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1、2019-2020 学年高二第二学期期中数学试卷（理科）一、选择题（共12 小题）.1已知 i 是虚数单位，则复数z=4+3?3-4?的虚部是（）A0BiC iD12右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是（）A2B4C6D83点 P 的极坐标是(?，?6)，则在以极点为原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系中，点 P 的直角坐标是（）A(?，?)B(?，?)C(?，?)D(?，?)4已知数列 an满足 an+1=14?，若 a4+a5 2，则 a3+a4（）A12B1C4D85已知命题p 为?x R，5x2 2x+20，则命题
2、p 的否定为（）A?x R，5x22x+20B?x R，5x22x+20C?x R，5x22x+20D?x R，5x22x+206在三棱锥PABC 中，PAPBPC 2，且 PA，PB，PC 两两互相垂直，则三棱锥PABC 的外接球的体积为（）A4?B8?C16?D2?7阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入n 的值为 6，则输出S的值为（）A37B49C67D898已知 P 是 ABC 所在平面内点，?+?+?=?，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC 内的概率是（）A14B13C12D239过抛物线y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于A，B 两点，若 A，B 两点的横坐标之和
3、为 3，则|AB|（）A133B143C5D16310已知偶函数f（x）的定义域为(-?2，?2)，其导函数为f（x），当?2时，有 f（x）cosx+f（x）sinx0 成立，则关于x 的不等式?(?)?(?3)?的解集为（）A(?，?3)B(?3，?2)C(-?3，?)(?，?3)D(-?2，-?3)(?3，?2)11已知离心率为2 的双曲线C：?2?2-?2?2=?(?)的左右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），直线?=33(?+?)与双曲线C 在第一象限的交点为P，PF1F2的角平分线与 PF2交于点 Q，若|PF2|PQ|，则 的值是（）A43-43B43-13C233D3+2
4、3312已知函数f（x）ex-12?+?，若 x R 时，恒有f（x）3x2+ax+b，则 ab+b 的最大值为（）A?B?2C?2De二、填空题（每小题5 分，共 20 分）13从 1，2，3，9 这 9 个正整数中选择两个，使其和为奇数，则不同的选择方法种数是14 函数 f（x）alnx x 的图象在 x1处的切线方程为yx b，则 a，b15已知 P 是直线 kx+4y100（k0）上的动点，PA，PB 是圆 C：x2+y22x+4y+40的两条切线，A，B 是切点，C 是圆心，若四边形PACB 的面积的最小值为?，则 k 的值为16已知f（x）=|?|?（x R），若关于x 的方程 f
5、2（x）kf（x）+k10 恰好有 4 个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为三、解答题（共70 分）17命题 p：不等式x2（a+1）x+10 的解集是R命题 q：函数 f（x）（a+1）x在定义域内是增函数若pq 为假命题，p q 为真命题，求a 的取值范围18目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500 名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”（1）求这 500 名患者潜伏期的平均
