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1、福建省厦门外国语学校2020 届高三上学期12 月月考试题数学（理）一选择题（每小题只有一个选项，每小题5 分，共 60 分）1已知全集RU，集合2|log1,2,1AxxB，则U()AB等于（）A.1,2B.2C.2,0D.27cos()24，则cos2的值为（）A18 B 716C 18D13163.2019年是中国成立70 周年，也是全面建成小康社会的关键之年.为了迎祖国70 周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动.下面的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（）.A.甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B.甲组选手得分的中位数
2、小于乙组选手的中位数C.甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D.甲组选手得分的方差大于乙组选手的的方差4 执行右图所示的程序框图，则输出的n ()A3 B4 C 5 D6 5.使命题p：1,2)x，2()40f xxax为假命题的一个充分不必要条件为（）A.03a B.03a C.3a D.0a6.若2lna，125b，dxxc20cos21，则,a b c的大小关系（）.Aabc.Bbac.Ccba.Dbca7.已知数列na满足321121nnaaaaaaa，是首项为1，公比为2的等比数列，则101a（）A1002 B49502 C50502 D515128如图所示的圆形图案是我国古代建
3、筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥。在圆内随机取一点，则该点取自中间阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是（）A12 B 13 C42 D419.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有 ()A.2 对 B.3对 C.4对 D.5对10.已知直线(0)ykx k与双曲线22221(0,0)xyabab交于,A B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若ABF的面积为24a，则双曲线的离心率为（）A2 B3 C.2 D511、ABC中，2AB,2 2AC,45BAC,P为线段AC上任意一点，则PB PC的取值范围是（
4、）A 1,14B1,04 C1,42 D1,2212已知定义在R上的连续可导函数)(xf无极值，且,xR()2018 2019xffx，若mxxxg)6sin(2)(在2,23上与函数)(xf的单调性相同，则实数m的取值范围是A2,(B),2 C2,(D 1,2（）二、填空题（共4 小题，20 分）13.已知复数43bizi，其中bR，i为虚数单位，且|5z，则b14已知圆锥的顶点为S，底面圆周上的两点A、B满足SAB为等边三角形，且面积为4 3，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的侧面积为 .15.已知点E在y轴上，点F是抛物线202()ypx p的焦点，直线EF与抛物线交于M，N两点，若点M
5、为线段EF的中点，且|12|NF，则p16在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，角B为锐角，且28sinsinsinACB，则acb的取值范围为三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共6 大题，70 分）17.（本小题满分12 分）已知数列na的前n项和为nS，满足：11a，1+1nnnSSa，数列nb为等比数列，满足314bb，1241bb，*Nn。（）求数列,nnba的通项公式；（）若数列11nnaa的前n项和为nW，数列nb的前n项和为nT，试比较nW与nT1的大小18（本小题满分12 分）已知在多面体ABCDE中，ABDE/，BCAC，42ACBC，DEA
6、B2，DCDA，且平面DAC平面ABC.（）设点F为线段BC的中点，试证明EF平面ABC；（）若直线BE与平面ABC所成的角为60，求二面角CADB的余弦值.19（本小题满分12 分）自由购是通过自助结算方式购物的一种形式某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了 100 人，统计结果整理如下：20 以下20,3030,4040,5050,6060,7070 以上使用人数3 12 17 6 4 2 0 未使用人数0 0 3 14 36 3 0（）现随机抽取1 名顾客，试估计该顾客年龄在30,50且未使用自由购的概率；（）从被抽取的年龄在50,70使用自由购的顾客中，随机抽取3 人进一步了
7、解情况，用X表示这 3 人中年龄在50,60的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋若某日该超市预计有5000 人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋20.（本小题满分12 分）已知椭圆E的方程为2221xya，点A为长轴的右端点,B C为椭圆E上关于原点对称的两点直线AB与直线AC的斜率ABACkk和满足：12ABACkk（）求椭圆E的标准方程；（）若直线:lykxt与圆2223xy相切，且与椭圆E相交于,M N两点，求证：以线段MN为直径的圆恒过原点21.（本小题满分12 分）已知Ra，函数xaxxfln2
