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1、2019-2020 学年湖北省武汉市汉阳区八年级（上）期末数学试卷一、选择题1“2019 武汉军运会”部分体育项目的示意图中是轴对称图形的是（）ABCD2要使分式有意义，则x 的取值范围是（）Ax1Bx1Cx 1Dx 132019 年下半年猪肉价格上涨，是因为猪周期与某种病毒叠加导致，生物学家发现该病毒的直径约为0.000 000 32mm，数据 0.000 000 32 用科学记数法表示正确的是（）A3.2107B32108C3.2107D3.21084下列因式分解正确的是（）A3ax26ax3（ax22ax）Bx2+y2（x+y）（xy）Ca2+2ab4b2（a+2b）2Dax22ax+a
2、a（x1）25下列各式与相等的是（）ABCD6如图等边 ABC 边长为 1cm，D、E 分别是 AB、AC 上两点，将 ADE 沿直线 DE 折叠，点 A 落在 A处，A 在 ABC 外，则阴影部分图形周长为（）A1cmB1.5cmC2cmD3cm7对于任何整数m，多项式（4m+5）29 都能（）A被 8 整除B被 m 整除C被（m1）整除D被（2m1）整除8若 a2+2ab+b2 c2 10，a+b+c5，则 a+bc 的值是（）A2B5C20D99如图，ACB 和 ECD 都是等腰直角三角形，CA CB6，CE CD，ACB 的顶点A 在 ECD 的斜边 DE 上，若 AE：AD1：2，则
3、两个三角形重叠部分的面积为（）A6B9C12D1410已知 a，b 为实数且满足a 1，b 1，设 M+，N+若 ab1 时，MN 若 ab1 时，MN 若 ab1 时，MN 若 a+b 0，则 M?N0则上述四个结论正确的有（）个A1B2C3D4二、填空题（每题3 分，共 18 分）11分式的值为 0，则 x 的值是12已知等腰三角形的一边长等于4cm，一边长等于9cm，它的周长为13若 4?2n2，则 n14分式方程的解是15如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形ABC，其中 B，C 的坐标分别为（1，0）和 C（2，0）若在无滑动的情况下，将这个正三角形沿着x 轴向右滚动，则在滚动的过
4、程中，这个正三角形的顶点A，B，C 中，会过点（2020，1）的是点16如图，在 ABC 中，CAB 30，ACB 90，AC3，D 为 AB 的中点，E 为线段 AC 上任意一点（不与端点重合），当E 点在线段AC 上运动时，则DE+CE 的最小值为三、解答题（共8 个小题，共72 分）17（1）计算：a3?a4?a+（a2）4+（2a4）2（2）因式分解：9x2y+6xy+y18已知；如图，ADBC，ACBD，求证：AEEB19（l）化简：（2）先化简（）?，再取一个适当的数代入求值20如图，ABC 三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）（1）若 A1B1C1与 AB
5、C关于y 轴成轴对称，则A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1，B1，C1；（2）若 P 为 x 轴上一点，则PA+PB 的最小值为；（3）计算 ABC 的面积21我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式例如由图1 可以得到 a2+3ab+2b2（a+2b）（a+b）请回答下列问题（1）写出图 2 中所表示的数学等式是；（2）如图 3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么？（用含有x，y 的式子表示）（3）通过上述的等量关系，我们可知当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越（填“大“或“小“）；当两个正数
6、的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越（填“大”或“小”）22某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10 元，用480 元购买乙种树苗的棵数恰好与用360 元购买甲种树苗的棵数相同（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50 棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过 1500 元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？23如图，在等边ABC 中，点 D，E 分别是 AC，AB 上的动点，且AECD，BD 交
