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1、福建省厦门外国语学校2020 届高三上学期12 月月考试题数学（理）一选择题（每小题只有一个选项，每小题5 分，共 60 分）1.已知全集UR，集合2|log1,2,1AxxB，则U()AB等于（）A.1,2B.2C.2,0D.【答案】C【解析】【分析】由题设条件先求出集合A，再由补集的运算求出UA，然后再由交集的运算求U()AB【详解】解：2log1x，02x，(0,2)A，U(,02,)A，又2,1B，U()2,0AB，故选：C【点睛】本题考查集合的交集、补集的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数性质的灵活运用2.7cos()24，则cos2的值为（）A.18B.716C.18D.1
2、316【答案】A【解析】分析】先利用诱导公式求解7sin4，再利用二倍角公式求解即可【详解】因为7cos24，所以7sin4，所以21cos212sin8.故选A.【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式，熟记公式是关键，是基础题3.2019 年是中国成立70 周年，也是全面建成小康社会的关键之年.为了迎祖国70 周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动.下面的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（）A.甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B.甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数C.甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D.甲组选手
3、得分的方差大于乙组选手的的方差【答案】D【解析】【分析】先分析处理茎叶图的信息，再结合平均数、中位数、方差的概念进行运算即可得解【详解】解：由茎叶图可知：甲组选手得分的平均数17582838793845x，乙组选手得分的平均数27783848591845x，12xx，故选项A错误；甲组选手得分的中位数为83，乙组选手得分的中位数为84，即甲组选手得分的中位数小于乙组选手的中位数，即选项B、选项 C错误，因为甲组选手得分的方差：22222211216(7584)(8284)(8384)(8784)(9384)55S，乙组选手得分的方差：22222221100(7784)(8384)(8484)(
4、8584)(9184)2055S，2212SS，即选项D正确，故选：D【点睛】本题考查了茎叶图及平均数、中位数、方差的运算，属中档题4.执行右图所示的程序框图，则输出的n（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】第一次执行循环体后，n1，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后，n2，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后，n3，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，n4，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，n5，满足退出循环的
5、条件，故输出的n值为 5，故选C【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题5.使命题p：1,2)x，2()40f xxax为假命题的一个充分不必要条件为（）A.03aB.03aC.3aD.0a【答案】B【解析】【分析】先求命题p的等价条件，结合充分不必要条件的定义转化为集合真子集关系进行求解即可【详解】解：若命题p：1,2)x，2()40f xxax为假命题，则命题命题p：1,2)x，2()40fxxax为真命题，则(1)0(2)0ff，即(1)140(2)4240fafa，解得03a，命题p的等价条件为03a，则对应的充分不必要条件为0
6、,3)的一个真子集，故选：B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出p的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合真子集关系是解决本题的关键6.若2,aln125b，201cos2cxdx，则,a b c的大小关系（）A.abcB.bacC.cbaD.bca【答案】D【解析】【分析】利用对数函数的性质，以及微积分定理与12比较即可.【详解】12ln,2alne12111,2554b02111cossin22220cxdxx，故选：D【点睛】本题考查实数大小比较，考查对数函数的性质，微积分定理，考查利用中间量比较大小，属于常考题型.7.已知数列na满足321121nnaaaaaa
