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1、2020 年中考数学一轮复习培优训练：圆1如图，在ABC中，点O为BC边上一点，O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FEAC，垂足为D，BEF2F（1）求证：AC为O切线（2）若AB5，DF 4，求O半径长2如图，A，B，C，D在O上，ABCD经过圆心O的线段EFAB于点F，与CD交于点E（1）如图 1，当O半径为 5，CD4，若EFBF，求弦AB的长；（2）如图 2，当O半径为，CD2，若OBOC，求弦AC的长3（1）已知等边ABC内接于O点P为上的一个动点，连结PA、PB、PC如图 1，当线段PC经过点O时，试写出线段PA，PB，PC之间满足的等量关系，并说明理
2、由；如图 2，点P为上的任意一点（点P不与点A、点B重合），试探究线段PA，PB，PC之间满足的等量关系，并证明你的结论；（2）如图 3，在ABC中，AB4，AC7，BAC的外角平分线交ABC的外接圆于点P，PEAC于E，求AE的长4感知定义在一次数学活动课中，老师给出这样一个新定义：如果三角形的两个内角 与 满足+2 90，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”尝试运用（1）如图 1，在 RtABC中，C90，BC3，AB5，BD是ABC的平分线证明ABD是“类直角三角形”；试问在边AC上是否存在点E（异于点D），使得ABE也是“类直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由
3、类比拓展（2）如图 2，ABD内接于O，直径AB 10，弦AD 6，点E是弧AD上一动点（包括端点A，D），延长BE至点C，连结AC，且CADAOD，当ABC是“类直角三角形”时，求AC的长5已知：AB是O直径，点E、F是弦AD、CD延长线上的点，FBAD；（1）求EF与AC的位置关系（2）连接CE交O于G，连接BD，若 2CAE+DAGABD，求证：ACCE（3）在（2）的条件下，延长AB、EF交于K，EK2AC，AK10，AEK的面积 18，求线段EK的长度6如图，直线AB经过O上的点C，直线AO与O交于点E和点D，OB与O交于点F连接DF、DC已知OAOB，CACB（1）求证：直线AB是
4、O的切线；（2）求证：FDCEDC；（3）已知：DE 10，DF8，求CD的长7（2019 秋?如皋市期中）如图，AB是O的切线，切点为B，OA交O于点C，过点C的切线交AB于点D 若BAO30，CD2（1）求O的半径；（2）若点P在上运动，设点P到直线BC的距离为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围8如图：已知ADCO，AOO的半径点E是CD上一点，连接AE，DAECAO（1）求证：AECD；（2）如图 2，延长AO交CD于点GO于点B，过B作BFCD于F求证：CFDE；（3）如图 3，M是弧CD的中点，连接CM交AB于点H，连接AM交CD于点N，连
5、接DM若CNDM，AD，tan CGBO的半径9已知，如图ABC中，ABAC，D是边BC上一点，BDDC，过点A、D、C三点的O交AB于点F，点E在上，连接DF、AE、DE、CE（1）求证：BDF是等腰三角形；（2）若，请用题意可以推出的结论说明命题：“一组对边相等，且一组对角相等的四边形是平行四边形”是假命题10如图 1，在O中，弦AB与半径OC交于点E，连接AC、OB，BOE2OEB（1）求证：ACEC；（2）如图 2，过点C作CDAB交O于点D，垂足为M，连接CB，求证：CDCB；（3）如图 3，在（2）的条件下，连接DO并延长DO交AB于点F，连接CF、BD，过点M作MPDB于点P，交
6、DF于点Q，连接OP，若DFC90，QO1 时，求线段OP的长度11已知：如图，AB为O的直径，弦CDAB，点E为弧AC上一点，连接BE（1）如图 1，求证：CEBDEB；（2）如图 2，若弦CD经过圆心O，过点A作AFAE交DE于，求证：CEDF；（3）如图 3，在（2）的条件下，连接AC交ED、EB于点H、G，连接BF，若CG2，AH3，求BF的长12已知，ABCO，ABAC，连接AO并延长交BC于点D（1）如图 1，求证：ADBC；（2）如图 2，过点B作AC的垂线，交AD于点E，交O于点F，垂足为点G，连接CF，求证：CF+FGBG；（3）如图 3，在（2）的条件下，P为弧AC上一点，
