《2021年中考数学复习题考点30：切线的性质和判定.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年中考数学复习题考点30：切线的性质和判定.pdf（58页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1 页 共 58 页2021 年中考数学复习题：考点30 切线的性质和判定一选择题（共11小题）1（哈尔滨）如图，点 P为O外一点，PA为O 的切线，A 为切点，PO交O于点 B，P=30，OB=3，则线段 BP的长为（）A3 B3 C 6 D9【分析】直接利用切线的性质得出OAP=90 ，进而利用直角三角形的性质得出OP的长【解答】解：连接OA，PA为O的切线，OAP=90 ，P=30 ，OB=3，AO=3，则 OP=6，故 BP=6 3=3故选：A2（眉山）如图所示，AB是O 的直径，PA切O 于点 A，线段 PO交O 于点 C，连结 BC，若 P=36 ，则 B 等于（）A27B32
2、C 36D54第 2 页 共 58 页【分析】直接利用切线的性质得出OAP=90 ，再利用三角形内角和定理得出AOP=54 ，结合圆周角定理得出答案【解答】解：PA切O于点 A，OAP=90 ，P=36 ，AOP=54 ，B=27 故选：A3（重庆）如图，已知 AB是O 的直径，点 P在 BA的延长线上，PD与O 相切于点 D，过点 B作 PD的垂线交 PD的延长线于点 C，若O的半径为 4，BC=6，则 PA的长为（）A4 B2 C 3 D2.5【分析】直接利用切线的性质得出PDO=90 ，再利用相似三角形的判定与性质分析得出答案【解答】解：连接DO，PD与O相切于点 D，PDO=90 ，C
3、=90 ，DOBC，PDO PCB，=，设 PA=x，则=，解得：x=4，故 PA=4第 3 页 共 58 页故选：A4（福建）如图，AB是O 的直径，BC与O相切于点 B，AC交O于点 D，若ACB=50 ，则BOD等于（）A40B50C 60D80【分析】根据切线的性质得到 ABC=90 ，根据直角三角形的性质求出A，根据圆周角定理计算即可【解答】解：BC是 O的切线，ABC=90 ，A=90 ACB=40 ，由圆周角定理得，BOD=2 A=80 ，故选：D5（泸州）在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，1 为半径作圆，点P 在直线 y=上运动，过点 P作该圆的一条切线，切点为A，则 PA
4、的最小值为（）A3 B2 C D【分析】如图，直线y=x+2与 x轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，作 OHCD于 H，先利用一次解析式得到D（0，2），C（2，0），再利用勾股定理可计算出 CD=4，则利用面积法可计算出OH=，连接 OA，如图，利用切线的性第 4 页 共 58 页质得 OAPA，则 PA=，然后利用垂线段最短求PA的最小值【解答】解：如图，直线y=x+2与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，作 OHCD于 H，当 x=0时，y=x+2=2，则 D（0，2），当 y=0时，x+2=0，解得 x=2，则 C（2，0），CD=4，OH?CD=OC?OD，OH=，连接 OA
5、，如图，PA为O的切线，OAPA，PA=，当 OP的值最小时，PA的值最小，而 OP的最小值为 OH的长，PA的最小值为=故选：D6（泰安）如图，BM 与 O相切于点 B，若MBA=140 ，则ACB的度数为（）第 5 页 共 58 页A40B50C 60D70【分析】连接 OA、OB，由切线的性质知 OBM=90，从而得 ABO=BAO=50 ，由内角和定理知 AOB=80 ，根据圆周角定理可得答案【解答】解：如图，连接OA、OB，BM 是O 的切线，OBM=90，MBA=140，ABO=50 ，OA=OB，ABO=BAO=50 ，AOB=80 ，ACB=AOB=40 ，故选：A7（深圳）如
6、图，一把直尺，60 的直角三角板和光盘如图摆放，A 为 60 角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（）第 6 页 共 58 页A3 BC 6 D【分析】设三角板与圆的切点为C，连接 OA、OB，由切线长定理得出AB=AC=3、OAB=60 ，根据 OB=ABtan OAB可得答案【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接 OA、OB，由切线长定理知 AB=AC=3，OA平分 BAC，OAB=60 ，在 RtABO中，OB=ABtan OAB=3，光盘的直径为 6，故选：D8（重庆）如图，ABC中，A=30，点 O 是边 AB上一点，以点 O 为圆心，以 OB为半径作圆，O 恰好与 AC相切于点