7、a，是首项为 1,公比为2等比数列,则101aA.1002B.49502C.50502D.51512【答案】C【解析】数列na满足321121nnaaaaaaa，是首项为1,公比为2的等比数列，1nnaa=2n-1，an=a121aa32aa1nnaa=121222n-1=122n n，a101=25050.故选 C.8.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A.12B.13C.41D.42【答案】C【解析】令圆的半径为1，则2241SPS，故选 C9.如图，正方形网格纸中的实线图形
8、是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（）A.2 对B.3对C.4 对D.5 对【答案】C【解析】【分析】画出该几何体的直观图PABCD，易证平面PAD平面ABCD，平面PCD平面PAD，平面PAB平面PAD，平面PAB平面PCD，从而可选出答案【详解】该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面PAD平面ABCD，作POAD于O，则有PO平面ABCD，POCD，又ADCD，所以，CD平面PAD，所以平面PCD平面PAD，同理可证：平面PAB平面PAD，由三视图可知：POAOOD，所以，APPD，又APCD，所以，AP平面PCD，所以，平面PAB平面PCD，所以该多面体
9、各表面所在平面互相垂直的有4 对【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题10.已知直线0ykx k与双曲线222210,0 xyabab交于,A B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若ABF的面积为24a，则双曲线的离心率为A.2B.3C.2 D.5【答案】D【解析】【分析】通过双曲线和圆的对称性，将ABF的面积转化为FBF的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立a与b的关系，从而推导出离心率.【详解】由题意可得图像如下图所示：F为双曲线的左焦点AB为圆的直径90AFB根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF为矩形12ABFA
10、FBFFBFSSS又2224tan45FBFbSba，可得：225ca25e5e本题正确选项：D【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于,a c的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.11.ABC中，2AB,2 2AC,45BAC,P为线段AC上任意一点，则PB PC的取值范围是（）A.1,14B.1,04C.1,42D.1,22【答案】C【解析】【分析】先设PAx，x0，2 2，利用向量数量积的运算性质可求PB PC，结合二次函数的性质即可求解【详解】ABC中，设PAx，x0，2 2，则PB PC（PAAB）?PCPA PCAB PCx（2 2x）cos180+2（
11、2 2x）cos45x23 2x+423 21()22x，x0，2 2，由二次函数的性质可知，当x3 22时，有最小值12；当x0 时，有最大值4，所求PB PC的范围是 12，4 故选 C【点睛】本题主要考查了向量的基本定理及向量的数量积的运算性质，二次函数的性质等知识的简单应用，属于中档题12.已知定义在R上的连续可导函数()f x 无极值，且,xR()2018 2019xff x，若()2sin()6g xxmx在3,22上与函数()f x 的单调性相同，则实数m的取值范围是()A.(,2B.2,)C.(,2D.2,1【答案】A【解析】【分析】根据fx连续可导且无极值，结合2018201
12、9xffx，判断出fx为单调递减函数.对g x求导后分离常数m，利用三角函数的值域求得m的取值范围.【详 解】由于fx连 续 可导且无 极值，故 函数fx为 单调 函 数.故可 令2018xtfx，使2019f t成立，故2018xfxt，故fx为R上的减函数.故g x在3,22上为减函数.即2cos06gxxm在3,22上恒成立，即2cos6mx，由于5 13,636x，故1cos,162x，2cos2,16x，所以2m，故选 A.【点睛】本小题主要考查函数的单调性与极值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于中档题.二、填空题（共4 小题，20 分）13.已知复数43bizi，其中bR，i