6、数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500 名患者中“长潜伏者”的人数；（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述 500 名患者中抽取300 人，得到如表表格（i）请将表格补充完整；短潜伏者长潜伏者合计60 岁及以上9060 岁以下140合计300（ii）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，现需在样本中60 岁以下的140名患者中按分层抽样方法抽取7 人做 I 期临床试验，再从选取的7 人中随机抽取两人做期临床试验，求两人中恰有1 人为“长潜伏者”的概率19 如图，在四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，M 为 P
7、D 的中点，PA底面 ABCD，PAAD 4，AB 2（1）求证：AM 平面 MCD；（2）求钝二面角B PCD 的余弦值20在直角坐标系xOy 中，已知直线l 过点 P（2，2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 cos2 4cos 0（1）求 C 的直角坐标方程；（2）若 l 与 C 交于 A，B 两点，求|?|-|?|?|?|?|的最大值21已知椭圆C：?2?2+?2?2=1（ab0）经过（1，1）与（62，32）两点（）求椭圆C 的方程；（）过原点的直线l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，椭圆C 上一点 M 满足|MA|MB|求证：1|?|2+1|
8、?|2+2|?|2为定值22已知函数h（x）alnx+x2（a+2）x，g（x）（a1）lnx+（1+a）x24x（1）讨论 h（x）的单调性；（2）设函数 f（x）h（x）g（x），若 yf（x）有两个零点x1，x2，（i）求 a 的取值范围；（ii）证明：x1+x22?参考答案一、选择题（每小题5 分，共 60 分）1已知 i 是虚数单位，则复数z=4+3?3-4?的虚部是（）A0BiC iD1【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出解：复数z=4+3?3-4?=(4+3?)(3+4?)(3-4?)(3+4?)=25?25=i 的虚部是 1故选：D2右边所示的三角形数组是我国古代数学
9、家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是（）A2B4C6D8【分析】由杨辉三角形中的已知数据，知：每一行的第一个数和最后一个数都是1，其余的数总是上一行对应的两个数的和，从而求得a 的值解：杨辉三角形中，每一行的第一个数和最后一个数都是1，首尾之间的数总是上一行对应的两个数的和，a3+3 6；故选：C3点 P 的极坐标是(?，?6)，则在以极点为原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系中，点 P 的直角坐标是（）A(?，?)B(?，?)C(?，?)D(?，?)【分析】直接利用直角坐标和极坐标和直角坐标的应用求出结果解：直接利用?=?=?，解得 x=?6=?，y4?
10、6=?，故选：A4已知数列 an满足 an+1=14?，若 a4+a5 2，则 a3+a4（）A12B1C4D8【分析】判断数列是等比数列，求出公比，然后利用等比数列的性质求解即可解：数列 an满足 an+1=14?，所以数列是等比数列，公比为14，a4+a52，则 a3+a4=1?（a4+a5）428故选：D5已知命题p 为?x R，5x2 2x+20，则命题p 的否定为（）A?x R，5x22x+20B?x R，5x22x+20C?x R，5x22x+20D?x R，5x22x+20【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p 为?x R
11、，5x22x+20，则命题 p 的否定为：?x R，5x22x+2 0故选：C6在三棱锥PABC 中，PAPBPC 2，且 PA，PB，PC 两两互相垂直，则三棱锥PABC 的外接球的体积为（）A4?B8?C16?D2?【分析】以PA、PB、PC 为过同一顶点的三条棱，作正方体如图，则正方体的外接球同时也是三棱锥PABC 外接球算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥PABC 外接球的表面积解：以 PA、PB、PC 为过同一顶点的三条棱，作正方体如图，则正方体的外接球同时也是三棱锥PABC 外接球正方体的对角线长为2?，球直径为2?，半径 R=?，因此，三棱锥PABC 外