7、弧PF弧CF，连接PA、PB、PC，PB交AD于点M，交AC于点N，若PB16，PC10，求AMN的面积13如图，RtABC中，ABC 90，A30，AC的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点O，以点O为圆心，OB的长为半径作圆，与AB边交于点E（1）求证：AC是O的切线；（2）若点P为O上的动点（含点E，B），连接BD、BP、DP当点P只在BE左侧半圆上时，如果BCDP，求BDP的度数；若Q是BP的中点，当BE 4 时，直接写出CQ长度的最小值14如图，AB是O的直径，CE是O切线，C是切点，EA交弦BC于点D、交O于点F，连接CF：（1）如图 1，求证：ECBF+90；（2）如图 2，连
8、接CD，延长BA交CE于点H，当ODBC、HAHE时，求证：ABCE；（3）如图 3，在（2）的条件K在EF上，EHFK，SADO，求WE的长15如图，在O中，AB是O的直径，CD是O的弦且与AB交于点E（E不与O重合），CEDE，点F在弧AD上，连接AD、CF、DF，CF交AB于点H，交AD于点G（1）如图 1，求证：CFD 2BAD；（2）如图 2，过点B作BNCF于点N，交O于点M，求证：FNCN+DF；（3）如图 3，在（2）的条件下，延长CF至点Q，连接QA并延长交BM的延长线于点P，若QADF，HEBE，AQ 2DG10，求线段PN的长参考答案1（1）证明：连结OA，AOE2F，B
9、EF2F，AOEBEF，AODF，DFAC，OAAC，AC为O切线；（2）解：连接OF，BEF2F，设AFE，则BEF2，BAFBEF2，BAFE，BAOB，OAFBAO，OAOF，AFOOAF，ABOAFO（AAS），ABAF 5，DF4，AD 3，BE是O的直径，BAE90，BAEFDA，BAFD，ABEDFA，BE，O半径2解：（1）如图 1 中，连接OB，OC设BFEFx，OFyCEFCEFABCD，EFAB，EFCD，AFBFx，DEEC2，根据勾股定理可得：，解得或（舍弃），BF4，AB2BF8（2）如图 2 中，作CHAB于HOBOC，ABOC45，AHCH，ACH是等腰直角三角
10、形，ACCH，ABCD，EFAB，EFCD，CEFEFHCHF90，四边形EFHC是矩形，CHEF，在 RtOEC中，EC，OC，OE2，EOC+OCE 90，EOC+FOB 90，FOBECO，OBOC，OFBCEO（AAS），OFEC，CHEF 3，ACEF63解：（1）PA+PBPC，理由如下：线段PC经过点O，PC是O的直径，PACPBC90，ABC是等边三角形，ABCBAC60，ACPBCP30，PAPC，PBPC，PA+PBPC；PA+PBPC，理由如下：在PC上截取PDPA，连接AD，如图 2 所示：ABC是等边三角形，ABAC，ABCBAC60，APDABC60，PDPA，AP
11、D是等边三角形，ADAPPD，PAD60BAC，DACPAB，在ACD和ABP中，ACDABP（SAS），DCPB，PA+PBPD+DCPC；（2）在AC上截取EDAE连接PD并延长交圆O于G连接CG，如图 3 所示：PEAC，DEAE，PAPD，PADPDACDGPADGCDGG，CGCD，又PA平分FAC，BAC180 2PAD180（PAD+PDA）APG，ABCGACABACCDAD 2AE，即 2AEACAB743，AE4（1）证明：如图1 中，BD是ABC的角平分线，ABC2ABD，C90，A+ABC90，A+2ABD90，ABD为“类直角三角形”如图 1中，假设在AC边设上存在点
12、E（异于点D），使得ABE是“类直角三角形”在 RtABC中，AB5，BC3，AC4，AEBC+EBC90，ABE+2A90，ABE+A+CBE90ACBE，ABCBEC，CE，（2）AB是直径，ADB90，AD6，AB10，BD8，如图 2中，当ABC+2C90时，作点D关于直线AB的对称点F，连接FA，FB则点F在O上，且DBFDOA，DBF+DAF 180，且CADAOD，CAD+DAF 180，C，A，F共线，C+ABC+ABF90CABF，FABFBC，即，AC如图 3中，由可知，点C，A，F共线，当点E与D共线时，由对称性可知，BA平分FBC，C+2ABC90，CADCBF，CC，
13、DACFBC，即，CD（AC+6），在 RtADC中，（ac+6）2+62AC2，AC或 6（舍弃），综上所述，当ABC是“类直角三角形”时，AC的长为或5解：（1）如图 1，延长FE，AC交于点H，连接BD，AB是直径，ADB90，DAB+ABD 90，四边形ABDC是圆内接四边形，HCDABD，且FBAD，HCD+F90，H90，ACEF；（2）如图 2，延长FE，AC交于点H，连接BD，四边形ABDC是圆内接四边形，HCDABD，2CAE+DAGABD，且HCDCAE+ADC，CAE+ADC 2CAE+DAG，ADCCAE+DAG，且AGCADC，且AGCAEC+GAD，CAE+DAGG
