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1、河北省唐山市第二中学2019-2020 年高一上学期期中考试数学一、选择题：（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合260Ax xx，集合10Bx x，则RAB（）A.1,3B.1,3C.3,D.3,【答案】C【解析】【分析】先根据一元二次不等式计算出集合A中表示元素范围,然后计算出AR的范围,最后根据交集的含义计算RAB的结果.【详解】因为260 xx,所以2,3x即2,3A,所以,23,RA,又因为1,B,所以3,RAB.故选：C.【点睛】本题考查集合的补集与交集混合运算,难度较易,注意一元二次不等式的解集的求解.
2、2.已知函数2231mmfxmmx是幂函数，且0,x时，fx是递减的，则m的值为（）A.-1 B.2 C.-1或 2 D.3【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的定义求出m的值，代入检验即可【详解】由题意得：211mm，解得：2m或1m，2m时，3fxx，递增，不合题意，1m时，3fxx，递减，符合题意.故选：A【点睛】本题考查幂函数的定义和单调性问题，要求仔细审题，认真计算，属基础题3.已知log110,1afxxaa，则此函数恒过定点是（）A.1,0B.0,1C.0,1D.1,1【答案】C【解析】【分析】令11x，求得自变量的值代入求y即可求得答案【详解】由11x得：0 x，此时1fx，l
3、og110,1afxxaa恒过定点0,1.故选：C【点睛】本题考查对数函数的过定点问题，令对数型函数的真数为1，求得自变量的值是关键，属基础题4.函数21fx的图象可由21fx的图象经过怎样的变换得到（）A.向左平移2 个单位B.向右平移2 个单位C.向左平移1 个单位D.向右平移1 个单位【答案】C【解析】【分析】根 据 函 数 的 图 象 的 变 换 规 律，把 函 数21fx的 图 象 向 左 平 移1个 单 位 可 得 函 数21121fxfx的图象，从而得出结论【详解】把函数21fx的图象向左平移1 个单位可得函数21121fxfx的图象.故选：C【点睛】本题主要考查函数的图象的变换
4、规律，注意仔细审题，属基础题5.分段函数32,0log,0 xxfxx x，则满足1fx的x值为（）A.0 B.3 C.0 或 3 D.13【答案】C【解析】【分析】对x分类讨论，当0 x时，21x，当0 x时，3log1x，分别求解，即可得到满足1fx的x的值【详解】32,0log,0 xxfxx x，依题意有，当0 x时，2xfx，1fx，21x，0 x；当0 x时，3logfxx，1fx，3log1x，3x综合，满足1fx的x的值为 0 或 3故选：C【点睛】本题考查了分段函数的解析式，分段函数的取值问题对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题主要考查了根据函数值求变量的
5、取值，解题的关键是判断该用哪段解析式进行求解属基础题6.下列各组函数中，表示相同函数的是（）A.fxx与2xg xxB.fxx与2g xxC.21fxx与11g xxxD.0fxx与1g x【答案】B【解析】【分析】逐项分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可【详解】选项A中，g xx，函数的定义域为|0 x x，两个函数的定义域不相同，不是相同函数；选项 B中，g xx，两个函数的定义域和对应法则相同，是相同函数；选项 C中，由210 x得1x或1x；由1010 xx得11xx，得1x，两个函数的定义域不相同，不是相同函数；选项 D中，fx的定义域为|0 x x，两个函数的定义域不相同
6、，不是相同函数故选：B【点睛】本题主要考查相同函数的概念，分别判断函数的定义域和对应法则是解决本题的关键，属基础题7.已知13log4a，4log 5b，0.40.5c，则（）A.abcB.acbC.cabD.cba【答案】B【解析】【分析】容易得出13log40，4log 51，0.400.51，从而可得出a，b，c的大小关系【详解】1133log4log 10，44log 5log41，0.4000.50.51，acb 故选：B【点睛】本题考查对数函数、指数函数的单调性及其应用，注意仔细审题，属基础题.8.函数log1afxx在1,0上是增函数，则fx在,1上是（）A.函数值由负到正且增函