7、 D，连接 BD若 BD 平分 ABC，AD=2，则线段 CD的长是（）A2 BC D【分析】连接 OD，得 RtOAD，由 A=30 ，AD=2，可求出 OD、AO 的长；由 BD平分 ABC，OB=OD可得OD 与 BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论【解答】解：连接ODOD是O的半径，AC是O的切线，点 D 是切点，ODAC在 RtAOD中，A=30 ，AD=2，OD=OB=2，AO=4，第 7 页 共 58 页ODB=OBD，又 BD平分 ABC，OBD=CBDODB=CBDODCB，即CD=故选：B9（湘西州）如图，直线AB 与O 相切于点 A，AC、CD是O 的两条
8、弦，且CD AB，若O 的半径为 5，CD=8，则弦 AC的长为（）A10 B8 C 4 D4【分析】由 AB是圆的切线知 AOAB，结合 CD AB知 AOCD，从而得出 CE=4，RtCOE中求得 OE=3及 AE=8，在 RtACE中利用勾股定理可得答案【解答】解：直线AB与O相切于点 A，OAAB，又CD AB，AOCD，记垂足为 E，CD=8，CE=DE=CD=4，第 8 页 共 58 页连接 OC，则 OC=OA=5，在 RtOCE中，OE=3，AE=AO+OE=8，则 AC=4，故选：D10（宜昌）如图，直线AB是O 的切线，C为切点，ODAB交O 于点 D，点 E在O 上，连接
9、 OC，EC，ED，则 CED的度数为（）A30B35C 40D45【分析】由切线的性质知OCB=90 ，再根据平行线的性质得COD=90 ，最后由圆周角定理可得答案【解答】解：直线AB是O的切线，C为切点，OCB=90 ，ODAB，COD=90 ，CED=COD=45 ，故选：D11（无锡）如图，矩形ABCD中，G是 BC的中点，过 A、D、G三点的圆 O与边 AB、CD分别交于点 E、点 F，给出下列说法：（1）AC与 BD的交点是圆 O 的第 9 页 共 58 页圆心；（2）AF与 DE的交点是圆 O的圆心；（3）BC与圆 O 相切，其中正确说法的个数是（）A0 B1 C 2 D3【分析
10、】连接 DG、AG，作 GHAD 于 H，连接 OD，如图，先确定AG=DG，则GH垂直平分 AD，则可判断点 O 在 HG上，再根据 HGBC可判定 BC与圆 O相切；接着利用 OG=OG可判断圆心 O 不是 AC与 BD的交点；然后根据四边形AEFD为O的内接矩形可判断AF与 DE的交点是圆 O的圆心【解答】解：连接DG、AG，作 GH AD于 H，连接 OD，如图，G是 BC的中点，AG=DG，GH垂直平分 AD，点 O在 HG上，ADBC，HG BC，BC与圆 O相切；OG=OG，点 O不是 HG的中点，圆心 O不是 AC与 BD的交点；而四边形 AEFD为O的内接矩形，AF与 DE的
11、交点是圆 O的圆心；（1）错误，（2）（3）正确故选：C第 10 页 共 58 页二填空题（共14小题）12（安徽）如图，菱形ABOC的边 AB，AC分别与 O相切于点 D，E若点 D是 AB的中点，则 DOE=60【分析】连接 OA，根据菱形的性质得到AOB是等边三角形，根据切线的性质求出 AOD，同理计算即可【解答】解：连接OA，四边形 ABOC是菱形，BA=BO，AB与O 相切于点 D，ODAB，点 D 是 AB的中点，直线 OD是线段 AB的垂直平分线，OA=OB，AOB是等边三角形，AB与O 相切于点 D，ODAB，AOD=AOB=30 ，同理，AOE=30 ，DOE=AOD+AOE
12、=60 ，第 11 页 共 58 页故答案为：6013（连云港）如图，AB 是O 的弦，点 C在过点 B 的切线上，且 OC OA，OC交 AB于点 P，已知 OAB=22 ，则 OCB=44【分析】首先连接OB，由点 C在过点 B 的切线上，且 OC OA，根据等角的余角相等，易证得 CBP=CPB，利用等腰三角形的性质解答即可【解答】解：连接OB，BC是O 的切线，OB BC，OBA+CBP=90 ，OC OA，A+APO=90 ，OA=OB，OAB=22 ，OAB=OBA=22 ，APO=CBP=68 ，APO=CPB，第 12 页 共 58 页CPB=ABP=68 ，OCB=180 6
