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1、【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）7.3.2圆的一般方程导学案湘教版必修 3-1-/4 7.3.2 圆的一般方程1方程x2y2DxEyF0 表示的图形方程条件图形x2y2DxEyF0 D2E24F0 不表示任何图形D2E24F0 表示一个点D2，E2D2E24F0 表示以D2，E2为圆心，以12D2E24F为半径的圆(1)圆x2y22x 4y4 0 的圆心坐标为_，半径为 _提示：(1，2)3(2)方程x2y23x4ya0 表示圆，则实数a的取值范围是 _ _提示：，2542求圆的方程的方法(1)公式法：求圆心坐标和半径的方法(2)待定系数法：列方程求D，E，F的方法(1)平
2、面内任一圆的一般方程都是关于x，y的二元二次方程，反之是否成立？提示：不一定如方程x22xyy20，即xy0，代表一条直线，而不是一个圆(2)已知点M(x0，y0)和圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)，如何判断点M与圆的位置关系？提示：点与圆的位置关系代数关系点M在圆外x02y02Dx0Ey0F0 点M在圆上x02y02Dx0Ey0F0 点M在圆内x02y02Dx0Ey0F0 一、圆的判别及标准方程与一般方程的互化【例 1】判断方程x2y24mx2my20m200 能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径本题可直接利用D2E24F0 是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大
3、于零的常数解法一：由方程x2y24mx2my20m200，可知D 4m，E 2m，F 20m20，D2E24F 16m24m280m8020(m2)2，因此，当m2 时，它表示一个点；当m2 时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，m)，半径为r12D2E24F5|m2|.解法二：原 方程可化为(x2m)2(ym)25(m2)2，因此，当m2 时，它表示一个点；【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）7.3.2圆的一般方程导学案湘教版必修 3-2-/4 当m2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，m)，半径为r5|m2|.对于这个类型的题目，一般先看这个方程是否具
4、备圆的一般方程的特征，即x2与y2的系数相等，不含xy的项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D2E24F是否大于零，二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数即可11 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径(1)2x2y27y50；(2)x2xyy26x7y0；(3)x2y22x4y100；(4)2x22y25x0.解：(1)方程 2x2y27y50 中x2与y2的系数不相同，它不能表示圆(2)方程x2xyy26x7y0 中含有xy这样的项，它不能表示圆(3)方程x2y22x4y100 化为(x1)2(y2)2 5，它不能表示圆(4)方程 2x22
5、y25x0 化为 x542y2542，它表示以54，0 为圆心，54为半径的圆二、求圆的一般方程【例 2】已知ABC的三个顶点分别为A(1,5)，B(2，2)，C(5,5)，求其外接圆的一般 方程设出圆的一般方程，然后将已知点的坐标代入方程组成方程组，解方程组求出D，E，F，也可用圆的几何性质求解解法一：设所求圆的方程为x2y2DxEyF 0(D2E24F0)，由题意得D5EF260，2D2EF80，5D 5EF500，解得D 4，E 2，F 20.故圆的方程为x2y24x 2y200.解法二：由题意可求得弦AC的垂直平分线的方程为x2，BC的垂直平分线的方程为xy 30，由x2，xy30，解
6、得x2，y1.圆心P的坐标为(2,1)圆的半径r|AP|(2 1)2(1 5)25.圆的方程为(x2)2(y1)225，即x2y2 4x 2y20 0.若已知圆上的点较多(两个或三个)，通常设出圆的一般方程，用待定系数法求解21 过原点，且在x轴，y轴上的截距分别为p，q(p0，q0)的圆的方程是()Ax2y2pxqy0 Bx2y2pxqy0 Cx2y2pxqy0 Dx2y2pxqy0 解析：设圆的方程为x2y2DxEyF0，圆过(0,0)，(p,0)，(0，q)三点，F 0，p2DpF0，q2EqF0，即F0，Dp，Eq.【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）7.3.2圆的一般
7、方程导学案湘教版必修 3-3-/4 圆的方程为x2y2pxqy0.答案：A22 圆心是(3,4)，且经过点M(5,1)的圆的一般 方程为 _解析：设圆的方程是x2y2DxEyF0，由题意知：D2 3，E24；又M(5,1)在圆上，5212D5E1F0.解之可得：D 6，E 8，F 48，故圆的方程是x2y26x 8y480.答案：x2y2 6x8y480 三、与圆有关的轨迹问题【例 3】已知P在圆 C：x2y24x30 上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程将圆的方程化成标准方程(x2)2y2 1.如图，点P运动引起M运动，而点P在已知圆上运动，点P的坐标满足方程(x 2)2+y2=1，点M与点
8、P坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程或作MO1CP，则|MO1|=12|PC|，利用圆的定义求出点M的轨迹方程解法一：(代入法)设点M坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，点O坐标为(0,0)，由中点坐标公式可得xx002，yy002，于是x0 2x，y02y.点P在圆(x2)2y21 上运动，点P的坐标满足方程(x2)2y21，即(x02)2y021.把代入，得(2x2)2(2y)21，整理，得(x 1)2y214.所以，点M的轨迹是以(1,0)为圆心，12为半径的圆解法二：(定义法)连结PC，取OC的中点O1，M为OP的中点，MO1是OPC的中位线|
9、MO1|12|PC|12.O1是定点，其坐标为(1,0)，根据圆的定义，可知点M的轨迹是以O1(1,0)为圆心，12为半径的圆，其方程是(x 1)2y214.这个类型的题目，常用的方法有：(1)直接法，(2)定义法，(3)代入法，其中直接法是求曲线方程最重要的方法，代入法常用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可31 若动点A在圆x2y22x2y10 上运动，则它与定点B(3,2)连线的中点M的轨迹是()【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）7.3.2圆的一般方程导学案湘教版必修 3-4-/4 A直线 B圆C抛物线 D点或
10、 线段解析：设 A(x1，y1)，M(x，y)，M是线段AB的中点，xx132，yy122.解得x12x3，y12y2.点A在圆x2y22x2y10 上运动，x12y122x12y110，(2x3)2(2y 2)22(2x 3)2(2y2)10，整理 得(2x 4)2(2y3)2 1.(x2)2y32214，即点M的轨迹是以2，32为圆心，12为半径的圆答案：B 32 自A(4,0)引圆x2y24 的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程解：设P(x，y)，连结OP，则OPBC当x0 时，kOPkAP=1，即14yyx x，即x2+y24x=0；当x0 时，P点坐标(0,0)是方程的解，BC中点P的轨迹方程为x2y24x 0(在已知圆内的部分)