12、接球的体积为：43 R3=43（?）34?故选：A7阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入n 的值为 6，则输出S的值为（）A37B49C67D89【分析】由图知，每次进入循环体后，S 的值被施加的运算是SS+1?2-1，故由此运算规律进行计算，当i8 时不满足条件i6，退出循环，输出S 的值即可解：由题意，模拟执行程序，可得：n 6，i2，S0满足条件i6，S0+13=13，i 4满足条件i6，S=13+115，i 6满足条件i6，S=13+115+135，i8不满足条件i6，退出循环，输出S的值为13+115+135=37故选：A8已知 P 是 ABC 所在平面内点，?+?+?=?，现将一
13、粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC 内的概率是（）A14B13C12D23【分析】推导出点P 到 BC 的距离等于A 到 BC 的距离的12从而 SPBC=12SABC由此能求出将一粒黄豆随机撒在ABC 内，黄豆落在PBC 内的概率解：以 PB、PC 为邻边作平行四边形PBDC，则?+?=?，?+?+?=?，?+?=-?，?=-?，P 是 ABC 边 BC 上的中线AO 的中点，点 P 到 BC 的距离等于A 到 BC 的距离的12SPBC=12SABC将一粒黄豆随机撒在ABC 内，黄豆落在PBC 内的概率为：P=?=12故选：C9过抛物线y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于A，B
14、两点，若 A，B 两点的横坐标之和为 3，则|AB|（）A133B143C5D163【分析】利用抛物线的性质得出：|AB|AF|+|BF|xA+xB+p求解即可解：抛物线的准线方程为x 1，设 A，B 的横坐标分别为xA，xB，则 xA+xB3|AF|xA+1，|BF|xB+1|AB|AF|+|BF|xA+xB+25故选：C10已知偶函数f（x）的定义域为(-?2，?2)，其导函数为f（x），当?2时，有 f（x）cosx+f（x）sinx0 成立，则关于x 的不等式?(?)?(?3)?的解集为（）A(?，?3)B(?3，?2)C(-?3，?)(?，?3)D(-?2，-?3)(?3，?2)【分
15、析】令g（x）=?(?)?，结合题意求导分析可得函数g（x）在（0，?2）上为减函数，判断函数g（x）为偶函数，进而将不等式f（x）2f（?3）cosx 转化为 g（x）g（?3），结合函数的定义域、单调性和奇偶性可得?3|x|?2，求解得答案解：令 g（x）=?(?)?，则 g（x）=?(-?)?(-?)=?(?)?，可得 g（x）为偶函数，其导数为g（x）=?(?)?+?(?)?2?，又由 0 x?2时，有 f（x）cosx+f（x）sinx0，则有 g（x）0，则函数 g（x）在（0，?2）上为减函数，又偶函数f（x）为定义在(-?2，?2)上的函数，?(?)?(?3)?(?)?2f（?
16、3）=?(?3)?3，即有 g（x）g（?3），又由 g（x）为偶函数且在（0，?2）上为减函数，且其定义域为（-?2，?2），则有?3|x|?2，解得-?2x-?3或?3x?2，不等式?(?)?(?3)?的解集为(-?2，-?3)(?3，?2)故选：D11已知离心率为2 的双曲线C：?2?2-?2?2=?(?)的左右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），直线?=33(?+?)与双曲线C 在第一象限的交点为P，PF1F2的角平分线与 PF2交于点 Q，若|PF2|PQ|，则 的值是（）A43-43B43-13C233D3+233【分析】先根据角平分线性质以及双曲线的定义求出三角形PF1F2
17、的三边长，再结合余弦定理即可求解解：直线?=33(?+?)；所以其过左焦点，且PF1F230；如图：；PF1F2的角平分线与PF2交于点 Q，且|PF2|PQ|，|?1|?1?2|=|?|?2|=1?-1?|PF1|=1?-12c；离心率为2=?c2a?|PF2|PF1|2a=(3-?)?-1；cosPF1F2=|?1|2+|?1?2|2-|?2|22|?1|?1?2|?32=(2?-1)2+(2?)2-(3-?)?-1222?-1 2?=4(1?-1)2+4-(3-?-1)281?-1；?32=4+4(?-1)2-(3-?)28(?-1)=3?2-2?-18(?-1)=3?+18?=43-1