14、AD+AEC，AECCAE，ACCE；（3）如图 3，过点K作KMAE，过点E作ENAK，过点A作APCE，交EC的延长线于P，HAMK90，AEHMEF，HAEMKE，且HAECEA，CEAMKE，PAAE，HAECEA，CPACAP，PCAC，且ACCE，PE2AC，且EK2AC，PEEK，且PAEKME90，CEAMKE，PAEEMK（AAS）AEMK，AK 10，AEK的面积 18，AKEN10EN 18，AEMKAE218，EN，AE 6，AN，KNAKAN，EK26（1）证明：连接OCOAOB，ACCB，OCAB，点C在O上，AB是O切线（2）证明：OAOB，ACCB，AOCBOC
15、，ODOF，ODFOFD，AOBODF+OFDAOC+BOC，BOCOFD，OCDF，CDFOCD，ODOC，ODCOCD，ADCCDF（3）解：作ONDF于N，延长DF交AB于MONDF，DNNF 4，在 RtODN中，OND90，OD5，DN4，3，OCM+CMN 180，OCM 90，OCMCMNMNO90，四边形OCMN是矩形，ONCM 3，MNOC5，在RTCDM中，DMC90，CM3，DMDN+MN9，CD37解：（1）连结OB，如图，AB、CD是O的切线，DBDC 2，OBAB，CDOA，ABOACD90，BAO30，AD2CD2BD，AD4，ABAD+BD6，OBAB2，即O的
16、半径为2；（2）BAO30，BOC60，点P到直线BC的距离为x，PBC的面积为2xx，弓形BC的面积扇形COB的面积COB的面积2，yx+2，当点P到BC的垂线经过圆心O时，其值最大，即2+3，自变量x的取值范围是0 x2+38（1）证明：如图1 中，延长AO交O于M，连接CMAM是直径，ACM90，CAM+M90，CAODAE，DM，DAE+D90，AED90，AECD（2）证明：如图2 中，连接BC，延长AE交O于H，连接DHCAODAE，DHBC，BFCD，BFC90ACB，ACD+BCF 90，BCF+CBF 90，ACDCBF，HACD，HCBF，DEHBFC90，BFCHED（A
17、AS），CFDE（3）解：如图3 中，作GMAD于M，作NJAB于J，连接BCCGBAGE，AECD，tan CGBtan AGE，设AE4k，EG3k，则AG5k，DMCM，DAMMAC，CNDM，ACNAMD，ACNAMD（AAS），ANAD，AEDN，DEEN，DAENAECABMAB，NEAE，NJAB，NENJ，ENEGk，DNk，DGk，ADk，?AD?GM?DG?AE，GM，AMk，GAMCAE，AMGAEC90，AECAMG，ACk，ACBAED，AB10，O的半径为59解：（1）ABAC，BC，四边形AFDC是圆内接四边形，AFD+CBFD+AFD180，BFDC，BFDB，
18、BDDF，BDF是等腰三角形；（2）如图，已知ABDE，BE，则四边形ABDE是平行四边形是假命题；，DEAC，ABAC，ABDE，ABAC，BC，CE，BE，AECDBD，但四边形ABDE不是平行四边形，“一组对边相等，且一组对角相等的四边形是平行四边形”是假命题10（1）证明：如图1 中，延长CO交O于T，连接BTOTOB，TOBT，EOBT+OBT2T，EOB2OEB 2AEC，TAEC，AT，AAEC，CACE（2）证明：如图2 中，作OHBC于H，OFCD于FOCOB，OHBC，COHBOH，EOB2OEB2CEM，COHCEM，CEM+OCF 90，OCH+OCH 90，OCHOC
19、F，OFCD，OHCB，OFOH，OCOC，OFCOHC90，RtCOFRtCOH（HL），CFCH，DFCF，CHBH，CDCB（3）延长CO交BD于T，连接TF，TMCDCB，DCOBCO，CTBD，DTBT，OCOD，FDCTCD，DFCCTD90，CDDC，CDTDCF（AAS），DTCF，TDCFCD，DFCT，TDFFCT，TDFFCT（SAS），DFTCTF，DOCFOT，OCDOTF，CDTF，BTFBDCFCM，CFBT，CMFTFB，CMFTFB（AAS），FTCM，四边形FTMC是平行四边形，TEEC，EMEF，DFCT，ODOC，OTOF，OTFOFT，OTF+FET
20、90，OFT+OFE 90，OEFOFE，OEOFOT，OEMO，EFEM，OQOF 1，ETEC 2，ODOC 3，DQ2，QPOT，PQ，DP，DT2，PTDTDP2，OP11解：（1）如图 1 中，CDAB，AB是直径，CEBDEB（2）如图 2 中，连接AC、AD，ABCD，OCOD，ACAD，CD是直径，CAD90，AEAF，EAFAOD45，EAF90，AEAF，EAFCAD，EACFAD，ACEADF（SAS），CEDF（3）过点A作ASCE交CE的延长线于S，ATED于T，过点E作ENAC于NAB是直径，AEB90，AED+DEG 90，SEA+CEB 90，CEGDEG，AE