7、CE于点 P（1）如图 1，求证：BPC120；（2）点 M 是边 BC 的中点，连接PA，PM 如图 2，若点 A，P，M 三点共线，则AP 与 PM 的数量关系是 若点 A，P，M 三点不共线，问 中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由24已知 ABC 中，如果过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC 的关于点B 的二分割线 例如：如图1，Rt ABC 中 A 90，C20，若过顶点B 的一条直线BD 交 AC 于点 D，若 DBC20，显然直线BD 是 ABC 的关于点B 的二分割线（1）在图 2
8、的 ABC 中，C20，ABC110，请在图2 中画出 ABC 关于点B 的二分割线，且DBC 角度是（2）已知 C20，在图 3 中画出不同于图1，图 2 的 ABC，所画 ABC 同时满足：C 为最小角；存在关于点B 的二分割线，BAC 的度数是（3）已知 Ca，ABC 同时满足：C 为最小角；存在关于点B 的二分割线，请求出BAC 的度数（用a 表示）参考答案一、选择题（每小题3 分，共 30 分）1“2019 武汉军运会”部分体育项目的示意图中是轴对称图形的是（）ABCD【分析】根据轴对称图形的定义进行分析即可解：A不是轴对称图形，故本选项不合题意；B不是轴对称图形，故本选项不符合题意
9、；C是轴对称图形，故本选项符合题意；D不是轴对称图形，故本选项不合题意；故选：C2要使分式有意义，则x 的取值范围是（）Ax1Bx1Cx 1Dx 1【分析】分式有意义的条件是分母不等于零解：分式有意义，x10解得；x1故选：B32019 年下半年猪肉价格上涨，是因为猪周期与某种病毒叠加导致，生物学家发现该病毒的直径约为0.000 000 32mm，数据 0.000 000 32 用科学记数法表示正确的是（）A3.2107B32108C3.2107D3.2108【分析】绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左
10、边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定解：0.000 000 323.2107故选：C4下列因式分解正确的是（）A3ax26ax3（ax22ax）Bx2+y2（x+y）（xy）Ca2+2ab4b2（a+2b）2Dax22ax+aa（x1）2【分析】根据分解因式的步骤：先提公因式，再用公式法进行分解，可得答案解：A、3ax26ax3ax（x2），故原题分解错误；B、x2+y2不能分解，故原题分解错误；C、a2+2ab4b2不能分解，故原题分解错误；D、ax22ax+a a（x22x+1）a（x1）2，故原题分解正确；故选：D5下列各式与相等的是（）ABCD【分析】根据分式的基本性质：分式的
11、分子与分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值不变，逐项判断即可解：，选项 A 不符合题意；，选项 B 符合题意；，选项 C 不符合题意；，选项 D 不符合题意故选：B6如图等边 ABC 边长为 1cm，D、E 分别是 AB、AC 上两点，将 ADE 沿直线 DE 折叠，点 A 落在 A处，A 在 ABC 外，则阴影部分图形周长为（）A1cmB1.5cmC2cmD3cm【分析】由题意得AEAE，AD A D，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长解：将 ADE 沿直线 DE 折叠，点A 落在点 A处，所以 ADAD，AEA E则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+AD+AE，
12、BC+BD+CE+AD+AE，BC+AB+AC，3cm故选：D7对于任何整数m，多项式（4m+5）29 都能（）A被 8 整除B被 m 整除C被（m1）整除D被（2m1）整除【分析】将该多项式分解因式，其必能被它的因式整除解：（4m+5）29（4m+5）232，（4m+8）（4m+2），8（m+2）（2m+1），m 是整数，而（m+2）和（2m+1）都是随着m 的变化而变化的数，该多项式肯定能被8 整除故选：A8若 a2+2ab+b2 c2 10，a+b+c5，则 a+bc 的值是（）A2B5C20D9【分析】根据完全平方公式和平方差公式将a2+2ab+b2c210 的左边因式分解得到（a+b
13、+c）（a+bc）10，再将 a+b+c5 整体代入即可求解解：a2+2ab+b2c2 10，（a+b）2c2 10，（a+b+c）（a+bc）10，a+b+c5，5（a+b c）10，解得 a+bc2故选：A9如图，ACB 和 ECD 都是等腰直角三角形，CA CB6，CE CD，ACB 的顶点A 在 ECD 的斜边 DE 上，若 AE：AD1：2，则两个三角形重叠部分的面积为（）A6B9C12D14【分析】设 AB 交 CD 于 O，连接 BD，证明 ECA DCB（SAS），得出 E CDB45，AEBD，作 OMDE 于 M，ONBD 于 N求出 ABC 的面积再求出OA与 OB 的比
