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1、2020 年 1 月 2020届绍兴一中 2017 级高三上学期期末考试数学试卷祝考试顺利一、选择题（本大题共10小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知集合cos2sin，A，xx，xxBsinsin2coscos，则ABI为（）A0,1 B 1,1 C 1 D02若复数14iti的模为5 2，则实数 t 的值为（）A1 B2 C2 D33某几何体的三视图如下图所示，它的体积为（）A192 B 240 C 384 D 5764设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 S52 S10，则5151052SSSS（）A52 B92 C72
2、 D1125已知 A、B 是抛物线xy42上异于原点 O的两点，则“OAOB=0”是“直线 AB恒过定点(0,4)”的（）A充分非必要条件B充要条件C 必要非充分条件D 非充分非必要条件6数列921,aaa中，恰好有 6 个 7，3 个 4，则不相同的数列共有（）个 A67C B49C C39C D36C7已知双曲线2,2)0,0(12222ebabyax的离心率，则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围是（）A4,6 B3,6 C3,4 D2,38 已知函数242log,041234(4)xxfxxxx，若方程()(f xt t)R有四个不同的实数根1x，2x，3x，4x，则1x2x3x4x的
3、取值范围为（）A(30,34)B(30,36)C (32,34)D(32,36)9已知,x y都是正实数，则44xyxyxy的最大值为（）A32 B 43 C52 D 5410.已知在矩形 ABCD中，2AB，4AD，E，F 分别在边 AD，BC 上，且1AE，3BF，如图所示，沿 EF 将四边形 AEFB 翻折成 A EFB，则在翻折过程中，二面角 BCDE 的大小为，则 tan的最大值为（）A3 253 3B.53 2C.43 3D.4非选择题部分二、填空题（本大题7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共 36 分.）11 已知函数ln2020fxxx，则1f，0(12)(1)li
4、mxfxfx的值等于 .12 已知点 P(x,y)满足条件yxzkkyxxyx3),(02,0若为常数的最大值为 12，则 k .13如果 xx2x3 x9x10a0a1(1x)a2(1x)2 a9(1 x)9a10(1x)10，则 a9_ _，10a=.14已知 A袋内有大小相同的1 个红球和 3 个白球，B袋内有大小相同的2 个红球和 4 个白球现从 A、B两个袋内各任取2 个球，设取出的 4 个球中红球的个数为，则(1)P，的数学期望为 .15抛物线xy22顶点为 O，焦点为 F，M 是抛物线上的动点，则MFMO取最大值时 M点的横坐标为 .16.已知ABC中，BC 中点为 M，BCAC
5、AB,ABACABACBC2222，CACN31，3AB，则B=，MN .17.已知函数222 sin2,2 cos2aafaaa0,aRa,则函数,fa的值域是 .三、解答题(本大题共 5 小题，共 74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)18（本题满分 14 分）在ABC中,A B C所对边分别为,a b c.已知3,b2()4cos23sin 23,f xxx（）求()f x单调递减区间和最大值M；（）若(),f BM求ABC面积的最大值.19（本小题满分 15 分）如图，ABEF 是等腰梯形，EFAB/，BFAF，矩形 ABCD 和 ABEF 所在的平面互相垂直已知2AB，1
6、EF（）求证：平面 DAF平面 CBF；（）求直线 AB 与平面 CBF 所成角的正弦值.20、（本小题满分 15 分）已知数列na的前 n 项和nS满足：121nnaS（）求na的通项公式；（）设11111nnncaa，数列nc的前 n 项和为 Tn.求证：123nTn21、（本小题满分 15 分）已知圆 S：020422yxx，T 是抛物线xy82的焦点，点 P是圆 S上的动点，Q为 PT的中点，过Q作QGPT交 PS于 G（1）求点 G的轨迹 C的方程；（2）过抛物线xy82的焦点 E的直线 l 交 G的轨迹 C于点 M、N，且满足364sinMONONOM，(O 为坐标原点)，求直线
7、l 的方程.22（本小题满分 15 分）对 于 定 义 在 I 上 的 函 数yfx，若 存 在0 xI，对 任 意 的 xI，都 有0fxfxm或者0fxfxM，则称0()f x为函数()f x在区间 I 上的“最小值m”或“最大值 M”（）求函数2()ln(2)f xxx在 1,0上的最小值；（）若把“最大值 M”减去“最小值m”的差称为函数()f x在 I 上的“和谐度 G”，试求函数()23F xx xaa（0）在1,2上的“和谐度 G”；（）类 比 函 数()f x的“和 谐 度G”的 概 念，请 求 出(,)(1)(1)11xyx yxyyx在(,),0,1Ix y x y上的“和
8、谐度G”2020年 1 月 2020届绍兴一中 2017 级高三上学期期末考试数学参考参考答案：CDBDB CCCBC 11【答案】2021，-404212【答案】913【答案】9，114【答案】7(1)15P,76E可能的取值为 01 2 3，1(0)5P，7(1)15P，13224611(3)30CPCC从而3(2)1(0)(1)(3)10PPPP的分布列为0 1 2 3 Pm n pq的数学期望17317012351510306E15【答案】1【解析】设抛物线方程为xy22，则顶点及焦点坐标为00，O，021，F，若设点 M 坐标为,Mx y，则2MFMO=222221yxyxxxxx2
