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1、-1-2019-2020 学年度高二上学期模块考试数学试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂累.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.一、选择题：本大题共12 小题，每小题 4 分，共 48 分.第 1 至 10 小题为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；第10
2、至 13 为多选题，有多个正确选项，选对一个即可得到2 分，全部选对得4 分，有一个错误选项不得分.1.若命题p：xR，2220 xx，则命题p的否定是（）A.xR，2220 xxB.xR，2220 xxC.xR，2220 xxD.xR，2220 xx【答案】C【解析】【分析】存在性命题的否定,对条件进行否定【详解】由题,则p的否定为xR,2220 xx故选：C【点睛】本题考查存在性命题的否定,属于基础题2.在数列 na 中，11a，12,nnaanN*，则25a的值为（）A.49B.50C.89D.99【答案】A-2-【解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可得出【详解】解：11a，12nn
3、aa（*nN），数列 na 是等差数列，则251225149a（）故选 A【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.不等式2120 xx的解集为（）A.43，B.34，C.4 3（，）D.3 4（，）【答案】C【解析】【分析】把不等式化为430 xx，求出解集即可【详解】解：不等式2120 xx可化为430 xx，解得43x，所以不等式的解集为（-4，3）故选 C【点睛】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题4.算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许
4、多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（）A.8 岁B.11 岁C.20 岁D.35 岁【答案】B-3-【解析】【分析】九个儿子的年龄成等差数列，公差为3【详解】由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3记最小的儿子年龄为1a，则9198932072Sa，解得111a故选 B【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解5.设等差数列na的前 n 项和为nS，若972S，则249aaa（）A.24B.48C.8D.16【答
5、案】A【解析】【分析】根据等差数列前n项和的性质，以及下标和的性质，即可求得结果.【详解】因为数列na是等差数列，故可得95972Sa，解的58a；根据等差数列的下标和性质，故可得249aaa5465324aaaa.故选：A.【点睛】本题考查等差数列的前n项和的性质以及下标和性质，属综合基础题.6.已知椭圆 C 的方程为221916xy，则椭圆C 的离心率为（）A.716B.73C.74D.34【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的方程，即可求得,a b，根据离心率的计算公式即可求得.【详解】因为2216,9ab，-4-故可得离心率229711164bea.故选：C.【点睛】本题考查用直接法求椭
6、圆的离心率，属基础题.7.已知等比数列na满足114a,35441a aa,则2a（）A.2B.1C.12D.18【答案】C【解析】试 题 分 析：由 题 意 可 得235444412a aaaa,所 以34182aqqa,故2112aa q,选 C.考点：本题主要考查等比数列性质及基本运算.8.已知数列na是等差数列，若911101130,0aaaa，且数列na的前 n 项和nS，有最大值，那么nS取得最小正值时n 等于（）A.22B.21C.20D.19【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，判断出1011,aa的符号，再根据等差数列前n项和的计算公式，即可求得.【详解】因为等差数列的前n
7、项和有最大值，故可得0d因为91130aa，故可得91011120aaaa，整理得101120aa，即10110aa，又因为10110aa，故可得10110,0aa.又因为1910190Sa，201011100Saa，-5-故nS取得最小正值时n 等于19.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的性质，以及前n项和的性质，属综合中档题.9.已知 aR，则“a1”是“11a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据 a1，不一定能得到11a（如 a=-1时）；但当11a，一定能推出a1，从而得到答案【详解】解：由a1，不一定能得到1