13、8 68=44，故答案为：4414（泰州）如图，ABC中，ACB=90 ，sinA=，AC=12，将 ABC绕点 C顺时针旋转 90 得到 ABC，P为线段 AB 上的动点，以点P为圆心，PA 长为半径作 P，当 P与ABC的边相切时，P的半径为或【分析】分两种情形分别求解：如图1 中，当 P与直线 AC相切于点 Q 时，如图 2 中，当 P与 AB相切于点 T 时，【解答】解：如图1 中，当 P与直线 AC相切于点 Q 时，连接 PQ设 PQ=PA=r，PQ CA ，=，=，r=如图 2 中，当 P与 AB相切于点 T时，易证 A、B、T共线，第 13 页 共 58 页ABTABC，=，=，
14、AT=，r=AT=综上所述，P的半径为或15（宁波）如图，正方形ABCD的边长为 8，M 是 AB的中点，P是 BC边上的动点，连结 PM，以点 P为圆心，PM 长为半径作 P当 P与正方形 ABCD的边相切时，BP的长为3 或 4【分析】分两种情形分别求解：如图1 中，当 P与直线 CD相切时；如图 2 中当P与直线 AD相切时设切点为K，连接 PK，则 PK AD，四边形 PKDC是矩形；【解答】解：如图1 中，当 P与直线 CD相切时，设 PC=PM=m 第 14 页 共 58 页在 RtPBM中，PM2=BM2+PB2，x2=42+（8x）2，x=5，PC=5，BP=BC PC=8 5
15、=3如图 2 中当P 与直线 AD 相切时设切点为K，连接 PK，则 PK AD，四边形PKDC 是矩形PM=PK=CD=2BM，BM=4，PM=8，在 RtPBM中，PB=4综上所述，BP的长为 3 或 416（台州）如图，AB是O的直径，C是O 上的点，过点 C作O 的切线交AB的延长线于点 D若 A=32，则 D=26度第 15 页 共 58 页【分析】连接 OC，根据圆周角定理得到 COD=2 A，根据切线的性质计算即可【解答】解：连接OC，由圆周角定理得，COD=2 A=64 ，CD为O的切线，OC CD，D=90 COD=26 ，故答案为：2617（长沙）如图，点A，B，D 在O上
16、，A=20，BC是O的切线，B 为切点，OD的延长线交 BC于点 C，则 OCB=50度【分析】由圆周角定理易求BOC 的度数，再根据切线的性质定理可得OBC=90 ，进而可求出求出 OCB的度【解答】解：A=20 ，BOC=40 ，BC是O 的切线，B为切点，OBC=90 ，OCB=90 40=50，故答案为：5018（香坊区）如图，BD是O 的直径，BA 是O 的弦，过点 A 的切线交 BD第 16 页 共 58 页延长线于点 C，OE AB于 E，且 AB=AC，若 CD=2，则 OE的长为【分析】根据题意，利用三角形全等和切线的性质、中位线，直角三角形中30角所对的直角边与斜边的关系、
17、垂径定理可以求得OE的长【解答】解：连接OA、AD，如右图所示，BD是O 的直径，BA是O 的弦，过点 A 的切线交 BD延长线于点 C，OE AB于 E，DAB=90 ，OAC=90 ，AB=AC，B=C，在ACO和BAD中，ACO BAD（ASA），AO=AD，AO=OD，AO=OD=AD，AOD是等边三角形，ADO=DAO=60，B=C=30 ，OAE=30 ，DAC=30 ，AD=DC，CD=2，AD=2，点 O为 AD的中点，OEAD，OE AB，OE=，故答案为：第 17 页 共 58 页19（山西）如图，在RtABC中，ACB=90 ，AC=6，BC=8，点 D 是 AB的中点，
18、以 CD为直径作 O，O 分别与 AC，BC交于点 E，F，过点 F作O的切线FG，交 AB于点 G，则 FG的长为【分析】先利用勾股定理求出AB=10，进而求出 CD=BD=5，再求出 CF=4，进而求出 DF=3，再判断出 FG BD，利用面积即可得出结论【解答】解：如图，在 RtABC中，根据勾股定理得，AB=10，点 D 是 AB中点，CD=BD=AB=5，连接 DF，CD是O的直径，CFD=90 ，BF=CF=BC=4，DF=3，连接 OF，OC=OD，CF=BF，OF AB，OFC=B，第 18 页 共 58 页FG是O的切线，OFG=90 ，OFC+BFG=90 ，BFG+B=9