8、.（）讨论函数xf的单调性；（）若2x是xf的极值点，且曲线xfy在两点2211,xfxQxfxP621xx处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为21,bb，求21bb的取值范围.22.（选做题：满分10 分）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点5(4,)4A，曲线E的极坐标方程为cos2cos2a)0(a，过点A作直线3()4R的垂线l，分别交曲线E于CB,两点.（）写出曲线E和直线l的直角坐标方程；（）若ACBCAB,成等比数列，求实数a 的值.23.（选做题：满分10 分）已知函数112)(xaxxf.（）当2a时,bxf)(有解,求实数b的取值范围;（）若2
9、)(xxf的解集包含2,21,求实数a的取值范围.一选择题 CADCB DCDCD CA 二、填空题13.25 14.8 2 15.8 16.56(,)22三、解答题17.（）nan，12nnb（）1111nWn1112nnT11nT18解：（）取AC的中点O，连接OFEF,.在DAC中DCDA，ACDO.由平面DAC平面ABC，且交线为AC得DO平面ABC.FO,分别为BCAC,的中点，ABOF/，且OFAB2.又ABDE/，DEAB2，DEOF/，且DEOF.四边形DEFO为平行四边形.DOEF/EF平面ABC.（）DO平面ABC，BCAC以O为原点，OA所在直线为x轴，过点O与CB平行的
10、直线为y轴，OD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.则)0,0,1(A，)0,0,1(C，)0,4,1(B.EF平面ABC，直线BE与平面ABC所成的角为60EBF.3260tanBFEFDO.)32,0,0(D.可取平面ADC的法向量)0,1,0(m，设平面ADB的法向量),(zyxn，)0,4,2(AB，)32,0,1(AD，则032042zxyx，取1z，则3,32yx.)1,3,32(n，43,cosnmnmnm，二面角CADB的余弦值为43.19.解：（1）在随机抽取的100 名顾客中，年龄在30,50且未使用自由购的共有31417 人，所以随机抽取1 名顾客，估计该顾客年龄在30,
11、50且未使用自由购的概率为17100P（2）X所有的可能取值为1，2，3，124236C C115CP X；214236C C325CP X；304236C C135CP X所以X的分布列为X1 2 3 P153515所以X的数学期望为1311232555EX（3）在随机抽取的100 名顾客中，使用自由购的共有3121764244人，所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为445000220010020 解：（1）设00(x,)By则00(x,)Cy由220021xya得，2222000221xaxyaa由12ABACkk，即000012yyxaxa得，222002axy所以222200
12、22axaxa，所以22a即椭圆E的标准方程为：2212xy（2）设1122(x,),(x,)MyNy由2212xyykxt得：222(12k)4220 xktxt2121222422,1212kttxxx xkk2212121212()()()y ykxtkxtk x xkt xxt222 2222222(22)42121212ktk ttktkkk又l与圆 C相切，所以2631tk即22231tk所以2221212222212ttkOMONx xy yk22222232(1)2(1)2(1)01212tkkkkk所以，OMON，即090MON所以，以线段MN为直径的圆经过原点.21 解：.
13、（1）2222()aaxfxxxx，当0a时，()0fx在(0,)x上恒成立，()f x在(0,)上单调递减；当0a时，2(0,)xa时()0fx，2,)xa时，()0fx，即()f x在2(0,)xa上单调递减，在2,)xa单调递增；（）2x是()f x的极值点，由（1）可知22a，1a设在11,()P xf x处的切线方程为112111221(ln)()()yxxxxxx，在22,()Q xf x处的切线方程为222222221(ln)()()yxxxxxx若这两条切线互相平行，则2211222121xxxx,121112xx211112xx,且1206xx，11111162xx，1111
14、43x，1(3,4)x令0 x，则1114ln1bxx，同理，2224ln1bxx.211112xx，1212121111121111=4()lnln=4()lnln()22bbxxxxxxx设1()82lnln()2g xxxx，1 1(,)4 3x2222111681(41)()801222xxxgxxxxxxx()g x在区间1 1(,)4 3上单调递减，2()(ln 2,0)3g x即12bb的取值范围是2(ln 2,0)3.22.解：（1）由cos2cos2a,得cos2cos222a得曲线E的直角坐标方程为)0(22aaxy5(4,)4A的直角坐标为(22,2 2)A又直线l的斜率
15、为1，且过点A，故直线l的直角坐标方程为0 xy（2）在直角坐标系xoy中，直线l参数方程为222222 22xtyt(t为参数)，代入axy22得2(82)1680ta ta121 282168ttat taACABBC2，21221)(tttt，即212215)(tttt224015aaa，解得0,a15a23.解:（1）当2a时,1221222121212)(）（）（xxxxxxxf当且仅当0)22(12(xx）,即121x时取等号,1)(minxf,bxf)(有解,只需1)(minxfb,实数b的取值范围为),1.（2）当2,21x时,012x,02x,2)(xxf的解集包含2,21xxa331对2,21x恒成立,当1x时,Ra,当121x时,xxa33)1(,即3a,当21x时,xxa33)1(,即3a,综上所述:实数a的取值范围为),3.