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1、用心 爱心 专心1 定积分俗话说“买卖两心眼儿”，这句话到底有无道理？我们现在就来研究这个问题在经济生活中，消费者和生产者是两大群体，影响消费者的需求、生产者的供给的主要因素是价格如果不考虑价格以外的其他因素，需求量、供给量与价格的关系是：商品价格越低，需求量越大；商品价格越高，需求量越小；商品价格越高，供给量越大；商品价格越低，供给量越小在市场条件下，价格并不随时受需求影响，而是在一段时间内呈现固定状态，它有一个固定的值，这个固定的值就是这一段时间内的实际价格因此，“买卖两心眼儿”不过是一种心理上的感悟罢了下面我们就来研究在一段时间内购买、卖出一定数量的商品，买价、卖价与实际价格的关系1消费
2、者剩余在经济学上，消费者剩余是指消费者对一定量的商品或服务最多愿意支付的价钱与实际支付的价钱之差，它是对消费者从交易中所得利益的一种货币度量设消费者对商品的需求函数（即消费者愿意或能够买进的某商品的数量关于该商品价格的函数）为()pD q(0)q（经济学惯常以横轴表示商品数，以纵轴表示价格，p为价格，q为数量）根据需求量与价格的关系，可知函数()(0)pD qq 是减函数一般地，需求函数()pD q图象上一点()qp，的含义是：消费者购买q单位商品时，他最多愿意为第q单位商品支付p单位货币，这正如变速直线运动的时间速度曲线()vf t上一点()tv，表示物体在第t单位时刻的瞬时速度v一样，物体
3、从开始(0)t至第0t单位时刻的位移为00()tf t dt类似地，消费者购买q单位商品，他最多愿意支付的金额为0()qD q dq，如果此时市场价格为，那么实际支付的金额为0qpqpdq，两者的差额就是消费者剩余，即消费者剩余0()qD qp dq2生产者剩余在经济学上，生产者剩余是指生产者出售一定量商品或服务实际获得的价钱与生产者可以接受的最低价钱之差，是对生产者从交易中所得利益的一种货币度量设生产者对商品的供给函数（可类比需求函数理解）为()(0)pS qq根据供给量与价格的关系，可知函数()(0)pS qq是增函数一般地，供给函数()pS q图象上一点()qp，的含义是：生产者出售q单
4、位商品时，他愿意从第q单位商品至少获得p单位货币 从而根据定积分定义可知，生产者出售q单位商品，他愿意获得的最少金额为0()qS q dq，如果此时市场价格为，那么实际获得的金额为用心 爱心 专心2 0qpqpdq两者的差额就是生产者剩余，即生产者剩余0()qpS q dq例1如 图1，A品 牌 的 摩 托 车 的 需 求 函 数 是2005(02005)pqq，售价为1800 元/台，求消费者剩余分析：由消费者剩余公式可知，求出q是解本题的关键解：由已知，摩托车的实际价格为1800，即1800p把1800p代入2005pq，得205q所以消费者剩余是2052205001(20051800)2
5、0521012.502qdqqq（元）答：消费者剩余是21012.50元点评：对本例的实际意义解析如下：摩托车的售价为1800 元/台时，消费者的需求量为205 台其中，第 1204 台摩托车的购买者总计便宜了21012.50元；第 205 台摩托车的购买者既没占便宜也没吃亏；第2062004 台的摩托车的购买者都要吃亏；而且越往后越吃亏同学们可试着考虑：摩托车的售价为2005 元时，有人买吗？例 2 型号的大型民用飞机的供给函数是2(0120)()120()qqS qqq，销售单价为a亿元/架(120)a，求生产者剩余解：如图 2 所示，由已知，飞机的实际价格为pa因为120a时，120q，
6、()S qq，所以pa时，qa所以生产者剩余为000()()qaapS q dqpdqS q dq212000120120anqadqdqqdq3 120200120113602aaaqqq221480072002aa2124002a（亿元）用心 爱心 专心3 答：生产者剩余为2124002a亿元萝卜的体积现在让我们利用积分来计算体积基本上和求面积的情况是相同的，需要考虑“微小的体积变化”比如，让我们来求萝卜的体积如图1，设关于萝卜的x轴，萝卜的范围设为axb这时，以和x轴垂直的平面将萝卜切成薄片，萝卜就被分割成了“宽度微小的图形”在坐标x的点上切分萝卜，设函数()V x为从a到x范围内的萝卜
7、的一部分体积关于x的函数 并设函数()S x为坐标x的点上的截面积关于x的函数 这时，从点x开始增加x时，体积的增量是点x和点()xx的各自的相应截面所夹的厚度为x的微小部分它的体积增量V是：()()VV xxV x图 2 是将体积的增量单独抽出的图形“切面的面积”在点x的一侧是()S x，在点()xx一侧是()S xx，两者稍微有些不同如果将厚度切得很薄很薄，左右截面的形状就几乎相同，它们的面积也变得几乎相等即厚度越薄，左右的截面就越一致，可以将这个微小部分看作是圆柱当x很小的时候，这个微小部分的体积增量V等于底面积厚度即()VS xx从 式，可 知 对 应 于x的 微 小 变 化x体 积V的 变 化 率 是()()()VV xxV xS xxx这里0 x，得()()VxS x可知将体积微分得到的是面积这样，反过来“在从a到b的范围内积分()S x”就可求出体积