19、0 ，FG AB，SBDF=DF BF=BDFG，FG=，故答案为20（包头）如图，AB是O的直径，点 C在O 上，过点 C的切线与 BA的延长线交于点 D，点 E 在上（不与点 B，C重合），连接 BE，CE 若 D=40 ，则BEC=115度【分析】连接 OC，根据切线的性质求出DCO，求出 COB，即可求出答案【解答】解：连接 OC，DC切O于 C，DCO=90 ，D=40 ，第 19 页 共 58 页COB=D+DCO=130 ，的度数是 130，的度数是 360 130=230，BEC=115，故答案为：11521（湘潭）如图，AB是O的切线，点 B为切点，若A=30，则AOB=60
20、【分析】根据切线的性质得到OBA=90 ，根据直角三角形的性质计算即可【解答】解：AB是O 的切线，OBA=90 ，AOB=90 A=60 ，故答案为：60 22（徐州）如图，AB是O 的直径，点 C在 AB的延长线上，CD与O 相切于点 D若 C=18 ，则 CDA=126度【分析】连接 OD，构造直角三角形，利用OA=OD，可求得 ODA=36 ，从而根据CDA=CDO+ODA计算求解【解答】解：连接OD，则 ODC=90 ，COD=72 ；OA=OD，ODA=A=COD=36 ，CDA=CDO+ODA=90+36=126 第 20 页 共 58 页23（青岛）如图，RtABC，B=90，
21、C=30，O 为 AC上一点，OA=2，以 O为圆心，以OA为半径的圆与 CB相切于点 E，与 AB相交于点 F，连接 OE、OF，则图中阴影部分的面积是【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案【解答】解：B=90 ，C=30 ，A=60 ，OA=OF，AOF是等边三角形，COF=120 ，OA=2，扇形 OGF的面积为：=OA为半径的圆与 CB相切于点 E，OEC=90 ，OC=2OE=4，AC=OC+OA=6，AB=AC=3，由勾股定理可知：BC=3ABC的面积为：33=第 21 页 共 58 页OAF的面积为：2=，阴影部分面积为：=故答案为：24（广东）如图，矩形ABCD
22、中，BC=4，CD=2，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC相切于点 E，连接 BD，则阴影部分的面积为（结果保留 ）【分析】连接 OE，如图，利用切线的性质得OD=2，OEBC，易得四边形 OECD为正方形，先利用扇形面积公式，利用 S正方形OECDS扇形EOD计算由弧 DE、线段 EC、CD 所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积【解答】解：连接OE，如图，以 AD为直径的半圆 O 与 BC相切于点 E，OD=2，OE BC，易得四边形 OECD为正方形，由弧 DE、线段 EC、CD所围成的面积=S正方形OECDS扇形EOD=22=4，阴影部分的面积=2
23、4（4）=故答案为 第 22 页 共 58 页25（南京）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以 CD为直径作 O将矩形 ABCD绕点 C旋转，使所得矩形ABC D 的边 AB与O 相切，切点为 E，边 CD 与O 相交于点F，则 CF的长为4【分析】连接OE，延长 EO交 CD 于点 G，作 OHBC，由旋转性质知 B=BCD=90、AB=CD=5、BC=B C=4，从而得出四边形OEB H和四边形 EB CG都是矩形且 OE=OD=OC=2.5，继而求得 CG=B E=OH=2，根据垂径定理可得 CF的长【解答】解：连接OE，延长 EO交 CD于点 G，作 OHBC 于点 H，则O
24、EB=OHB=90，矩形 ABCD绕点 C旋转所得矩形为 ABC D，B=BCD=90，AB=CD=5、BC=B C=4，四边形 OEB H和四边形 EB CG 都是矩形，OE=OD=OC=2.5，BH=OE=2.5，CH=B C BH=1.5，CG=B E=OH=2，四边形 EB CG 是矩形，第 23 页 共 58 页OGC=90，即 OGCD ，CF=2CG=4，故答案为：4三解答题（共25小题）26（柯桥区模拟）如图，已知三角形 ABC的边 AB是O的切线，切点为 BAC经过圆心 O并与圆相交于点D、C，过 C作直线 CE丄 AB，交 AB的延长线于点 E（1）求证：CB平分 ACE；
25、（2）若 BE=3，CE=4，求O 的半径【分析】（1）证明：如图 1，连接 OB，由 AB是0的切线，得到 OB AB，由于 CE丄 AB，的 OBCE，于是得到 1=3，根据等腰三角形的性质得到1=2，通过等量代换得到结果（2）如图 2，连接 BD 通过 DBC CBE，得到比例式，列方程可得结果【解答】（1）证明：如图 1，连接 OB，AB是0 的切线，OB AB，CE丄 AB，OB CE，1=3，OB=OC，1=22=3，CB平分 ACE；第 24 页 共 58 页（2）如图 2，连接 BD，CE丄 AB，E=90 ，BC=5，CD是O的直径，DBC=90 ，E=DBC，DBC CBE