14、值即可解决问题解：设 AB 交 CD 于 O，连接 BD，作 OMDE 于 M，ONBD 于 N，如图所示：ECD ACB90，ECA DCB，在 ECA 和 DCB 中，ECA DCB（SAS），E CDB 45，AEBD，EDC 45，CDB EDC，AE：AD1：2，BD：AD1：2，在 Rt ADB 中，CACB6，SABC66 18，OD 平分 ADB，OM DE 于 M，ONBD 于 N，OMON，2，SAOC1812；故选：C10已知 a，b 为实数且满足a 1，b 1，设 M+，N+若 ab1 时，MN 若 ab1 时，MN 若 ab1 时，MN 若 a+b 0，则 M?N0则
15、上述四个结论正确的有（）个A1B2C3D4【分析】根据分式的加法法则计算即可得结论；根据分式的加法法则计算即可得结论；根据分式的加法法则计算即可得结论；根据方式的乘法运算法则计算，再进行分类讨论即可得结论解：M+，N+，MNM+（+）+，当 ab1 时，MN0，MN，故 正确；当 ab1 时，2ab2，2ab2 0，当 a0 时，b0，（a+1）（b+1）0 或（a+1）（b+1）0，MN0 或 M N 0，MN 或 MN，故 错误；当 ab1 时，a 和 b 可能同号，也可能异号，（a+1）（b+1）0 或（a+1）（b+1）0，而 2ab20，MN 或 MN，故 错误；M?N（+）?（+）
16、+，a+b0，原式+，a 1，b 1，（a+1）2（b+1）20，a+b0ab0，M?N0，故 正确故选：B二、填空题（每题3 分，共 18 分）11分式的值为 0，则 x 的值是1【分析】根据分式的值为零的条件得到x10 且 x0，易得 x1解：分式的值为 0，x10 且 x0，x1故答案为112已知等腰三角形的一边长等于4cm，一边长等于9cm，它的周长为22cm【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4cm 和 9cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形解：分两种情况：当腰为 4时，4+49，所以不能构成三角形；当腰为 9时，9+94，9
17、94，所以能构成三角形，周长是：9+9+422故答案为：22cm13若 4?2n2，则 n1【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂相乘，底数不变，指数相加解：4?2n22?2n22+n2，2+n1，解得 n 1故答案为：114分式方程的解是x9【分析】观察可得最简公分母是x（x3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解解：方程的两边同乘x（x3），得3x92x，解得 x9检验：把x9 代入 x（x3）540原方程的解为：x9故答案为：x915如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形ABC，其中 B，C 的坐标分别为（1，0）和 C（2，0）若在无滑动的情况下，将这个
18、正三角形沿着x 轴向右滚动，则在滚动的过程中，这个正三角形的顶点A，B，C 中，会过点（2020，1）的是点A，C【分析】先作直线y1，以 C 为圆心以1 为半径作圆，发现在第一次滚动过程中，点 A、B 经过点（2，1），同理可得，再根据每3 个单位长度正好等于正三角形滚动一周即可得出结论解：由题意可知：第一次滚动：点A、B 经过点（2，1），第二次滚动：点B、C 经过点（3，1），第三次滚动：点A、C 经过点（4，1），第四次滚动：点A、B 经过点（5，1），发现，每三次一循环，所以（20201）3673，这个正三角形的顶点A、B、C 中，会过点（2020，1）的是点A、C，故答案为：A，C
19、16如图，在 ABC 中，CAB 30，ACB 90，AC3，D 为 AB 的中点，E 为线段 AC 上任意一点（不与端点重合），当E 点在线段AC 上运动时，则DE+CE 的最小值为【分析】可以作 CG AB 构造 GCA CAB 30，再过点 D 作 DF CG 交 AC 于点E，得 EF CE，所以 DE+CEDE+EFDF 最小，根据特殊角三角函数值即可求得 DF 的长解：如图，在 ABC 中，CAB 30，ACB 90，AC3，作 CGAB GCA CAB30过点 D 作 DF CG 交 AC 于点 E，EFCE所以 DE+CEDE+EFDF 最小，CAB 30，ACB 90，AC3