18、3故选：B12已知函数f（x）ex-12?+?，若 x R 时，恒有f（x）3x2+ax+b，则 ab+b 的最大值为（）A?B?2C?2De【分析】求得f（x）的导数，可得ex xax+b 恒成立，即bexx ax 恒成立，设g（x）exx ax，求得 g（x）的导数，讨论a 的范围，求得g（x）的最小值，可得b的范围，再由不等式的性质，可得ab+b（1+a）2（1+a）2ln（1+a），设 m1+a，m0，h（m）m2m2lnm，求得导数和单调性、极值和最值，即可得到所求最大值解：f（x）ex-12?+?的导数为f（x）exx+3x2，x R 时，恒有f（x）3x2+ax+b，即为 exx
19、ax+b 恒成立，可得 bexxax 恒成立，设 g（x）exx ax，可得 bg（x）min恒成立，由 g（x）ex（1+a），当1+a0，即 a 1 时，g（x）0，g（x）递增，g（x）无最小值；当 1+a0，即 a 1 时，xln（1+a）时，g（x）0，g（x）递增；当 xln（1+a）时，g（x）0，g（x）递减，可得 g（x）在 xln（1+a）处取得极小值，且为最小值1+a（1+a）ln（1+a），可得 b1+a（1+a）ln（1+a），由 1+a0，可得 ab+b（1+a）2（1+a）2ln（1+a），设 m1+a，m0，h（m）m2m2lnm，h（m）2m 2mlnm mm
20、2mlnm m（12lnm），当 m?时，h（m）0，h（m）递减；0m?时，h（m）0，h（m）递增，可得 m=?处 h（m）取得极大值，且为最大值12e，则 ab+b12e，即 ab+b 的最大值为12e故选：C二、填空题（每小题5 分，共 20 分）13从 1，2，3，9 这 9 个正整数中选择两个，使其和为奇数，则不同的选择方法种数是20【分析】显然，要使和为奇数，只需两个数一奇一偶，由此利用分步计数原理可求解解：奇数数字为1，3，5，7，9，共 5 个；偶数数字为2，4，6，8所以要使选出的两数之和为奇数，只需奇数、偶数各有一个：共有?=?种故答案为：2014 函数 f（x）alnx
21、 x 的图象在 x1 处的切线方程为yxb，则 a2，b2【分析】求出函数f（x）在 x 1 时的导数ya1，利用切线方程得到a 11，进而求出 a，将切点（1，1）代入切线方程可得b解：由题意得y=?-1，当 x 1 时，y 1，y=?-1a 1，因为切线方程为yx b，所以 a 11，则 a2，又因为切点为（1，1），代入yx b，得 b2，故答案为：2，215已知 P 是直线 kx+4y100（k0）上的动点，PA，PB 是圆 C：x2+y22x+4y+40的两条切线，A，B 是切点，C 是圆心，若四边形PACB 的面积的最小值为?，则 k 的值为3【分析】由S四边形PACBSPAC+S
22、PBC，当|PC|取最小值时，|PA|PB|取最小值，即SPACSPBC取最小值，此时CPl，点到直线的距离公式列式求得k 值解：圆的标准方程为（x1）2+（y+2）21，则圆心为C（1，2），半径为1，则直线与圆相离，如图，S 四边形PACBSPAC+SPBC，而 SPAC=12|PA|?|CA|=12|PA|，SPBC=12|PB|?|CB|PB|，又|PA|PB|=|?|?-?，当|PC|取最小值时，|PA|PB|取最小值，即 SPACSPBC取最小值，此时，CPl，四边形 PACB 面积的最小值为2?，SPACSPBC=?，|PA|2?，则|CP|3，得|?-8+10|?2+16=?，
23、k0，k3故答案为：316已知f（x）=|?|?（x R），若关于x 的方程 f2（x）kf（x）+k10 恰好有 4 个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为(?，?+1?)【分析】求函数的导数，判断函数的取值情况，设mf（x），利用换元法，将方程转化为一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论解：化简可得f（x）=|?|?=?，?-?，?，当 x0 时，f（x）=1-?，当 0 x 1 时，f（x）0，当 x1 时，f（x）0f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）单调递减；当 x0 时，f（x）=?-1?0，f（x）为减函数，函数 f（x）=|?|?在（0，+）上有一个最大值