26、，BC2=CD?CE，CD=，OC=，O的半径=27（天津）已知 AB是O的直径，弦 CD与 AB相交，BAC=38 ，（I）如图，若 D为的中点，求 ABC和ABD的大小；（）如图，过点 D 作O的切线，与 AB的延长线交于点 P，若 DP AC，求OCD的大小第 25 页 共 58 页【分析】（）根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得ABC和ABD的大小；（）根据题意和平行线的性质、切线的性质可以求得OCD的大小【解答】解：（）AB是O 的直径，弦 CD与 AB相交，BAC=38 ，ACB=90 ，ABC=ACB BAC=90 38=52，D为的中点，AOB=180 ，AOD=90 ，AC
27、D=45 ；（）连接 OD，DP切O于点 D，ODDP，即 ODP=90 ，由 DPAC，又 BAC=38 ，P=BAC=38 ，AOD是ODP的一个外角，AOD=P+ODP=128 ，ACD=64 ，OC=OA，BAC=38 ，OCA=BAC=38 ，OCD=ACD OCA=64 38=26 第 26 页 共 58 页28（荆门）如图，AB为O 的直径，C为 O 上一点，经过点C的切线交 AB的延长线于点 E，ADEC交 EC的延长线于点 D，AD交O于 F，FMAB于 H，分别交 O、AC于 M、N，连接 MB，BC（1）求证：AC平分 DAE；（2）若 cosM=，BE=1，求 O的半径
28、；求 FN的长【分析】（1）连接 OC，如图，利用切线的性质得OC DE，则判断 OCAD 得到1=3，加上 2=3，从而得到 1=2；（2）利用圆周角定理和垂径定理得到=，则 COE=FAB，所以 FAB=M=COE，设O 的半径为 r，然后在 RtOCE中利用余弦的定义得到=，从而解方程求出 r 即可；连接 BF，如图，先在 RtAFB中利用余弦定义计算出AF=，再计算出 OC=3，接着证明 AFN AEC，然后利用相似比可计算出FN的长【解答】（1）证明：连接 OC，如图，直线 DE与O相切于点 C，OC DE，又ADDE，OC AD1=3OA=OC，2=3，1=2，AC平方 DAE；（
29、2）解：AB为直径，第 27 页 共 58 页AFB=90 ，而 DE AD，BF DE，OC BF，=，COE=FAB，而FAB=M，COE=M，设O的半径为 r，在 RtOCE中，cosCOE=，即=，解得 r=4，即O的半径为 4；连接 BF，如图，在 RtAFB中，cosFAB=，AF=8=在 RtOCE中，OE=5，OC=4，CE=3，ABFM，5=4，FB DE，5=E=4，=，1=2，AFN AEC，=，即=，FN=第 28 页 共 58 页29（随州）如图，AB是O 的直径，点 C为O上一点，CN为O的切线，OMAB于点 O，分别交 AC、CN于 D、M 两点（1）求证：MD=
30、MC；（2）若 O的半径为 5，AC=4，求 MC的长【分析】（1）连接 OC，利用切线的性质证明即可；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可【解答】解：（1）连接 OC，CN为O 的切线，OC CM，OCA+ACM=90，OMAB，OAC+ODA=90，OA=OC，OAC=OCA，ACM=ODA=CDM，MD=MC；第 29 页 共 58 页（2）由题意可知 AB=52=10，AC=4，AB是O 的直径，ACB=90 ，BC=，AOD=ACB，A=A，AOD ACB，即，可得：OD=2.5，设 MC=MD=x，在 RtOCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，解得：
31、x=，即 MC=30（黄冈）如图，AD是O的直径，AB为O的弦，OPAD，OP与 AB的延长线交于点 P，过 B点的切线交 OP于点 C（1）求证：CBP=ADB（2）若 OA=2，AB=1，求线段 BP的长【分析】（1）连接 OB，如图，根据圆周角定理得到ABD=90 ，再根据切线的性质得到 OBC=90 ，然后利用等量代换进行证明；（2）证明 AOP ABD，然后利用相似比求BP的长【解答】（1）证明：连接 OB，如图，AD是O的直径，ABD=90 ，A+ADB=90 ，第 30 页 共 58 页BC为切线，OB BC，OBC=90 ，OBA+CBP=90 ，而 OA=OB，A=OBA，C
