,n 1,2,3,),且a1,a2,a3成公比不为1 的等比数列.(1)求 c 的值;(2)求 an的通项公式.解:(1)a12,a22+c,a32+3c,因为 a1,a2,a3成等比数列,所以(2+c)22(2+3c),解得 c0 或
11、 c2.当 c0 时,a1 a2 a3,不符合题意舍去,故 c2.(2)当 n2时,由于 a2-a1c,a3-a22c,an-an-1(n-1)c,所以 an-a11+2+3+(n-1)ccnn2)1(.又 a12,c 2,故 an2+n(n-1)n2-n+2(n 2,3,).当 n1 时,上式也成立,所以 ann2-n+2(n 1,2,).16.(2009河南南阳高三第一学期期末测试,理 22）数列 an的前 n 项和为 Sn,且 Snn2+2n,数列bn 中 bnN*，b11，bn是an中的第 bn-1项（n2).(1)求 an的通项公式；（2）证明存在t,使bn+t 为等比数列；2011
12、 年高考数学总复习提能拔高限时训练：等差数列与等比数列的综合问题（练习详细答案）大纲人教版-5-/7（3）证明bn+12bn;211121nbbb.解:（1）当 n 1时，S1a11+2 3,当 n2 时，anSn-Sn-1n2+2n-(n-1)2-2(n-1)2n+1,综上，知an 2n+1,n N*.(2)证明：bnabn-12bn-1+1,bn+12(bn-1+1).存在常数t 1,使得 bn+1是以 2 为首项，2 为公比的等比数列.(3)证法一:由(2)知 bn22n-1,bn2n-1.bn+1-2bn 2n+1-1-(22n-2)10.bn+1 2bn.记nnbbbT11121,则
13、nnbbbT2121212121.nnnnnbbbbbbbbTT21)211()211()211(121123121.又 bn0,由 bn+12bn，知nnbb2111,故2222,2112111nnnnbbTbbT.证法二:将 bn2n-1 代入 Tn并利用 2n-12n-1(n2),即121121nn(n2).当 n2 时,12112112112111132121nnnbbbT2)21(11)21(121121121212111112nnn.当 n1 时,Tn 12.综上,Tn2.教学参考例题志鸿优化系列丛书【例 1】已知 an 是等比数列，a12,a318;bn是等差数列，b12,b1+
14、b2+b3+b4a1+a2+a320.(1)求数列 bn 的通项公式；（2）求数列 bn的前 n 项和 Sn的公式；（3）设 Pnb1+b4+b7+b3n-2,Qnb10+b12+b14+b2n+8,其中 n1,2,试比较Pn与 Qn的大小，并证明你的结论.2011 年高考数学总复习提能拔高限时训练：等差数列与等比数列的综合问题（练习详细答案）大纲人教版-6-/7 解:(1)设an的公比为q,由 a3a1q2,得9132aaq,q 3.当 q-3 时,a1+a2+a32-6+18 1420,这与 a1+a2+a320 矛盾,故舍去.当 q3 时,a1+a2+a32+6+182620,故符合题意
15、.设数列 bn的公差为d,由 b1+b2+b3+b426,得2623441db.又 b12,解得 d3,所以 bn3n-1.(2)nnbbnSnn21232)(21.(3)当 n20 时,PnQn;当 n19 时,PnQn;当 n18 时,PnQn.证明如下:b1,b4,b7,b3n-2组成以 3d 为公差的等差数列,所以nndnnnbPn252932)1(21?.b10,b12,b14,b2n+8组成以 2d 为公差的等差数列,b1029,所以nndnnnbQn26322)1(210?.所以)19(23)263()2529(22nnnnnnQPnn.所以对于正整数n,当 n20 时,Pn Q
16、n;当 n19 时,PnQn;当 n18 时,PnQn.【例 2】在公差为 d(d0)的等差数列an和公比为q 的等比数列 bn 中,已知 a1b11,a2b2,a8b3.(1)求 d、q 的值;(2)是否存在常数a、b 使得对于一切自然数n 都有 an logabn+b 成立?若存在,求出 a 和 b;若不存在,请说明理由.解:(1)a1b11,a2 b2,a8b3,.71,12qdqd0,15,6dqdq或(舍去）.（2）存在.假设存在a、b 使得 an logabn+b 对一切 nN*恒成立，则有1+5(n-1)loga6n-1+b,即(5-loga6)n-(4+b-loga6)0.上式对任意nN*恒成立，.06log4,06log5aab2011 年高考数学总复习提能拔高限时训练：等差数列与等比数列的综合问题（练习详细答案）大纲人教版-7-/7 解得516a,b 1.