24、为f（1）=1?，作出函数f（x）的草图如图：设 mf（x），当 m1?时，方程mf（x）有 1 个解，当 m=1?时，方程mf（x）有 2个解，当 0m1?时，方程mf（x）有 3 个解，当 m0 时，方程mf（x），有 1 个解，当 m0 时，方程mf（x）有 0 个解，则方程 f2（x）tf（x）+t10 等价为 m2tm+t10，要使关于x 的方程 f2（x）tf（x）+t10 恰好有 4 个不相等的实数根，等价为方程m2 tm+t 10 有两个不同的根m11?且 0m21?，设 g（m）m2 tm+t1，则?(?)=?-?(1?)=1?2-?+?-?-?2?，解得 1t 1+1?，故
25、选答案为：(?，?+1?)三、解答题（共70 分）17命题 p：不等式x2（a+1）x+10 的解集是R命题 q：函数 f（x）（a+1）x在定义域内是增函数若pq 为假命题，p q 为真命题，求a 的取值范围【分析】由命题 p：不等式 x2（a+1）x+10 的解集是R，可得：0，解得 a 范围由命题 q：函数 f（x）（a+1）x在定义域内是增函数可得a+11，解得a 范围由pq 为假命题，pq 为真命题，可知p，q 一真一假解：命题p：不等式x2（a+1）x+10 的解集是R，（a+1）24 0，解得 3 a1；命题 q：函数 f（x）（a+1）x在定义域内是增函数a+11，解得 a0由
26、 pq 为假命题，pq 为真命题，可知p，q 一真一假，当 p 真 q假时，由 a|3a1a|a0a|3a0；当 p 假 q真时，由 a|a 3，或 a1a|a0a|a1；综上可知a 的取值范围为：a|3a 0，或 a118目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500 名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”（1）求这 500 名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
27、，并计算出这500 名患者中“长潜伏者”的人数；（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述 500 名患者中抽取300 人，得到如表表格（i）请将表格补充完整；短潜伏者长潜伏者合计60 岁及以上9060 岁以下140合计300（ii）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，现需在样本中60 岁以下的140名患者中按分层抽样方法抽取7 人做 I 期临床试验，再从选取的7 人中随机抽取两人做期临床试验，求两人中恰有1 人为“长潜伏者”的概率【分析】（1）由频率分布直方图的性质能求出平均数和500 人中“长潜伏者”的人数（2）（i）由题意能补充完整表格（
28、ii）由分层抽样知7 人中，“短潜伏者”有3 人，记为 a，b，c，“长潜伏者”有 4 人，记为 D，E，F，G，从中抽取2 人，利用列举法能求出两人中恰有1 人为“长潜伏者”的概率解：（1）平均数x（0.021+0.083+0.155+0.187+0.03 9+0.0311+0.0113）26，“长潜伏者”即潜伏期时间不低于6 天的频率为0.5，所以 500 人中“长潜伏者”的人数为5000.5250 人；（2）（i）由题意补充后的表格如图：短潜伏者长潜伏者合计60 岁及以上907016060 岁以下6080140合计150150300（ii）由分层抽样知7 人中，“短潜伏者”有3 人，记为
29、 a，b，c，“长潜伏者”有 4 人，记为 D，E，F，G，从中抽取2 人，共有 21 种不同结果，分别为：（a，b），（a，c），（a，D），（a，E），（a，F），（a，G），（b，c），（b，D），（b，E），（b，F），（b，G），（c，D），（c，E），（c，F），（c，G），（D，E），（D，F），（D，G），（E，F），（E，G），（F，G），两人中恰好有1 人为“长潜伏者”包含了12 种结果所以两人中恰有1 人为“长潜伏者”的概率为?=1221=4719 如图，在四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，M 为 PD 的中点，PA底面 ABCD，PAAD 4，AB 2（1）