7、数B.函数值恒为正且为减函数C.函数值由正到负且为减函数D.没有单调性【答案】C【解析】【分析】由已知分析出外函数的单调性，进而可得fx在,1上单调性和符号【详解】内函数1tx在1,0上是增函数，若函数log1afxx在1,0上是增函数，则外函数logayt为增函数；内函数1tx在,1上是减函数，故fx在,1上是减函数，又由20f，fx在,1上是函数值由正到负且为减函数.故选：C【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，熟练掌握复合函数单调性“同增异减”的原则是解答的关键，属基础题.9.已知函数2,10,01xxfxxx，则下列的图象错误的是（）A.1yfx的图象B.yfx的图象C.yfx的
8、图象D.yfx的图象【答案】D【解析】【分析】先画出函数2,10,01xxfxxx的图象，再根据函数的图象特征以及图象的变化规律，判断各个选项的正确性【详解】当10 x时，2fxx，表示一条线段，且线段经过1,2、0,0当01x时，fxx，表示一段抛物线，如图所示：由于1fx的图象可由fx的图象向右平移一个单位得到，故A正确；由于fx的图象可由fx的图象关于y轴对称后得到的，故B正确；由于fx的值域为0,2，故fxfx，故fx的图象可与fx的图象完全相同，故C正确；由于fx是偶函数，图象关于y轴对称，故当01x时，它的图象和fx的图象相同，当10 x时的图象，只要把fx在y轴右侧的图象关于y轴
9、对称即可得到，且图象过原点，故D不正确故选：D.【点睛】本题主要考查函数的图象特征以及图象的变化规律，熟练掌握函数图象的变化规律是解题的关键，属基础题10.函数lgyxx有零点的区间是（）A.1,2B.1,110C.2,3D.,0【答案】B【解析】【分析】先求函数的定义域，再利用函数的零点存在性定理求解判断即可【详解】函数lgyxx的定义域为0,，且在定义域0,上连续递增，而0.11 0.10f，1010f，故函数lgyxx的零点所在的区间是0.1,1故选：B【点睛】本题考查了函数的零点存在性定理的应用，注意认真计算，属基础题11.已知函数(23)43(1)()(1)xaxaxf xax，在,
10、上是增函数，则a的取值范围是（）A.1aB.2aC.12aD.12a【答案】D【解析】【分析】根据函数恒增，列出不等式组，求解，即可得出结果.【详解】因为函数(23)43(1)()(1)xaxaxf xax，在,上是增函数，所以有23012343aaaaa，解得12a.故选 D【点睛】本题主要考查由分段函数单调求参数的问题，只需考虑每一段的单调性，以及结点处的大小即可，属于常考题型.12.已知函数21fxx，若存在实数a，使得24fxax对任意的2,xt恒成立，则实数t的最大值为（）A.10 B.8 C.6 D.4【答案】D【解析】【分析】先 由21fxx和24fxax得2124xax，化 简
11、 得2250 xaa，令225g xxaa，利用函数性质将恒成立问题转化为20g且0g t，求解t的范围，最后求出最值【详解】21fxx，24fxax，即为2124xax，化简2250 xaa，设225g xxaa，则g x的图象为开口向上的抛物线，若对任意的2,xt，0g x恒成立，只需函数在两个端点处的函数值非正即可，即22690gaa，配方得230a，则30a，3a，此时0g t，即为2310g tt，即131t，解得24t，又2t，24t，则t的最大值为4故选：D【点睛】本题考查恒成立问题的转化，利用二次函数的图象及性质求解不等式恒成立问题，是一种重要的方法，属中档题第卷（非选择题共
12、90 分）二、填空题：（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分，答案填在卷答题卡上）13.函数12log(32)yx的定义域是【答案】2,13【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足122log320032113xxx，定义域为2,13考点：函数定义域点评：函数定义域是使函数有意义的自变量的取值范围或题目中指定的自变量的范围14.已知fx是定义域为R的奇函数，当0 x时，41fxx，写出分段函数fx的解析式 _【答案】41,00,041,0 xxfxxxx【解析】【分析】根据奇函数的性质即可得到结论【详解】fx是定义域为R的奇函数，00f，若0 x，则0 x，即当0 x时，41fxxfx