20、，AB2D 为 AB 的中点，CDADAB DCF 60DF DC?cos60所以 DE+CE 的最小值为故答案为三、解答题（共8 个小题，共72 分）17（1）计算：a3?a4?a+（a2）4+（2a4）2（2）因式分解：9x2y+6xy+y【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法法则和积的乘方法则分别计算，再合并同类项即可；（2）先提取公因式，再套用完全平方公式解：（1）a3?a4?a+（a2）4+（2a4）2a8+a8+4a86a8；（2）9x2y+6xy+yy（9x2+6x+1）y（3x+1）218已知；如图，ADBC，ACBD，求证：AEEB【分析】首先利用SSS定理证明 ADB BCA
21、，再根据全等三角形对应角相等可得CAB DBA，再根据等角对等边可得AEBE【解答】证明；在ABD 和 BAC 中，ADB BCA（SSS），CAB DBA，AE BE19（l）化简：（2）先化简（）?，再取一个适当的数代入求值【分析】（1）根据分式的加减运算法则计算，再约分即可得；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x 的值代入计算可得解：（1）原式；（2）原式?3x+3x+12x+4，当 x2 时，原式4+4 820如图，ABC 三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）（1）若 A1B1C1与 ABC 关于 y 轴成轴对称，则 A1B1
22、C1三个顶点坐标分别为：A1（1，1），B1（4，2），C1（3，4）；（2）若 P 为 x 轴上一点，则PA+PB 的最小值为3；（3）计算 ABC 的面积【分析】（1）分别作出点A，B，C 关于 x 轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；（2）作出点 A 的对称点，连接AB，则 AB 与 x 轴的交点即是点P 的位置，则PA+PB的最小值 A B，根据勾股定理即可得到结论；（3）根据三角形的面积公式即可得到结论解：（1）如图所示，A1B1C1即为所求，由图知，A1的坐标为（1，1）、B1的坐标为（4，2）、C1的坐标为（3，4）；（2）如图所示：作出点 A 的对称点，连接AB，则 AB 与 x
23、 轴的交点即是点P 的位置，则 PA+PB 的最小值 AB，AB 3，PA+PB 的最小值为3；（3）ABC 的面积 33311223，故答案为：（1，1），（4，2）（3，4），521我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式例如由图1 可以得到 a2+3ab+2b2（a+2b）（a+b）请回答下列问题（1）写出图 2 中所表示的数学等式是2a2+5ab+2b2（2a+b）（a+2b）；（2）如图 3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么？（用含有x，y 的式子表示）4xy（x+y）2（xy）2（3）通过上述的等
24、量关系，我们可知当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越大（填“大“或“小“）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越小（填“大”或“小”）【分析】（1）图 b面积有两种求法，可以由长为2a+b，宽为 a+2b 的矩形面积求出，也可以由两个边长为a 与边长为b 的两正方形，及4 个长为 a，宽为 b 的矩形面积之和求出，表示即可；（2）阴影部分的面积可以由边长为x+y 的大正方形的面积减去边长为xy 的小正方形面积求出，也可以由4 个长为 x，宽为 y 的矩形面积之和求出，表示出即可；（3）两正数和一定，则和的平方一定，根据等式4xy（x+y）2（xy）2，得到被减数一定
25、，差的绝对值越小，即为减数越小，得到差越大，即积越大；当两正数积一定时，即差的绝对值越小，得到减数越小，可得出被减数越小；解：（1）2a2+5ab+2b2（2a+b）（a+2b）；（2）4xy（x+y）2（xy）2；（3）当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小则和越小；故答案为：2a2+5ab+2b2（2a+b）（a+2b），4xy（x+y）2（xy）2，大，小22某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10 元，用480 元购买乙种树苗的棵数恰好与用360 元购买甲种树苗
26、的棵数相同（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50 棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过 1500 元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？【分析】（1）可设甲种树苗每棵的价格是x 元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用 480 元购买乙种树苗的棵数恰好与用360 元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；（2）可设他们可购买y 棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500 元，列出不等式求解即可解：（1）设甲种树苗每棵的价格
