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1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（广东卷，含答案）-1-/13 2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（广东卷，含答案）本试卷共4 页，21 小题，满分150 分。考试用时120 分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目悬想的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.费选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作
2、答，答案必须写在答题卡个项目指定区域内相应位置上；如需改动，先花掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，在作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式V=13Sh，其中 S是锥体的底面积，h 是锥体的高。一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，满分50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知全集U=R，则正确表示集合M=1，0，1和 N=210 x x关系的韦恩（Venn）图是
3、2下列 n 的取值中，使in=1(i是虚数单位)的是An=2 Bn=3 Cn=4 Dn=5 3已知平面向量a=(x，1)，b=(x，x2)，则向量a+b A 平行于x 轴B平行于第一、三象限的角平分线 C 平行于y 轴 D平行于第二、四象限的角平分线2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（广东卷，含答案）-2-/13 4若函数()yf x是函数x0yaa，且a1的反函数，且(2)1f，则()f x A 2logx B12x C12logx D22x5已知等比数列na的公比为正数，且23952aaa?，2a 1，则1aA12 B22C2D26给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与
4、另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。其中，为真命题的是 A 和 B和 C和 D和7 已 知ABC中，ABC，的 对 边 分 别 为a，b，c。若62ac，且A75，则b A 2 B42 3 C42 3 D628函数()(3)xf xxe的单调递增区间是A,2 B（0，3）C（1，4）D2,9函数22cos14yx是A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的偶函数C最小正周期为2的奇函数 D最小正周期为2的偶函数10广州 20
5、10 年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见右表。若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（广东卷，含答案）-3-/13 A 20.6 B21 C22 D23 二、填空题：本大题共5 小题，考生作答4 小题，每小题5 分，满分20 分。(一)必做题(1113 题)11某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：图 1 是统计该6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填，输出的s=。(注：框图中的赋值符号“=
6、”也可以写成“”或“：=”)12某单位200 名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40 名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1200 编号，并按编号顺序平均分为40 组(15 号，610 号，196200号)。若第 5 组抽出的号码为22，则第 8 组抽出的号码应是。若用分层抽样方法，则 40 岁以下年龄段应抽取人。2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（广东卷，含答案）-4-/13 13以点（2，1）为圆心且与直线6xy相切的圆的方程是_。（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选作一题）14（坐标系与参数方程选做题）若直线1 2,2 3.xtyt（t为参数）与直线
7、41xky垂直，则常数k=_。15(几何证明选讲选做题)如图 3，点 A，B，C是圆O上的点，且4AB，o30ACB，则圆O的面积等于 _。三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16（本小题满分12 分）已知向量sin2a,与1 cosb，互相垂直，其中02，.（1）求sin和cos的值；（2）若5cos5cos,023，求cos的值。2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（广东卷，含答案）-5-/13 17（本小题满分13 分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4 所示。墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDE
8、FGH。图 5、图 6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；（2）求该安全标识墩的体积；（3）证明：直线BD平面PEG.18（本小题满分13 分）随机抽取某中学甲、乙两班各10 名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图7。（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（广东卷，含答案）-6-/13（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10 名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率。19（本小题满分14 分）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴
9、在x轴上，离心率为32，两个焦点分别为F1和2F，椭圆 G上一点到1F和2F的距离之和为12。圆kC：2224210()xykyykR的圆心为点kA。（1）求椭圆G的方程；（2）求12kA F F面积；（3）问是否存在圆kC包围椭圆G？请说明理由。20（本小题满分14 分）已知点1(1,)3是函数()(0,1)xf xaaa且的图像上一点。等比数列na的前 n 项和为()f nc。数列(0)nnbb的首项为c，且前 n 项和ns满足11(2)nnnnssssn（1）求数列na和nb的通项公式；（2）若数列11nnb b的前n项和为nT，问满足nT10002009的最小正整数n是多少？2009