13、为虚数单位，且|5z，则b_【答案】25【解析】【分析】利用复数代数形式的除法运算先化简z，再根据复数的模的计算公式求b【详解】解：43bizi(43)(43)(43)biiii3425bbi342525bbi，又|5z，223452525bb，2225b，25b，故答案为：25【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算与复数的模，属于常考题14.已知圆锥的顶点为S，底面圆周上的两点A、B满足SAB为等边三角形，且面积为4 3，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的侧面积为_.【答案】8 2【解析】【分析】由等边SAB的面积求出母线l的值，再求出圆锥底面半径r和高h，从而求得圆锥的侧面积【详解】解：设
14、圆锥母线长为l，由SAB为等边三角形，且面积为4 3，所以21sin4 323l，解得l=4；又设圆锥底面半径为r，高为h，则由轴截面的面积为8，得rh=8；又2216rh，解得2 2rh，所以圆锥的侧面积2 2 48 2Srl故答案为：8 2【点睛】本题考查了圆锥的结构特征应用问题，也考查了三角形边角关系应用问题，是中档题15.已知点E在y轴上，点F是抛物线22(0)ypx p的焦点，直线EF与抛物线交于M，N两点，若点M为线段EF的中点，且|12|NF，则p_【答案】8【解析】【分析】设0,Eb，又,02pF，由M为EF的中点，求得0,2Ep，直线EF的方程代入22ypx，得22450 x
15、pxp，求得点N的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解【详解】设0,Eb，又,02pF，因为M为EF的中点，所以点M的坐标为,4py，则22242ppyp，即2,42pMp，又由0222bp，则2bp，即0,2Ep，直线EF的方程为2 22yxp，代入22ypx，得22450 xpxp，设,N x y，则544pxp，解得xp，由抛物线的定义得：122pNFp，解得：8p【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系和抛物线的定义合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题16.在ABC中，内
16、角,A B C的对边分别为,a b c，角B为锐角，且28sinsinsinACB，则acb的取值范围为 _【答案】56(,)22【解析】设t1actb，则actb，由28sin sinsinACB，得28acb,.由余弦定理得22222222222124cosB45,12ac24t bbbacacbacbtacb由角B为锐角得0cosB1，所以20451t，所以5622t，即5622acb.故答案为56,22三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共6 大题，70 分）17.已知数列na的前n项和为nS，满足：11a，11nnnSSa，数列nb为等比数列，满足13b4b，2114
17、bb，*nN（）求数列na，nb的通项公式；（）若数列11nna a的前n项和为nW，数列nb的前n项和为nT，试比较nW与1nT的大小【答案】（）nan；1()2nnb.（）1nnWT.【解析】【分析】（）由题意可得数列na为首项和公差均为1 的等差数列，即可得到所求na的通项公式；再由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到nb的通项公式；（）由1111111nna an nnn，运用裂项相消求和可得nW，由等比数列的求和公式可得nT，由不等式的性质即可得到大小关系【详解】（）11a，1S1nnnSa，可得11nnaa，即数列na为首项和公差均为1 的等差数列，可得nan；数列n
18、b为等比数列，满足134bb，2114bb，*nN设公比为q，可得2114bb q，可得12q，即有12q时，11124b，可得11124b；12q不成立，舍去，则12nnb；（）1111111nna an nnn，1111112231nWnn11111nnn；11112210,11212nnnT，则11nT，即有1nnWT【点睛】本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题18.已知在多面体ABCDE 中，DEAB，ACBC，24BCAC，2ABDE，DADC且平面DAC平面ABC.（1）设点F为线段
19、BC的中点，试证明EF平面ABC；（2）若直线BE与平面ABC所成的角为60，求二面角BADC的余弦值.【答案】（1）详见解析（2）34【解析】【分析】（1）由四边形DEFO为平行四边形.EFDO，再结合DO平面ABC，即可证明EF平面ABC；（2）由空间向量的应用，建立以O为原点，OA所在直线为x轴，过点O与CB平行的直线为y轴，OD所在直线为z轴的空间直角坐标系，再求出平面ADC的法向量0,1,0m，平面ADB的法向量2 3,3,1n，再利用向量夹角公式求解即可.【详解】（1）证明：取AC的中点O，连接EF，OF，在DAC中DADC，DOAC.由平面DAC平面ABC，且交线为AC得DO平面