32、BP=ADB；（2）解：OP AD，POA=90 ，P+A=90 ，P=D，AOP ABD，=，即=，BP=7 31（襄阳）如图，AB 是O 的直径，AM 和 BN 是O 的两条切线，E 为O上一点，过点 E作直线 DC分别交 AM，BN于点 D，C，且 CB=CE（1）求证：DA=DE；（2）若 AB=6，CD=4，求图中阴影部分的面积第 31 页 共 58 页【分析】（1）连接 OE 推知 CD为O的切线，即可证明DA=DE；（2）利用分割法求得阴影部分的面积【解答】解：（1）证明：连接 OE、OC OB=OE，OBE=OEB BC=EC，CBE=CEB，OBC=OEC BC为O 的切线，
33、OEC=OBC=90 ；OE为半径，CD为O的切线，AD切O于点 A，DA=DE；（2）如图，过点 D 作 DFBC于点 F，则四边形 ABFD是矩形，AD=BF，DF=AB=6，DC=BC+AD=4FC=2，BC AD=2，BC=3在直角 OBC中，tanBOE=，BOC=60 在OEC与OBC中，OEC OBC（SSS），BOE=2 BOC=120 第 32 页 共 58 页S阴影部分=S四边形BCEOS扇形OBE=2BC?OB=93 32（长春）如图，AB是O的直径，AC切O 于点 A，BC交O 于点 D已知O的半径为 6，C=40 （1）求 B的度数（2）求的长（结果保留）【分析】（1
34、）根据切线的性质求出 A=90 ，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据圆周角定理求出AOD，根据弧长公式求出即可【解答】解：（1）AC切O 于点 A，BAC=90 ，C=40 ，B=50 ；（2）连接 OD，B=50 ，AOD=2 B=100 ，的长为=第 33 页 共 58 页33（白银）如图，点 O 是ABC的边 AB上一点，O与边 AC相切于点 E，与边 BC，AB分别相交于点 D，F，且 DE=EF（1）求证：C=90 ；（2）当 BC=3，sinA=时，求 AF的长【分析】（1）连接 OE，BE，因为 DE=EF，所以，从而易证 OEB=DBE，所以 OEBC，从可证明 BC A
35、C；（2）设 O 的半径为 r，则 AO=5r，在 RtAOE中，sinA=，从而可求出 r 的值【解答】解：（1）连接 OE，BE，DE=EF，OBE=DBEOE=OB，OEB=OBEOEB=DBE，OE BCO与边 AC相切于点 E，OE ACBC ACC=90（2）在 ABC，C=90 ，BC=3，sinA=AB=5，设O的半径为 r，则 AO=5r，第 34 页 共 58 页在 RtAOE中，sinA=r=AF=5 2=34（绵阳）如图，AB是O 的直径，点 D 在O 上（点 D 不与 A，B重合），直线 AD交过点 B的切线于点 C，过点 D 作O 的切线 DE交 BC于点 E（1）
36、求证：BE=CE；（2）若 DEAB，求 sinACO的值【分析】（1）证明：连接 OD，如图，利用切线长定理得到EB=ED，利用切线的性质得 ODDE，ABCB，再根据等角的余角相等得到CDE=ACB，则 EC=ED，从而得到 BE=CE；（2）作 OHAD于 H，如图，设 O 的半径为 r，先证明四边形 OBED为正方形得 DE=CE=r，再利用 AOD 和CDE 都为等腰直角三角形得到OH=DH=r，CD=r，接着根据勾股定理计算出OC=r，然后根据正弦的定义求解【解答】（1）证明：连接 OD，如图，EB、ED为O的切线，第 35 页 共 58 页EB=ED，ODDE，ABCB，ADO+
37、CDE=90 ，A+ACB=90 ，OA=OD，A=ADO，CDE=ACB，EC=ED，BE=CE；（2）解：作 OHAD于 H，如图，设 O的半径为 r，DE AB，DOB=DEB=90 ，四边形 OBED为矩形，而 OB=OD，四边形 OBED为正方形，DE=CE=r，易得 AOD和CDE都为等腰直角三角形，OH=DH=r，CD=r，在 RtOCB中，OC=r，在 RtOCH中，sinOCH=，即 sinACO的值为35（德州）如图，AB是O 的直径，直线 CD与O 相切于点 C，且与 AB的第 36 页 共 58 页延长线交于点 E，点 C是的中点（1）求证：ADCD；（2）若CAD=3