8、1a（如 a=-1 时）；但当11a时，有 0 a1，从而一定能推出a1，则“a1”是“11a”的必要不充分条件，故选 B【点睛】本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法10.设1a，0b，若2ab，则121ab的最小值为A.4 2B.6C.32 2D.2 2【答案】C【解析】试题分析：a1，b0，a+b=2，a-10，a-1+b=1121ab=(a-1)+b(121ab)=3+2(1)1baab2(1)321baab32 2当且仅当2(1),2baab,即2,22ab时取等号121ab的最小值为32 2故选 C考点：基本不等式的性
9、质-6-11.1nn与1nn的等比中项是（）A.1B.1C.与 n 有关D.不存在【答案】AB【解析】【分析】设出等比中项，根据等比中项的性质，求解即可.【详解】设1nn与1nn的等比中项是x，故可得2111xnnnn，解得1x.故选：AB.【点睛】本题考查等比中项的求解，属基础题.12.下列命题中是真命题的有（）A.220 xx有四个实数解B.设 a、b、c 是实数，若二次方程20axbxc无实根，则0acC.若2320 xx，则2xD.若xR，则函数22144yxx的最小值为2【答案】BC【解析】【分析】根据方程根的求解，利用对勾函数求最值得方法，以及二次方程根的情况与系数之间的关系，结合
10、选项进行逐一分析即可.【详解】对A：令22yxx，容易知其为偶函数，又当0 x时，令22210yxxxx，解得1x；故函数22yxx有两个零点，即1x，故A错误；对 B：若二次方程20axbxc无实根，故可得204bac，即可得0ac，故 B 正确；-7-对C：2320 xx，则120 xx，解得1x，且2x，此时一定有2x，故C正确；对D：令24xt，2t，则原函数22144yxx等价于1,2yttt，根据对勾函数的单调性可知，该函数在区间1,上是单调增函数，故可得函数的最小值为15222.故D错误.故答案为：BC.【点睛】本题考查简单命题真假的判断，属综合基础题.13.已知aZ，关于x的一
11、元二次不等式260 xxa的解集中有且仅有3 个整数，则a的值可以是（）.A.6B.7C.8D.9【答案】ABC【解析】【分析】根据二次函数的图象分析列式可得,【详解】设26yxxa，其图像为开口向上，对称轴是3x的抛物线，如图所示.若关于x的一元二次不等式260 xxa的解集中有且仅有3 个整数，因为对称轴为3x,则22262016 10aa解得58a，.又aZ，故a可以为 6，7，8.故选 ABC-8-【点睛】本题考查了二次函数的图象,一元二次不等式,属于中档题.二、填空题：本大题共4 小题，单空题每小题4 分，双空题每空2 分，共 16 分.14.已知命题“xR，214204xax”是假
12、命题，则实数a 的取值范围是 _.【答案】0,4【解析】【分析】求出21424xax的最小值，只需其小于零即可求得命题为真的参数范围，再求其补集即可.【详解】令21424fxxax，故可得24216minafx，若命题为真，只需242016a，整理可得224a，即可得4a，或0a.则命题为假时，0,4a.故答案为：0,4.【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的范围，属基础题.15.已知数列na的前 n 项和为2nSn，则这个数列的通项公式为_.数列11nnaa的前 n 项和为 _.【答案】(1).21n(2).21nn【解析】【分析】根据nS与na之间的关系，即可求得通项公式；再利用裂项求和法
13、即可求得数列11nnaa的前n项和.【详解】因为2nSn，故当2n时，221121nnnaSSnnn，-9-又当1n时，111aS满足上式，综上所述，21nan；则111111212122121nnaannnn，则其前n项和为12231111nna aa aa a1111111213352121nn12221nn21nn.故答案为：21n；21nn.【点睛】本题考查由nS求na，以及利用裂项求和法求数列的前n项和，属综合中档题.16.已知关于x的不等式20axbxc的解集是1|2,2x xx或，则20axbxc的解集为 _.【答案】122xx【解析】【分析】由不等式的解集与方程的根的关系，求得