30、求证：AM平面MCD；（2）求钝二面角B PCD 的余弦值【分析】（1）推导出 PACDADCD，从而 CD平面 PAD，CDAM AM MD，由此能证明AM 平面 MCD（2）分别以射线AB、AD、AP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出钝二面角BPC D 的余弦值解：（1）证明：PA平面 ABCD，PACD四边形ABCD 是矩形，所以AD CD，由?=?平面?，CDAM PAAD，M 为 PD 的中点，AM MD由?=?平面?故 AM 平面 MCD（2）解：由已知PA，AB，AD 三条直线两两垂直，于是可以分别以射线AB、AD、AP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立
31、空间直角坐标系则 B（2，0，0），P（0，0，4），C（2，4，0），D（0，4，0），所以?=(?，?，-?)，?=(?，?，-?)，?=(?，?，-?)，设平面 BPC 的法向量为?=(?，?，?)，则?=?=?-?=?+?-?=?=?+?=?，令 z1，则?=(?，?，?)设平面 PCD 的法向量为?=(?，?，?)，则?=?=?+?-?=?-?=?+?=?=?，令 z1，则?=(?，?，?)?，?=?|?|?|?|=15?2=1010设二面角B PCD 的平面角为，由已知为钝角，钝二面角BPCD 的余弦值?=-101020在直角坐标系xOy 中，已知直线l 过点 P（2，2）以坐标原
32、点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 cos2 4cos 0（1）求 C 的直角坐标方程；（2）若 l 与 C 交于 A，B 两点，求|?|-|?|?|?|?|的最大值【分析】（1）曲线 C 的极坐标方程为 cos2 4cos 0即 2 2cos2 4 cos 0，把互化公式代入可得普通方程（2）设直线 l 的倾斜角为，0可得参数方程为：?=?+?=?+?（t 为参数），代入抛物线方程可得：t2sin2+（4sin 4cos）t 4 0，把根与系数的关系代入可得|?|-|?|?|?|?|=|?1+?2|?1?2|进而得出最大值解：（1）曲线C 的极坐标方程为 cos
33、2 4cos 0即 22cos2 4 cos 0，把互化公式代入可得：x2+y2x24x0，即 y2 4x（2）设直线 l 的倾斜角为，0可得参数方程为：?=?+?=?+?（t 为参数），代入抛物线方程可得：t2sin2+（4sin 4cos）t40，则 t1+t2=4?-4?2?，t1t2=-4?2?0，|?|-|?|?|?|?|=|?1+?2|?1?2|=|cos sin|?cos（+?4）|?当且仅当=3?4时，等号成立|?|-|?|?|?|?|的最大值为?21已知椭圆C：?2?2+?2?2=1（ab0）经过（1，1）与（62，32）两点（）求椭圆C 的方程；（）过原点的直线l 与椭圆
34、C 交于 A、B 两点，椭圆C 上一点 M 满足|MA|MB|求证：1|?|2+1|?|2+2|?|2为定值【分析】（I）把（1，1）与（62，32）两点代入椭圆方程解出即可（II）由|MA|MB|，知 M 在线段 AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B 关于原点对称 若点 A、B 是椭圆的短轴顶点，则点M 是椭圆的一个长轴顶点；同理，若点A、B 是椭圆的长轴顶点，则点M 在椭圆的一个短轴顶点；直接代入计算即可 若点 A、B、M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为ykx（k0），则直线OM 的方程为?=-1?，设A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆的方程联立解出坐标，即可得到|?|