9、2122241222xxxx令41222xxxxt得，04212txtxt，由0得34t，由4123422xxxx得1x。16.【答案】4，210【解析】由BCACAB得：0BCACAB，即 20BCAM，故BCAM。由ABACABACBC2222得：22BCABAC，即224BCAM，也即AMBC2，所以ABC 的形状为等腰直角三角形(如图)。在CNM 中，由余弦定理得MN210。17.【答案】23,23【解析】设222 sin22 cos2aataa，则22cos2 sin(1)(2)0,atata所以直线222(1)(2)0,atxayta与圆221xy有公共点，从而有221(2)121
10、taat得22122122221taaaat于是21121tt，得2410tt得2323t18【解析】()()4sin(2)1,6f xx.3分设3222,262kxkkZ解得2,.63kxkkZ所以函数()f x的单调减区间为2,.63kkkZ.6分函数()fx的最大值为3.M.8分（）(0,),BQ且当 xB 时()f x取得最大值，2,.626BB.10分222292cos323,189 3,acacAacacacacac.12分等号当且仅当 ac 时成立.11189 3sin.244ABCSacBac所以ABC面积的最大值为189 3.4.14分19（）证明：平面 ABCD平面 ABE
11、F,平面 ABCD平面 ABEF=AB，ABCB,CB平面 ABCD，CB平面 ABEF AF平面 ABEF，CBAF，又BFAF，AF平面 CBF AF平面 ADF，平面 DAF平面 CBF（）方法一：根据（）的证明，有AF平面 CBF，FB 为 AB 在平面 CBF 上的射影，因此，ABF 为直线 AB 与平面 CBF 所成的角EFAB/，四边形 ABEF 为等腰梯形，过点 F 作ABFH，交 AB 于 H 2AB,1EF，则212EFABAH在AFBRt中，根据三角形相似（或射影定理）得ABAHAF2，解得1AF21sinABAFABF直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小为30方法二
12、：略20【解析】（）121nnaS，12111aS，即12111aa311a当2n时，1121nnnnnaaSSa，得311nnaa，即na是等比数列；1()3nna（）证明：11111331131311()1()33nnnnnnnc11131 1311111131313131nnnnnn1112()3131nn，由111111,313313nnnn得111111,313133nnnn所以1113112()2()313133nnnnnc，从而1222311111112()2()2()333333nnnnTcccLL22311111112()()()333333nnnL11112()2333nn
13、n即123nTn21、【解析】（1）由题意得：T（2，0），且GQ是 PT的中垂线.|GTPG又62|PSGPGSGTGS，点 G的轨迹是以 S、T 为焦点的椭圆，2,6 caG,2c-ab22的轨迹 C的方程是.12622yx由题意得：E(-2，0），当直线 l 的斜率存在时，设l：2xky，代入.12622yx并整理得：2222(31)121260kxk xk，设1122(,)(,)MxyN xy，则2212122212126,3131kkxxxxkk,222212121222 6(1)11()431kMNkxxkxxx xk，点O到直线 l 的距离221kdk.42sin6633OMNO
14、MONMONSVuuuu ruuu r，而12OMNSMNdV，463MNd，即22222 6(1)463131kkkk，解得33k，此时3:(2)3myx，当直线 l 的斜率不存在时，l：2x，也有263OMNSV，故直线 l 的方程为320 2xyx或22 解：（）令1()202fxxx，则22410 xx，122211122xx显然，1,01x，列表有：x 0 (0,x1)x1 (x1,1)1/()fx-0+()fxln 2极小值 1所以，()f x在 1,0上的“下确界”为123()ln(1)222f x.4 分（）当102a时，max()(2)F xF，min()(1)F xF，和谐
15、度 G(2)(1)32FFa；当1526a时，max()(2)F xF，min()(2)F xFa，和谐度 G()(2)44F aFaa；当516a时，max()(1)F xF，min()(2)F xFa，和谐度 G()(2)21F aFa；当312a时，max()()F xF amin()(2)F xF，和谐度 G2()(2)(2)F aFa；当322a时，max()()F xF a，min()(1)F xF，和谐度 G2()(1)(1)F aFa；当2a时，max()(2)F xF,min()(1)F xF，和谐度 G(2)(1)23FFa.综上所述：22132,021544,26521,
16、163(2),123(1),2223,2aaaaaaGaaaaaa 10 分（每一项得1分）（）因为221(1)(,)11(1)(1)(1)(1)xyx yxyxyx yxyxy，当0 xy或1xy时等号成立，所以(,)x y的最大值为 111 分令(1),(1)(1)xyxyTtxyxy，则2222(1)(1)(1)(1),0,1.1(1)112xyxyxyxyttttTtxyxyttxyxy令2(1)()1ttg tt，则2232215152()()(23)(1)()22()(1)(1)t tttttttg ttt，令()0g t，得152t是()g t的极大值点，也是()g t的最大值点，155 511()()22g tg，从而5 5112T，所以5 511135 5(,)122x y 13 分当152xy时等号成立，所以(,)x y的最小值为2551314 分由此5 5112G15 分2020年 1 月 2020届浙江省绍兴一中2017级高三上学期期末考试数学试卷