14、5,2ba ca，进而化简不等式20axbxc，得25(1)02a xx，进而得到1(2)()02xx，即可求解，得到答案【详解】由题意，关于x的不等式20axbxc的解集是1|2,2x xx或，则012()212()2abaca，解得5,2ba ca，-10-所以不等式20axbxc，即为2255(1)022axaxaa xx，即25102xx，即1(2)()02xx，解得122x即不等式20axbxc的解集为122xx【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解，以及二次式之间的关系的应用，其中解答中熟记三个二次式之间的关系，以及一元二次不等式的解法是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力
15、，属于中档试题17.椭圆22143xy的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A，B，当FAB的周长最大为_时，FAB的面积是 _.【答案】(1).8(2).3【解析】【分析】根据椭圆的定义以及性质，即可容易求得.【详解】设椭圆的右焦点为F，根据椭圆的定义可知48AFABBFAFAFBFBFa，当且仅当AB经过右焦点时，取得最大值.此时直线1xm，代入椭圆方程可得32y，此时12232FABScy.故答案为：8；3.【点睛】本题考查椭圆的定义以及性质，属综合中档题.三、解答题：共 82 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.设命题 P：实数 x 满足22430 xmxm；命题 q：实数
16、 x 满足31x.（1）若1m，且 p，q 都为真，求实数x 的取值范围；（2）若0m，且 q 是 p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2,3（2）4,23【解析】-11-【分析】（1）求解一元二次不等式以及绝对值不等式即可求得命题,p q为真命题时，对应的参数范围，取其交集即可；（2）根据命题的充分性，推出集合之间的包含关系，据此即可解得m的取值范围.【详解】（1）由22430 xmxm得30 xmxm当1m时，13x即 p 为真，由31x得 24x，即 q 为真，若都为真时，实数的取值范围是2,3.（2）由22430 xmxm得30 xmxm，0m，3mxm，由31x
17、得 24x设,3,2,4AmmB由已知则B 是A的真子集，故234mm，所以实数的取值范围是4,23.【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围，以及由充分必要条件求参数范围的问题，属基础题.19.已知数列 na满足11a，11nnnaaa（nN）（1）求2a，3a，4a的值；（2）证明：数列 1na是等差数列，并求数列na的通项公式【答案】（1）212a，313a，414a（2）见解析【解析】【分析】（1）由已知结合数列递推式直接求得2a，3a，4a的值；（2）把原递推式变形，可得1111nnaa，根据等差数列定义可证，再根据等差数列通项公-12-式求结果【详解】解：（1）由11a，11nnn
18、aaa，得121112aaa，232113aaa，343114aaa；证明：（2）当*nN时，由11nnnaaa，得111111nnnnnaaaaa，1na 是公差为1 的等差数列，又111a，1111nnna，则1nan【点睛】本题考查数列递推式，考查等差关系定义以及等差数列通项公式的求法，是基础题20.已知椭圆的焦距为2，离心率12e（）求椭圆的方程；（）设点P 是椭圆上一点，且1260F PF，求 F1PF2的面积【答案】（）22143xy或22143yx（）3【解析】【分析】（）由已知可得1c，再由离心率求得2a，结合隐含条件求得b的值，从而求得椭圆的方程；（）在焦点三角形中利用余弦定
19、理求得|PF1|PF2|=4，代入三角形的面积公式得答案.【详解】（）椭圆方程可设为2222222211xyyxabab或-13-且 c=1，又12cea，得 a=2，b2=a2-c2=4-1=3，椭圆的方程为22143xy或22143yx.（）在 PF1F2中，由余弦定理可得：22212124|2cPFPFPFPFcosF1PF2，即212124()2PFPFPFPF2|PF1|PF2|cos60，4=16-3|PF1|PF2|，即|PF1|PF2|=4 F1PF2的面积 S=12|PF1|PF2|sin60=134322【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的标准方程的求
20、解，椭圆焦点三角形的面积，余弦定理，属于简单题目.21.设数列na满足12nnaan（2,3,n）.（1）若na是等差数列，求na的通项公式：（2）na是否可能为等比数列？若可能，求此数列的通项公式；若不可能，说明理由.【答案】（1）2nan（2）不可能为等比数列，理由见详解.【解析】【分析】（1）根据数列是等差数列，设出首项和公差，根据递推公式，结合基本量运算，即可求得；（2）假设数列是等比数列，设出11nnaa q，根据题意，推出矛盾，即可证明.【详解】（1）设首项为1a，公差为d，通项为11naand代入已知得到1130adnd，则有10d否则上式不为0，所以1d即通项为2nan，（2）