21、SAED，ASES，ATET，ASAT，同法可证，设HGx，x1，AC6，tan ECA，tan EAC，AE，EF，BEBF12解：（1）如图 1 中，ABAC，AD经过圆心O，ADBC（2）如图 2 中，设BF交AD于H，连接CHABAC，ADBC，BDDC，HBHC，BFAC，AGHBDH90，HAG+AHG 90，DBH+BHD 90，AHGBHD，HAGDBH，GAFDBH，GAFGAH，GAH+AHG90，GAF+AFG90，AHGAFG，AHAF，ACFH，GHFG，CHCFBH，BGBH+GHCF+FG（3）如图 3 中，作MKAB于K，MJAC于J，PBFCBF，PBC2PB
22、F2CAD，ABAC，ADBC，BAC2CAD，BPCBAC，BPC2DAC，CBPCPB，CBCP 10，BCNCBACBN+ABN，CNBABN+BAN，BANCBN，BCNBNC，BNBC 10，PB16，PN16 106，BCNBCA，CBNCAB，CBNCAB，设CNx，AC，ABNPCN，ANBPNC，ANBPNC，可得AN?NCBN?PN，（x）106，x2（负根已经舍弃），CN2，ACAB5，AN3，在 RtADC中，AD15，SABC?AD?BC75，AN：CN3：2，SABN 7545，MJAC，MKAB，MABMAC，MJMK，SAMN 4513（1）证明：如图1 中，连
23、接OCABC90，A30，ACB60，OD垂直平分线段AC，OAOC，AOCA30，OCBOCD30，ODCOBC90，OCOC，ODCOBC（AAS），ODOB，AC是O的切线（2）解：如图1 中，DPBC，PDBDBC，ABC90，ADDC，BDDCAD，DCB60，BDC是等边三角形，DBC60，BDP60解：如图2 中，连接OP，取OB的中点J，连接JQBE4，OBOEODOP2，JOJB 1，OBC90，OCB 30，BCOB2，JC，QPQB，JOJB，JQOP1，CQJCJQ，CQ1，CQ的最小值为 114解：（1）证明：如图1，连接OC，OBOCOCBBFBOCBFCE是O切线
24、，OCCEOCE90ECBOCB+OCEECBF+90；（2）证明：如图2，过点C作CGEF于G，连接BF，则CGECGD90AB是O的直径，AFB90CGECGDODBCBDCD在BDF和CDG中，BDFCDG（AAS）BFCGHAHEEAHEBAFEAHBAFE在ABF和ECG中，ABFECG（AAS）ABCE；（3）如图 3，过点C作CGEF于G，连接AC，OC，OF，BF，由（2）知：ABCE，BAFEOAOCOCAOACAB是O的直径，CE是O切线，ACBECO90，即ECA+OCAABC+OACECAABCABDECA（ASA）BDACBDCDACCDACD为等腰直角三角形ADC4
25、5EDF45DEF是等腰直角三角形设FKa，BFb，则DFb，BDCDACb，ADAC2b，BC2b，BDCD，OAOBODACb，BDO90OBbABCEbSADO，SBODSCOD，SBOC1 BC?OD1，即2bb1 b1 ABCE，BF1，AC，BC 2AF 3 过点C作CTAB于T，则CT，OT，tan COH，CH?OTCT?OC，即：CHCH，EHFKa，CHCEEHa，a，解得：a，FK，EH，AEHAFO，即AE?OAAF?EH，AE3，AE2，EKAE+AFFK2+3过W作WREF于R，易证：BFKWRK，设KRm，WR2mtan WERtan BAF，即ER6m，EK7m
26、，解得：mER6，WR2WE15（1）证明：如图1 中，连接ACAB是O直径，CEDE，ABCD，BACBAD，CFDCAD，CFD2BAD（2）如图 2 中，连接BC，BD，在FC上截取FKFD，连接BK，BCBD，B FDBFK，FKFD，FBFB，BFDBFK（SAS），BKBD，BCBK，BNCK，CNNK，FNFK+KNDF+CN（3）如图 3 中，连接AC，AFHEBE，设HE16a，EB27a，由题意知点H是ACD重心，AH32a，AE 48a，连接BD，由射影定理知DE2AE?EB，解得DE36a，AD10，DE36a，AE48a，在 RtADE中，由勾股定理可求得a，DE6，EB，AE8，CE6，CB，HE，tan QCD，EB，CR4，tan QCD，CN，tan ACE，tan ACQ，AK10，则CQ 2CK，CN，NQ，在 RtPNQ中，PNQ90，tan Q，NPNQ