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1、第-1-页 共 4 页第 2 课时等差数列1等差数列的定义：d（d 为常数）2等差数列的通项公式：ana1d anamd3等差数列的前n 项和公式：Sn4等差中项：如果a、b、c 成等差数列，则b 叫做 a与 c 的等差中项，即b5数列an是等差数列的两个充要条件是：数列an的通项公式可写成anpnq(p,qR)数列an的前 n 项和公式可写成Snan2bn(a,bR)6等差数列 an的两个重要性质：m,n,p,qN*，若 mnpq，则 数列an的前 n 项和为 Sn，S2nSn，S3nS2n成数列例 1.在等差数列 an中，(1)已知 a1510，a4590，求 a60；(2)已知 S128
2、4，S20460，求 S28；(3)已知 a610，S55，求 a8和 S8解：(1)方法一：38382904410141145115dadaadaaa60a159d130方法二：3815451545aamnaadmn，由 anam(nm)da60a45(6045)d901538130(2)不妨设 SnAn2Bn，172460202084121222BABABASn2n217n S2822 821728 1092(3)S6S5a651015，又 S62)10(62)(6161aaa152)10(61a即 a15 而 d31616aa典型例题基础过关第-2-页 共 4 页a8a62 d16 S8
3、442)(881aa变式训练 1.在等差数列 an中，a53，a62，则 a4a5a10解：da6a55，a4a5a1049)2(72)(75104daaa例 2.已知数列 an满足 a12a，an2a12naa（n2）其中 a是不为 0 的常数，令 bnaan1 求证：数列 bn是等差数列 求数列 an的通项公式解：an2a12naa(n 2)bn)(111112aaaaaaaaannnn(n 2)bnbn1aaaaaaannn11)(111(n 2)数列bn是公差为a1的等差数列 b1aa11a1故由得：bna1(n1)a1an即：aan1an得：ana(1n1)变式训练 2.已知公比为3
4、 的等比数列nb与数列na满足*,3Nnbnan，且11a，（1）判断na是何种数列，并给出证明；（2）若11nnnaaC，求数列nC的前 n 项和解：1）1111333,13nnnnaaannnanbaab，即na为等差数列。（2）11111111111,11nnnnnnnnnCSna aaaaaa。例 3.已知an为等差数列，Sn为数列 an的前 n 项和，已知 S77，S1575，Tn为数列 nSn前 n 项和。求 Tn解：设an首项为 a1公差为 d，由第-3-页 共 4 页7521415157267711517daSdaS121da Snnn252122521nnSn311STnnn
5、411412变式训练 3 两等差数列 an、bn的前 n 项和的比5327nnSnSn，则55ab的值是（）A2817B4825C 5327D2315解：B 解析：19559559199()24829252()2aaaaSbbSbb。例 4.美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000 美元；二是每半年结束时加 300 美元问：从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？如果在该公司干10 年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？如果第二种方案中每半年加300 美元改为每半年加a 美元问 a 取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？解：设工作年数为n
6、（nN*），第一种方案总共加的工资为S1，第二种方案总共加的工资为 S2则：S110001 1000210003 1000n 500(n1)n S23001 3002 3003 3002n 300(2n1)n 由 S2S1，即：300(2n1)n500(n1)n 解得：n2 从第 3 年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多 当 n10 时，由得：S1500101155000 S2300102163000 S2S18000 在该公司干10 年，选第二种方案比选第一种方案多加工资8000 美元 若第二种方案中的300 美元改成 a 美元则12San(2n1)nN*a12)1(500nn250
7、12250n250 325031000变式训练 4.假设某市 2004 年新建住房400 万平方米,其中有 250 万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中第-4-页 共 4 页低价房的面积均比上一年增加50 万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004 年为累计的第一年)将首次不少于4750 万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?解：(1)设中低价房面积形成数列an,由题意可知 an是等差数列,其中 a1=250,d=50,则 Sn=250n+502
8、)1(nn=25n2+225n,令 25n2+225n4750,即 n2+9n-1900,而 n 是正整数,n10.到 2013 年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750 万平方米.(2)设新建住房面积形成数列bn,由题意可知 bn是等比数列,其中 b1=400,q=1.08,则 bn=400(1.08)n-1 0.85.由题意可知an0.85 bn,有 250+(n-1)50400(1.08)n-1 0.85.由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.到 2009 年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.1欲证 an为等差数列，最常见的做法是证明：an1and(d 是一个与 n 无关的常数)2a1，d 是等差数列的最关键的基本量，通常是先求出a1，d，再求其他的量，但有时运算较繁3对等差数列 an的最后若干项的求和，可以把数列各项的顺序颠倒，看成公差为d 的等差数列进行求和4遇到与等差数列有关的实际问题，须弄清是求项的问题还是求和的问题归纳小结