10、年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（广东卷，含答案）-7-/13 21（本小题满分14 分）已知二次函数()yg x的导函数的图像与直线2yx平行，且()yg x在1x处取得极小值1(0)mm。设函数()()g xf xx。（1）若曲线()yf x上的点p到点(0,2)Q的距离的最小值为2，求m的值；（2）()k kR如何取值时，函数()yf xkx存在零点，并求出零点。2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（广东卷，含答案）-8-/13 2009 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科）参考答案一、选择题1-10BCCAB DADAB 1、【解析】由N=x|x2
11、+x=0 1,0得NM,选 B.2、【解析】因为41i,故选 C.3、【解析】ab2(0,1)x,由210 x及向量的性质可知,C 正确.4、【解析】函数1xyaaa（0，且）的反函数是()logaf xx,又(2)1f,即log 21a,所以,2a,故2()logf xx,选 A.5、【解析】设公比为q,由已知得22841112a qa qa q,即22q,因为等比数列na的公比为正数，所以2q,故211222aaq,选 B 6、【解析】错,正确,错,正确.故选 D 7、【解析】000000026sinsin75sin(3045)sin30 cos45sin45 cos304A由a=c=26
12、可知,075C,所以030B,1sin2B由正弦定理得261sin2sin2264abBA,故选 A 8、【解析】()(3)(3)(2)xxxfxxexexe,令()0fx,解得2x,故选 D 9、【解析】因为22cos()1cos 2sin 242yxxx为奇函数,22T,所以选 A.10、【解析】由题意知,所有可能路线有6 种:ABCDE,ABDCE,ACBDE,ACDBE,ADBCE,ADCBE,其中,路线ACBDE的距离最短,最短路线距离等于496221,2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（广东卷，含答案）-9-/13 故选 B.二、填空题11、【答案】6i,126aa
13、a【解析】顺为是统计该6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，所图中判断框应填6i，输出的s=126aaa.12、【答案】37,20【解析】由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5 组抽出的号码为22，所以第6 组抽出的号码为 27，第 7 组抽出的号码为32，第 8 组抽出的号码为37.40岁以下年龄段的职工数为200 0.5100,则应抽取的人数为4010020200人.13、【解析】将直线6xy化为60 xy,圆的半径|216|5112r,所以圆的方程为2225(2)(1)2xy14、【答案】6【解析】将1223xtyt化为普通方程为3722yx,斜率132k,当0k时,直线
14、41xky的斜率24kk,由123412k kk得6k;当0k时,直线3722yx与直线41x不垂直.综上可知,6k.15、【答案】16【解析】连结 AO,OB,因为30ACB,所以60AOB,AOB为等边三角形,故圆 O的半径4rOAAB,圆 O的面积216Sr.三、解答题16、【解析】（）ab,sin2cos0a b,即sin2cos又2sincos1,224coscos1,即21cos5,24sin5又2 5(0,)sin25,5cos52009 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（广东卷，含答案）-10-/13(2)5cos()5(coscossinsin)5 cos2 5sin
15、3 5 coscossin,222cossin1cos,即21cos2又02,2cos217、【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.（）该安全标识墩的体积为：PEFGHABCDEFGHVVV2214060402032000320006400032cm（）如图,连结 EG,HF及 BD，EG与 HF相交于 O,连结 PO.由正四棱锥的性质可知,PO平面 EFGH,POHF又EGHFHF平面 PEG 又BDHFBD平面 PEG；18、【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160179之间，而乙班身高集中于170180之间。因此乙班平均身高高于甲班;(2)158 162 163 168 16
16、8 170171 179 179 18217010 x2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（广东卷，含答案）-11-/13 甲班的样本方差为222221(158170)162 170163 170168 170168 1701022222170 170171 170179 170179 170182 170 57（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173）（181，176）（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173）(178,176)（
17、176，173）共 10 个基本事件，而事件A含有 4 个基本事件；42105P A；19、【解析】（1）设椭圆G的方程为：22221xyab（0ab）半焦距为c;则21232aca,解得63 3ac,22236279bac所求椭圆G的方程为：221369xy.(2)点KA的坐标为,2K1 2121126 3 26 322KA F FSF F（3）若0k，由2260120215120kk可知点（6，0）在圆kC外，若0k，由22(6)0120215120kk可知点（-6，0）在圆kC外；不论 K为何值圆kC都不能包围椭圆G.20、【解析】（1）113fa,13xfx1113afcc,221af
18、cfc29,323227afcfc.又数列na成等比数列，22134218123327aaca，所以1c；又公比2113aqa，所以12 1123 33nnna*nN；2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（广东卷，含答案）-12-/13 1111nnnnnnnnSSSSSSSS2n又0nb,0nS,11nnSS；数列nS构成一个首相为1 公差为 1 的等差数列，11 1nSnn，2nSn当2n，221121nnnbSSnnn；21nbn(*nN)；（2）1 2233411111nnnTbbb bb bb b11111 33 557(21)21nn11111111111123235
19、25722121nn11122121nnn；由1000212009nnTn得10009n，满足10002009nT的最小正整数为112.21、【解析】（1）设2g xaxbxc，则2gxaxb；又gx的图像与直线2yx平行22a1a又g x在1x取极小值，12b，2b1121gabccm，cm；2g xmfxxxx，设,ooP x y则22222000002mPQxyxxx222020222 22mxmx22 224m22m；（2）由120myfxkxk xx，得2120k xxm*当1k时，方程*有一解2mx，函数yfxkx有一零点2mx；2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（广东卷，含答案）-13-/13 当1k时，方程*有二解4410mk，若0m，11km，函数yfxkx有两个零点24411112 11mkmkxkk；若0m，11km，函数yfxkx有两个零点24411112 11mkmkxkk；当1k时，方 程*有 一 解4410mk,11km,函 数yfxkx有一零点11xk