13、，即41fxx，则41,00,041,0 xxfxxxx.故答案为：41,00,041,0 xxfxxxx.【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，利用函数奇偶性的对称性是解决本题的关键，属基础题15.已知32,0log,0 x xfxx x，则函数1yffx的零点的个数是_.【答案】3【解析】【分析】画出函数32,0log,0 x xfxx x的图象，借助图象分析函数零点的个数，进而可得答案【详解】函数32,0log,0 x xfxx x的图象如下图所示：结合图象分析：10yffx，则1ffx，则12fx或13fx；对于12fx，存在两个解；对于13fx，存在 1 个解，综上所述，函数1yff
14、x的零点个数为3 个.故答案为：3【点睛】本题考查的知识点是函数的零点，分段函数的图象，对数函数的图象和性质，以及一次函数的图象和性质，熟练掌握图象的辨析和应用是解题的关键，属中档题16.函数()f x 的定义域为A,若12,x xA且12()()fxf x时总有12xx,则称()f x 为单函数.例如,函数()1()f xxxR是单函数.下列命题:函数2()2()f xxx xR是单函数;函数2log,2,()2,2.x xf xx x是单函数;若()f x 为单函数,12,xxA且12xx,则12()()f xf x;若函数()f x 在定义域内某个区间D上具有单调性,则()f x 一定是
15、单函数.其中真命题是 (写出所有真命题的编号).【答案】【解析】【详解】试题分析：根据单函数的定义可知如果函数()f x 为单函数，则函数()f x 在其定义域上一定是单调递增或单调递减函数，即该函数为一一对应关系，据此分析可知不是，因为该二次函数先减后增；不是，因为该函数是先减后增；显然的说法也不对，故真命题是.考点：新定义、函数的单调性，考查学生的分析、理解能力.三、解答题：（本大题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程，答案填在卷答题卡上）17.计算：（1）112324186254；（2）22lg5lg 2lg 4【答案】（1）1；（2）1【解析】【分析】（1）根据指数的运
16、算性质计算即可求得结果；（2）根据对数的运算性质和平方差公式化简计算即可.【详解】（1）原式113246452451；（2）原式lg5lg2lg5lg2lg4lg5lg 22lg 2lg5lg 21【点睛】本题考查指数和对数的运算性质，注意根式与指数式的关系，要求学生认真计算，仔细检查，属基础题.18.已知集合2|65Ax yxx，|(1)(1)0Bxxmxm.（1）若3m，求AB；（2）若0m，AB，求m的取值范围.【答案】（1）|14ABxx;（2）5m.【解析】试题分析：本题考查集合间的基本关系与运算,一元二次不等式.求得|16Axx,(1)当3m时,|24Bxx,|14ABxx；(2)
17、AB,1?1m且16m,解得5m.试题解析：（1）由2650 xx，解得16x,所以集合|16Axx,当3m时，集合|24Bxx,所以|14ABxx.（2）0,|1101,1mBxxmxmmm,因为AB，所以1116mm,所以5m.19.设212xxafx，其中实常数1a.（1）求函数fx的定义域和值域；（2）已知fx为奇函数，求a.【答案】（1）定义域为,，值域1,a；（2）1a.【解析】【分析】（1）120 x恒成立，函数fx的定义域为,，然后对212xxafx进行变形整理可得1112xafx，又1a，由此可求出函数的值域；（2）根据奇函数的性质，221()1212xxxxaafxf x，
18、由此可求出1a，最后再验证1a时函数为奇函数即可.【详解】（1）120 x恒成立，函数fx的定义域为,，112211121212xxxxxaaafx，1a，10a，121x，10112x，则10112xaa，11112xaa，即函数的值域为1,a；（2）2211212xxxxaafx，fx为奇函数，则fxfx，即122xxaa，等式恒成立，故1a.反之，若1a，易证此时函数为奇函数，所以1a.【点睛】本题考查函数的定义和性质，着重考查学生的计算求解能力和逻辑推理能力，属中档题.20.设函数33log9log3fxxx，且199x（1）若6fx，求x值；（2）求函数fx的最大值与最小值及与之对应
19、的x的值【答案】（1）3x；（2）答案不唯一，见解析【解析】【分析】（1）利用对数的运算性质对fx变形整理可得33()2log1 logf xxx，结合6fx可得33log4log10 xx，即3log4x或3log1x，又199x，由此可求得结果；（2）令3logtx，由（1）得，233log2log132fxxxtt，令22313224g tttt，结合t的范围和二次函数的性质即可求出结果.【详解】（1）函数33log9log36fxxx，则2333333log9log3log3log32log1log6xxxxxx，整理得，33log4log10 xx，即3log4x或3log1x，又1