38、0 ，O的半径为 3，一只蚂蚁从点 B出发，沿着 BE EC 爬回至点 B，求蚂蚁爬过的路程（3.14，1.73，结果保留一位小数）【分析】（1）连接 OC，根据切线的性质得到OCCD，证明 OCAD，根据平行线的性质证明；（2）根据圆周角定理得到COE=60 ，根据勾股定理、弧长公式计算即可【解答】（1）证明：连接 OC，直线 CD与O 相切，OC CD，点 C是的中点，DAC=EAC，OA=OC，OCA=EAC，DAC=OCA，OC AD，ADCD；（2）解：CAD=30 ，CAE=CAD=30 ，由圆周角定理得，COE=60 ，OE=2OC=6，EC=OC=3，=，蚂蚁爬过的路程=3+3
39、+11.3第 37 页 共 58 页36（北京）如图，AB是O 的直径，过 O 外一点 P作O 的两条切线 PC，PD，切点分别为 C，D，连接 OP，CD（1）求证：OP CD；（2）连接 AD，BC，若 DAB=50 ，CBA=70 ，OA=2，求 OP的长【分析】（1）先判断出 RtODPRtOCP，得出 DOP=COP，即可得出结论；（2）先 求出 COD=60 ，得出 OCD是等边三角形，最后用锐角三角函数即可得出结论【解答】解：（1）连接 OC，OD，OC=OD，PD，PC是O 的切线，ODP=OCP=90 ，在 RtODP和 RtOCP中，RtODP RtOCP，DOP=COP，
40、OD=OC，OP CD；第 38 页 共 58 页（2）如图，连接 OD，OC，OA=OD=OC=OB=2，ADO=DAO=50，BCO=CBO=70 ，AOD=80 ，BOC=40 ，COD=60 ，OD=OC，COD是等边三角形，由（1）知，DOP=COP=30 ，在 RtODP中，OP=37（铜仁市）如图，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以 BC为直径作 O交 AB于点 D，交 AC于点 G，直线 DF是O 的切线，D 为切点，交 CB的延长线于点 E（1）求证：DF AC；（2）求 tanE的值【分析】（1）连接 OC，CD，根据圆周角定理得 BDC=90 ，由等腰三角形三
41、线合一的性质得：D 为 AB 的中点，所以OD 是中位线，由三角形中位线性质得：ODAC，根据切线的性质可得结论；第 39 页 共 58 页（2）如图，连接 BG，先证明 EF BG，则 CBG=E，求 CBG的正切即可【解答】（1）证明：如图，连接OC，CD，BC是O 的直径，BDC=90 ，CD AB，AC=BC，AD=BD，OB=OC，OD是ABC的中位线ODAC，DF为O 的切线，ODDF，DF AC；（2）解：如图，连接BG，BC是O 的直径，BGC=90 ，EFC=90 =BGC，EF BG，CBG=E，RtBDC中，BD=3，BC=5，CD=4，SABC=，64=5BG，BG=，
42、由勾股定理得：CG=，tanCBG=tan E=第 40 页 共 58 页38（昆明）如图，AB是O 的直径，ED切O 于点 C，AD交O 于点 F，AC平分 BAD，连接 BF（1）求证：ADED；（2）若 CD=4，AF=2，求 O的半径【分析】（1）连接 OC，如图，先证明OC AD，然后利用切线的性质得OC DE，从而得到 ADED；（2）OC交 BF于 H，如图，利用圆周角定理得到 AFB=90 ，再证明四边形 CDFH为矩形得到 FH=CD=4，CHF=90 ，利用垂径定理得到BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出 AB，从而得到 O 的半径【解答】（1）证明：连接 OC，如图，A
43、C平分 BAD，1=2，OA=OC，1=3，2=3，OC AD，ED切O于点 C，OC DE，第 41 页 共 58 页ADED；（2）解：OC交 BF于 H，如图，AB为直径，AFB=90 ，易得四边形 CDFH为矩形，FH=CD=4，CHF=90 ，OHBF，BH=FH=4，BF=8，在 RtABF中，AB=2，O的半径为39（陕西）如图，在 RtABC中，ACB=90 ，以斜边 AB上的中线 CD为直径作O，分别与 AC、BC交于点 M、N（1）过点 N 作O 的切线 NE与 AB相交于点 E，求证：NE AB；（2）连接 MD，求证：MD=NB【分析】（1）连接 ON，如图，根据斜边上