35、?=|?|?=?+?=3(1+?2)1+2?2，同理|?|?=3(1+?2)2+?2，代入要求的式子即可【解答】解析（）将（1，1）与（62，32）两点代入椭圆C 的方程，得1?2+1?2=?32?2+34?2=?解得?=?=32椭圆 PM2的方程为?23+2?23=?（）由|MA|MB|，知 M 在线段 AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B 关于原点对称 若点 A、B 是椭圆的短轴顶点，则点M 是椭圆的一个长轴顶点，此时1|?|2+1|?|2+2|?|2=1?2+1?2+2?2=?(1?2+1?2)=?同理，若点A、B 是椭圆的长轴顶点，则点M 在椭圆的一个短轴顶点，此时1|?|2+
36、1|?|2+2|?|2=1?2+1?2+2?2=?(1?2+1?2)=?若点 A、B、M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为ykx（k0），则直线 OM 的方程为?=-1?，设 A（x1，y1），B（x2，y2），由?=?23+2?23=?解得?=31+2?2，?=3?21+2?2，|?|?=|?|?=?+?=3(1+?2)1+2?2，同理|?|?=3(1+?2)2+?2，所以1|?|2+1|?|2+2|?|2=21+2?23(1+?2)+2(2+?2)3(1+?2)=2，故1|?|2+1|?|2+2|?|2=2 为定值22已知函数h（x）alnx+x2（a+2）x，g（x）（a1）lnx+（
37、1+a）x24x（1）讨论 h（x）的单调性；（2）设函数 f（x）h（x）g（x），若 yf（x）有两个零点x1，x2，（i）求 a 的取值范围；（ii）证明：x1+x22?【分析】（1）求出函数的导数，通过 当 a0 时，当 a2 时，当 0a2 时，当 a2 时，判断导函数的符号，得到函数的单调区间即可（2）f（x）lnxax2（a2）x，求出导函数，通过（i）若 a0，判断已知不符合，故 a0判断函数的单调性，求出函数的极值，通过设?(?)=-?+1?-?，?，利用函数的导数推出a（0，1）（ii）结合（i）的分析，不妨设?1?，构造函数?(?)=?(?)-?(2?-?)，?2?，判断
38、函数的单调性，求出最值，然后转化求解?+?2?解：（1）?(?)=?+?-(?+?)=(?-1)(2?-?)?，?，当 a0 时，h（x）0?x1，h（x）0?0 x 1；h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；当 a2 时，?(?)=2(?-1)2?，h（x）在（0，+）上单调递增；当 0a2 时，?2?，?(?)?2或?，?(?)?2?，?(?)在(?，?2)和(?，+)上单调递增，在(?2，?)上单调递减；当 a2 时，?2?，?(?)?或?2，?(?)?2，?(?)在(?，?)和(?2，+)上单调递增，在(?，?2)上单调递减；（2）f（x）h（x）g（x）lnx ax
39、2（a2）x，?(?)=1?-?-(?-?)=(?+?)(1?-?)，?（i）若 a 0，则 f（x）0 恒成立，f（x）在（0，+）上递增，所以f（x）至多一个零点，与已知不符合，故 a0a 0 时，?(?)?1?，?(?)?1?，f（x）在(?，1?)上单调递增，在(1?，+)上单调递减，所以 f（x）在?=1?处取得极大值，为?(1?)=?1?-1?-?-2?=-?+1?-?，当 x+时，f（x），当x0+时，f（x），f（x）有两个零点，所以只需极大值?(1?)?，即-?+1?-?，设?(?)=-?+1?-?，?，则?(?)=-1?-1?2?，所以?（a）在（0，+）上单调递减，又?（
40、1）0，所以使得?（a）0 的 a（0，1）（ii）结合（i）的分析，不妨设?1?，设?(?)=?(?)-?(2?-?)，?2?，所以?(?)=?(?)-?(2?-?)=?(?)+?(2?-?)=1?-?-(?-?)+12?-?-?(2?-?)-(?-?)=1?+?2-?-?=2-?+?-2?(2-?)?(2-?)=2(?-1)2?(2-?)当?2?时，F（x）0，F（x）在(?，2?)上单调递增?(1?)=?，且?1?，F（x1）0?(?)?(2?-?)，又 f（x1）f（x2），?(?)?(2?-?)，由?1?，可知 x2与2?-?均属于(1?，+)，又 f（x）在(1?，+)上单调递减，由?(?)?(2?-?)?2?-?，即?+?2?