20、99x，则3x；（2）令3logtx，由（1）得，函数3333log9log3log2log1fxxxxx2233log3log232xxtt，又199x，32log2x，22t，令22313224g tttt，2,2t，当32t时，min14g t，即33log2x，32339x，min14fx，此时39x；当2t时，max212g tg，即3log2x，9x，max12fx，此时9x【点睛】本题考查对数型二次函数的相关问题，着重考查学生的计算求解能力和转化与化归的能力，复合函数的问题一般采用换元法进行转化，属中档题.21.设121log1axfxx为奇函数，a为常数（1）求证：fx是1,上
21、的增函数；（2）若对于区间3,4上的每一个x值，不等式12xfxm恒成立，求实数m取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）9,8【解析】【分析】（1）由奇函数的定义域关于原点对称可得，101axx，即1 10 xax，则令1 10 xax，得到的根必为相反数，从而求出a，再根据定义法证明fx是1,上的增函数即可；（2）由题意知1211log12xxmx，3,4x时恒成立，令1211log12xxg xx，根据单调性的运算可判断g x的单调性，从而求出最值.【详解】（1）fx是奇函数，定义域关于原点对称，由101axx，得1 10 xax令1 10 xax，得11x，21xa，11a，解得1a，
22、121log1xfxx，令12111xu xxx，设任意12xx，且12,1,x x，则211212211xxu xu xxx，121xx，110 x，210 x，210 xx，120u xu x，即12u xu x2111u xxx是减函数，又12logyu为减函数，fx在1,上为增函数；（2）由题意知1211log12xxmx，3,4x时恒成立，令1211log12xxg xx，3,4x，由（2）知121log1xyx在3,4上为增函数，又12xy在3,4上也是增函数，故g x在3,4上为增函数，g x的最小值为938g，98m，故实数m的范围是9,8【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性
23、，奇偶性和恒成立问题，着重考查学生的逻辑推理能力和转化与化归的能力，恒成立问题一般转化为最值问题，属中档题.22.定义在R上的函数fx满足对于任意实数x，y都有fxyfxfy，且当0 x时，0fx，12f（1）判断fx的奇偶性并证明；（2）判断fx的单调性，并求当3,3x时，fx的最大值及最小值；（3）解关于x的不等式221122fbxfxfb xfb22b.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）fx在R上是减函数最大值为6，最小值为-6；（3）答案不唯一，见解析【解析】【分析】（1）令0 xy，求出00f，再令yx，由奇偶性的定义，即可判断；（2）任取12xx，则210 xx由已知得210
24、fxx，再由奇函数的定义和已知即可判断单调性，由12f，得到36f，36f，再由单调性即可得到最值；（3）将原不等式转化为2222fbxxfb xb，再由单调性，即得22220bxbxb，即20bxxb，再对b讨论，分0b，02b，2b，20b，2b共 5 种情况分别求出它们的解集即可.【详解】（1）令0 xy，则020ff，即有00f，再令yx，得00ffxfx，则fxfx，故fx为奇函数；（2）任取12xx，则210 xx由已知得210fxx，则121212fxfxfxfxfxx210fxx，12fxfx，fx在R上是减函数由于12f，则2214ff，3126fff，336ff由fx在R上
25、是减函数，得到当3,3x时，fx的最大值为36f，最小值为36f；（3）不等式221122fbxfxfb xfb，即为2222fbxfxfb xfb.即2222fbxfxfb xfb，即有2222fbxxfb xb，由于fx在R上是减函数，则2222bxxb xb，即为22220bxbxb，即有20bxxb，当0b时，得解集为|0 x x；当0b时，即有20 xbxb，02b时，2bb，此时解集为2|x bxb，当2b时，2bb，此时解集为2|xxbb，当0b时，即有20 xbxb，当20b时，2bb，此时解集为2|x xxbb或，当2b时，2bb，此时解集为2|x xxbb或【点睛】本题考查抽象函数的基本性质和不等式问题，常用赋值法探索抽象函数的性质，本题第三小问利用函数性质将不等式转化为含参的一元二次不等式的求解问题，着重考查分类讨论思想，属难题.