21、不可能为等比数列若na成等比数列，不妨设公比为q，11nnaa q，由已知得122nnaqq，左边为常数，所以为2nnq常数，-14-设2nmnq为得到2nnmq，即 n 为等比数列，故不可能为等比数列.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的定义以及通项公式，属综合基础题.22.在平面直角坐标系xOy中，椭圆：22221(0)xyabab的离心率为22，y轴于椭圆相交于A、B两点，2 3AB，C、D是椭圆上异于A、B的任意两点，且直线AC、BD相交于点M，直线AD、BC相交于点N1求椭圆的方程；2求直线MN的斜率【答案】（1）22163xy；（2）0MNk.【解析】【分析】1运用离心率公式和2
22、3AB，解方程可得,a b；2设0,3A，0,3B，222111112131,.1632xyyC xyx，11213312acBCyykkx，同理1.2ADBDkk可设直线AC方程为3ykx，直线AD方程为3ymx，则直线BC方程为132yxk，直线BD方程为132yxm可得直线AC、BD相交点4 34 3,3.2121mkmMmkkm直线AD、BC相交点4 34 3,3.2121kkmNkmkm可得直线MN的斜率【详解】解：1椭圆：22221(0)xyabab的离心率为22，-15-y轴于椭圆相交于A、B两点，2 3AB，22 3b，22ca，2223abcbc，6a椭圆 的方程为：2216
23、3xy；2.设0,3A，0,3B，11,.C xy22211121311632xyyx，11213312acBCyykkx同理12ADBDkk可设直线AC方程为3ykx，直线AD方程为3ymx则直线BC方程为132yxk，直线BD方程为132yxm由3132ykxyxm可得直线AC、BD相交点4 34 3,3.2121mkmMmkkm同理可得直线AD、BC相交点4 34 3,3.2121kkmNkmkm直线MN的斜率0MNk【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求出交点，考查分类讨论的思想方法，注意直线的斜率和直线方程的运用，考查运算能力，属于难题23.某市 2018 年发
24、放汽车牌照12 万张，其中燃油型汽车牌照10 万张，电动型汽车牌照2 万张，为了节能减排和控制牌照总量，从2018 年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型-16-汽车牌照每一年比上一年减少0.5 万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15 万张，以后每一年发放的电动型汽车牌照的数量维持在这一年的水平不变，记2018 年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列na，每年发放电动型汽车牌照数构成数列nb.（1）完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；110a29.5a3a_4a_12b23b3b_4b_（2）累计每年发放的牌照数，哪一年开始不低于200 万（注：31317.7）？【答
25、案】（1）表格中数据见详解，21,21220,22nnnan；132,14227,54nnnbn；（2）2033.【解析】【分析】（1）根据题意，结合数列的变化规律，即可求得表格中空缺的数值；结合数列类型，以及数列的定义，即可求得通项公式；（2）根据（1）中所求，求出数列的前n项和，根据题意，结合参考数据以及200nS即可求得结果.【详解】（1）如表所示，110a29.5a39a48.5a12b23b34.5b46.75b当121n且nN时，121101222nnan，当22n且nN时，0na，-17-故21,21220,22nnnan又3313.515ab，4415.2515ab，132,1
26、4227,54nnnbn.（2）当4n时，1234123453.25nSaaaabbbb，当521n时，123123nnnSaaaabbbbLL432 121127104322412n nnn216843444nn，由200nS，得216843200444nn，即2688430nn，又一元二次方程2688430 xx的两个根为13431351.7x，23431316.3x，51.716.30nn，又521n且nN，不等式可化为16.30n，1721n且nN，到 2033 年累计发放汽车拍照数不低于200 万.【点睛】本题考查实际问题中等差数列和等比数列通项公式的求解和前n项和的求解，属综合中档题.