20、ABC.O，F分别为AC，BC的中点，OFAB，且2ABOF.又DEAB，2ABDE，OFDE，且OFDE.四边形DEFO为平行四边形.EFDO，EF平面ABC.（2）DO平面ABC，ACBC，以O为原点，OA所在直线为x轴，过点O与CB平行的直线为y轴，OD 所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.则1,0,0A，1,0,0C，1,4,0B.EF平面ABC，直线BE与平面ABC所成的角为60EBF.tan602 3DOEFBF.0,0,23D.可取平面ADC的法向量0,1,0m，设平面ADB的法向量,nx y z，2,4,0AB，1,0,23AD，则2402 30 xyxz，取1z，则2 3x，
21、3y.2 3,3,1n，3cos,4m nm nm n，二面角BADC的余弦值为34.【点睛】本题考查了线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的大小，重点考查了空间想象能力，属中档题.19.自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100 人，统计结果整理如下：20 以下20,30)30,40)40,50)50,60)60,70 70 以上使用人数3 12 17 6 4 2 0 未使用人数0 0 3 14 36 3 0（）现随机抽取1 名顾客，试估计该顾客年龄在30,50)且未使用自由购的概率；（）从被抽取的年龄在50,70 使用自由购的顾客中，随
22、机抽取3 人进一步了解情况，用X表示这 3 人中年龄在50,60)的人数,求随机变量X的分布列及数学期望；（）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1 个环保购物袋.若某日该超市预计有5000 人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.【答案】（）17100（）详见解析（）2200【解析】【分析】（）随机抽取的100 名顾客中，年龄在30，50）且未使用自由购的有3+1417 人，由概率公式即可得到所求值；（）X所有的可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；（）随机抽取的100 名顾客中，使用自由购的有44 人，计算可得所求值【详解】解：（）在随机
23、抽取的100 名顾客中，年龄在 30,50)且未使用自由购的共有3+14=17 人，所以，随机抽取1 名顾客，估计该顾客年龄在30,50)且未使用自由购的概率为17100P（）X所有的可能取值为1,2,3，124236115C CP XC,214236325C CP XC,304236135C CP XC.所以X的分布列为X1 2 3 P1515所以X的数学期望为1311232555EX.（）在随机抽取的100 名顾客中，使用自由购的共有3 12 1764244人，所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为4450002200100.【点睛】本题考查统计表，随机变量X的分布列及数学期望，以
24、及古典概型，比较综合20.已知椭圆E的方程为2221xya，点A为长轴的右端点,B C为椭圆E上关于原点对称的两点直线AB与直线AC的斜率ABACkk和满足：12ABACkk（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线:lykxt与圆2223xy相切，且与椭圆E相交于,M N两点，求证：以线段MN为直径的圆恒过原点【答案】（1）2212xy（2）见证明【解析】【分析】（1）由12ABACkk可得2a的值，从而得到椭圆E的标准方程；（2）原问题等价于0OM ON，联立方程，利用韦达定理即可得到结果.【详解】解：（1）设00,B xy则00,Cxy由220021xya得，2222000221xaxyaa
25、由12ABACkk，即000012yyxaxa得，222002axy所以22220022axaxa，所以22a即椭圆E的标准方程为：2212xy（2）设1122,M x yN xy由2212xyykxt得：222124220kxktxt2121222422,1212kttxxx xkk2212121212y ykxtkxtk x xkt xxt222 22222222242121212ktk ttktkkk又l与圆 C相切，所以2631tk即22231tk所以2221212222212ttkOMONx xy yk22222232 12 12 101212tkkkkk所以，OMON，即090MO
26、N所以，以线段MN为直径的圆经过原点.【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意21.已知aR，函数2lnfxaxx(1)讨论函数fx的单调性；(2)若2x是fx的极值点，且曲线yfx在两点11,P xfx，22,Q xfx126xx处的切线互相平行，这两条切线在y 轴上的截距分别为1b、2b，求12bb的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）2ln2 03，【解析】【分析】（1）根据导数和函数的