27、是x 元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，依题意有，解得：x30经检验，x30 是原方程的解，x+1030+1040答：甲种树苗每棵的价格是30 元，乙种树苗每棵的价格是40 元（2）设他们可购买y 棵乙种树苗，依题意有30（110%）（50y）+40y1500，解得 y11，y 为整数，y 最大为 11答：他们最多可购买11 棵乙种树苗23如图，在等边ABC 中，点 D，E 分别是 AC，AB 上的动点，且AECD，BD 交 CE于点 P（1）如图 1，求证：BPC120；（2）点 M 是边 BC 的中点，连接PA，PM 如图 2，若点 A，P，M 三点共线，则AP 与 PM 的数量关
28、系是AP2PM 若点 A，P，M 三点不共线，问 中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由【分析】（1）由“SAS”可证 AEC CDB，可得 ACE CBD，由三角形的内角和定理可得结论；（2）由等边三角形的性质和已知条件得出BAC ABC ACB 60，AM BC，BAP CAP BAC 30，得出 PBPC，由等腰三角形的性质得出PBCPCB30，得出 PC 2PM，证出 ACP 60 30 30 CAP，得出 AP PC，即可得出AP2PM；延长 BP 至 H，使 PHPC，连接 AH、CH，延长 PMMN，连接 CN，由“SAS”可证 ACH BCP，可得 AH BP
29、，AHC BPC120，由“SAS”可证 CMN BMP，可得CNBPAH，NCM PBM，由“SAS”可证 AHP NCP，可得 APPN2PM；【解答】证明：（1）ABC 是等边三角形，AB ACBC，A ABC ACB60，且 AECD，AEC CDB（SAS）ACE CBD，BPC+DBC+BCP 180，BPC+ACE+BCP 180，BPC180 ACB 120；（2）AP2PM，理由如下：ABC 是等边三角形，点M 是边 BC 的中点，BAC ABC ACB 60，AM BC，BAP CAP BAC 30，PB PC，BPC120，PBC PCB30，在 Rt PMC 中，PC2
30、PM，ACP60 30 30 CAP，AP PC，AP 2PM；故答案为：AP2PM；仍然成立，理由如下：延长BP 至 H，使 PH PC，连接 AH、CH，延长 PM MN，连接 CN，如图 3 所示：则 CPD 180 BPC60，PCH 是等边三角形，CH PHPC，PCH PHC60，ABC 是等边三角形，BC AC，ACB 60 PCH，BCP ACH，且 ACBC，CPCH，ACH BCP（SAS），AH BP，AHC BPC 120，AHP 120 60 60，点 M 是边 BC 的中点，CMBM，且 MN PM，CMN PMB，CMN BMP（SAS），CNBPAH，NCM P
31、BM，CNBP，NCP+BPC 180，NCP 60 AHP，且 CNAH，CPPH AHP NCP（SAS），AP PN2PM24已知 ABC 中，如果过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC 的关于点B 的二分割线 例如：如图1，Rt ABC 中 A 90，C20，若过顶点B 的一条直线BD 交 AC 于点 D，若 DBC20，显然直线BD 是 ABC 的关于点B 的二分割线（1）在图 2 的 ABC 中，C20，ABC110，请在图2 中画出 ABC 关于点B 的二分割线，且DBC 角度是20（2）已知 C20，在图
32、 3 中画出不同于图1，图 2 的 ABC，所画 ABC 同时满足：C 为最小角；存在关于点B 的二分割线，BAC 的度数是35（3）已知 Ca，ABC 同时满足：C 为最小角；存在关于点B 的二分割线，请求出BAC 的度数（用a 表示）【分析】（1）首先了解二分割线的定义，然后把ABC 分成 90角和 20角即可；（2）可以画出 A35的三角形；（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解解：（1）如图所示：DBC20，故答案为：20（2）如图所示：BAC35故答案为：35；（3）如图，若 ABC 是最大角时，DBC 是等腰三角形，ABD 是直角三角形，DB DC，C DBC ，ADB 2，且 ABD 90，BAC 90 2，如图，ABD 是等腰三角形，DBC 是直角三角形，BDC 90 ，且 AD BD，BAC DBA 45，若 BAC 是 90，满足题意，故 BAC 90或 90 2或 45