44、的中线等于斜边的一半得到CD=AD=DB，则1=B，再证明 2=B得到 ONDB，接着根据切线的性质得到ONNE，然后利用平行线的性质得到结论；（2）连接 DN，如图，根据圆周角定理得到CMD=CND=90 ，则可判断四边第 42 页 共 58 页形 CMDN为矩形，所以 DM=CN，然后证明 CN=BN，从而得到 MD=NB【解答】证明：（1）连接 ON，如图，CD为斜边 AB上的中线，CD=AD=DB，1=B，OC=ON，1=2，2=B，ONDB，NE为切线，ONNE，NE AB；（2）连接 DN，如图，AD为直径，CMD=CND=90 ，而MCB=90，四边形 CMDN为矩形，DM=CN
45、，DNBC，1=B，CN=BN，MD=NB40（曲靖）如图，AB为O 的直径，点 C为O 上一点，将弧 BC沿直线 BC翻折，使弧 BC的中点 D 恰好与圆心 O 重合，连接 OC，CD，BD，过点 C的切线与线段 BA的延长线交于点 P，连接 AD，在 PB的另一侧作 MPB=ADC 第 43 页 共 58 页（1）判断 PM 与O的位置关系，并说明理由；（2）若 PC=，求四边形 OCDB的面积【分析】（1）连接 DO并延长交 PM 于 E，如图，利用折叠的性质得OC=DC，BO=BD，则可判断四边形 OBDC为菱形，所以 ODBC，OCD和OBD都是等边三角形，从而计算出 COP=EOP
46、=60 ，接着证明 PMBC得到 OEPM，所以 OE=OP，根据切线的性质得到OC PC，则 OC=OP，从而可判定 PM 是O 的切线；（2）先在 RtOPC中计算出 OC=1，然后根据等边三角形的面积公式计算四边形OCDB的面积【解答】解：（1）PM 与O相切理由如下：连接 DO并延长交 PM 于 E，如图，弧 BC沿直线 BC翻折，使弧 BC的中点 D 恰好与圆心 O 重合，OC=DC，BO=BD，OC=DC=BO=BD，四边形 OBDC为菱形，ODBC，OCD和OBD都是等边三角形，COD=BOD=60 ，COP=EOP=60 ，MPB=ADC，而ADC=ABC，ABC=MPB，PM
47、BC，第 44 页 共 58 页OE PM，OE=OP，PC为O的切线，OC PC，OC=OP，OE=OC，而 OE PC，PM 是O 的切线；（2）在 RtOPC中，OC=PC=1，四边形 OCDB的面积=2SOCD=212=41（邵阳）如图所示，AB是O的直径，点 C为O 上一点，过点 B作 BDCD，垂足为点 D，连结 BC BC平分 ABD求证：CD为O的切线【分析】先利用BC 平分 ABD 得到 OBC=DBC，再证明 OC BD，从而得到OC CD，然后根据切线的判定定理得到结论【解答】证明：BC平分ABD，第 45 页 共 58 页OBC=DBC，OB=OC，OBC=OCB，OC
48、B=DBC，OC BD，BD CD，OC CD，CD为O的切线42（黄石）如图，已知A、B、C、D、E是O 上五点，O的直径 BE=2，BCD=120 ，A 为的中点，延长 BA到点 P，使 BA=AP，连接 PE（1）求线段 BD的长；（2）求证：直线 PE是O的切线【分析】（1）连接 DB，如图，利用圆内接四边形的性质得DEB=60 ，再根据圆周角定理得到 BDE=90 ，然后根据含 30 度的直角三角形三边的关系计算BD的长；（2）连接 EA，如图，根据圆周角定理得到BAE=90 ，而 A 为的中点，则ABE=45 ，再根据等腰三角形的判定方法，利用BA=AP得到 BEP为等腰直角三角形
49、，所以 PEB=90 ，然后根据切线的判定定理得到结论【解答】（1）解：连接 DB，如图，BCD+DEB=180 ，DEB=180 120=60，BE为直径，BDE=90 ，第 46 页 共 58 页在 RtBDE中，DE=BE=2=，BD=DE=3；（2）证明：连接 EA，如图，BE为直径，BAE=90 ，A为的中点，ABE=45 ，BA=AP，而 EA BA，BEP为等腰直角三角形，PEB=90 ，PE BE，直线 PE是O的切线43（怀化）已知：如图，AB是O 的直径，AB=4，点 F，C是O上两点，连接 AC，AF，OC，弦 AC平分 FAB，BOC=60 ，过点 C作 CD AF交
50、AF的延长线于点 D，垂足为点 D（1）求扇形 OBC的面积（结果保留）；（2）求证：CD是O的切线第 47 页 共 58 页【分析】（1）由扇形的面积公式即可求出答案（2）易证FAC=ACO，从而可知 ADOC，由于 CD AF，所以 CDOC，所以CD是O的切线【解答】解：（1）AB=4，OB=2COB=60 ，S扇形OBC=（2）AC平分 FAB，FAC=CAO，AO=CO，ACO=CAOFAC=ACOADOC，CD AF，CD OCC在圆上，CD是O的切线44（新疆）如图，PA与O 相切于点 A，过点 A 作 ABOP，垂足为 C，交O于点 B连接 PB，AO，并延长 AO交O于点 D