27、关系即可求出函数的单调区间，（2）由x 2 是f（x）的极值点，以及导数的几何意义，可求出相对应的切线方程，根据切线平行可得11141blnxx，同理，22241blnxx求出b1b2，再构造函数，利用导数，即可求出b1b2的取值范围【详解】（1）222aax2f xxxx，当 a0时，f（x）0 在 x（0，+）上恒成立，f（x）在（0，+）上单调递减；当 a0 时，2x0a，时 f（x）0，2xa，时，f（x）0，即 f（x）在2x0a，上单调递减，在2xa，单调递增；（2）x=2 是 f（x）的极值点，由（1）可知22a，a=1，设在 P（x1，f（x1）处的切线方程为112111221
28、ylnxxxxxx，在 Q（x2，f（x2）处的切线方程为222222221ylnxxxxxx若这两条切线互相平行，则2211222121xxxx，12111xx221111x2x，且 0 x1x26，11111162xx，11114x3，x1（3，4）令 x=0，则1114blnx1x，同理，2224blnx1x【解法一】21111x2x，1212121111121111bb4lnxlnx4lnlnxxx2x2x设1g x8x2lnxlnx2，1 1x4 3，22221116x8x1(4x1)g x801x2xx2xxx2g（x）在区间1 14 3，上单调递减，2g xln2 03，即 b1
29、-b2的取值范围是2ln2 03，【解法二】1212xxx2，11212121x118bb4lnxlnx2ln1xxx2令8xg xln12x2，其中 x（3，4）2222281x8x16(x4)g x0 xx2xx2xx2函数 g（x）在区间（3，4）上单调递增，2g xln2 03，b1-b2的取值范围是2ln2 03，【解法三】x1?x2=2（x1+x2），121212111121211212212222x2 14 xx2 xxxxxx44bblnxlnxlnlnlnxxxxxxxxxx1x设2 1xg xlnx1x，则22241(1x)g x(1x)xx(1x)112xx111x22，
30、g（x）0，函数 g（x）在区间112，上单调递增，2g xln2 03，b1-b2的取值范围是2ln2 03，【点睛】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力，属于难题22.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点54,4A，曲线E的极坐标方程为2cos2 cos(0)aa，过点A作直线34()R的垂线l，分别交曲线E于B，C两点.（1）写出曲线E和直线l的直角坐标方程；（2）若|AB，|BC，|AC成等比数列，求实数a的值.【答案】（1）22yax(0)a；yx（2）15a【解析】【分析】（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式来
31、求解；（2）根据AB，BC，AC成等比数列，建立等量关系，利用参数的几何意义求解.【详解】（1）由2cos2 cosa，得222cos2cosa.得曲线E的直角坐标方程为22yax(0)a54,4A的直角坐标为2 2,2 2A又直线l的斜率为1.且过点A.故直线l的直角坐标方程为0 xy（2）在直角坐标系xoy中，直线l参数方程为222222 22xtyt（t为参数）.代入22yax得2821680ta ta1282tta1 2168t ta2|BCABAC，2121 2ttt t，即2121 25ttt t2240aa，解得15a0a，15a【点睛】本题主要考查参数方程和极坐标，极坐标与直角
32、坐标的相互转化要熟记公式，利用参数的几何意义能简化求解过程.23.已知函数211fxxa x(1)当2a时,fxb有解,求实数b的取值范围；(2)若2fxx的解集包含1,22,求实数a的取值范围【答案】(1)1,；(2)3,.【解析】【分析】1当2a时,利用绝对值三角不等式求出fx的最小值,由fxb有解,可知()minbfx；2由2fxx的解集包含1,22,化为133a xx对1,22x恒成立,再分112x和12x两种情况求出a的范围【详解】解：1当2a时,212121211fxxxxx，当且仅当21220 xx,即112x时取等号，()1minf x,fxb有解,只需()1minbf x，b的取值范围是1,；2当1,22x时,210 x,20 x,2fxx的解集包含1,22,13 3a xx对1,22x恒成立,当112x时,不等式化为133axx,解得3a；当12x时,不等式化为133a xx,解得3a；综上,a的取值范围是3,【点睛】本题考查了绝对值三角不等式和不等式恒成立问题,也考查了转化思想和分类讨论思想,是中档题