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1、2019-2020 学年安徽省滁州市民办高中高二第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12 小题）.1复数 z1 2+i，若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z1z2（）A 5B5C 3+4iD34i2某学校为判断高三学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50 名学生，得到如表22 列联表：理科文科合计男131023女72027合计203050根据表中数据得到，已知P（23.841）0.05，P（2 5.024）0.025现作出结论“选修文科与性别相关”，估计这种判断出错的可能性约为（）A97.5%B95%C2.5%D5%3若 a，b R，则“”是“0”的（）A充分不必要条件
2、B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4命题“?x0 R，x02x010”的否定是（）A?x R，x2x 10B?x R，x2x10C?x0 R，D?x0 R，5我们知道，在边长为a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（）ABCDa6执行程序框图，那么输出S 的值为（）A9B10C45D557已知两定点A（1，0）和 B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y x+3 上移动，椭圆 C 以 A，B 为焦点且经过点P，则椭圆C 的离心率的最大值为（）ABCD8已知直线y k（x+2）（k0）与抛
3、物线C：y2 8x 相交于 A、B 两点，F 为 C 的焦点，若|FA|2|FB|，则 k（）ABCD9已知双曲线 1（a0，b0）的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（）A 1B1C 1D110已知函数f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）ABCD11 过曲线 yx2 2x+3 上一点 P 作曲线的切线，若切点 P 的横坐标的取值范围是，则切线的倾斜角的取值范围是（）ABC0，）D12已知函数yf（x）是 R 上的可导函数，当x0 时，有，则函数的零点个数是（）A0B1C2D3二、填空题（共4 小题，每小题5 分，共 20 分
4、）13已知命题p：?m R，m+10，命题q：?x R，x2+mx+10 恒成立若pq 为假命题，则实数m 的取值范围为14某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本进行5 次试验，收集到的数据如表：产品数 x 个1020304050产品总成本（元）62758189由最小二乘法得到回归方程，则 15设函数f（x）是定义在R 上的偶函数，f（x）为其导函数，当x0 时，xf（x）+f（x）0，且 f（2）0，则不等式f（x）0 的解集为16下列命题正确的是（写出所有正确命题的序号）已知 a，b R，“a 1 且 b 1”是“ab1”的充分条件；已知平面向量，
5、“且”是“”的必要不充分条件；已知 a，b R，“a2+b2 1”是“|a|+|b|1”的充分不必要条件；命题 P：“?x0 R，使且 lnx0 x01”的否定为p：“?x R，都有exx+1 且 lnx x1”三、解答题（共6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 已知 a0，命题 p：|am|，命题 q：椭圆+y21 的离心率e 满足 e（，）（1）若 q 是真命题，求实数a 取值范围；（2）若 p 是 q 的充分条件，且p不是 q 的必要条件，求实数m 的值18在平面直角坐标系xOy 中，点 P（x，y）为动点，已知点A（，0），B（，0），直线 PA 与 PB
6、 的斜率之积为定值（）求动点P 的轨迹 E 的方程；（）若F（1，0），过点F 的直线 l 交轨迹 E 于 M、N 两点，以 MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上，求直线l 的方程19已知抛物线C：y22px（p0）的焦点 F 和椭圆 E：+1 的右焦点重合，直线l 过点 F 交抛物线于A，B 两点（）若直线l 的倾斜角为135，求|AB|的长；（）若直线l 交 y 轴于点 M，且 m，n，试求 m+n 的值20已知函数（）当a2，求函数f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程；（）当a0 时，求函数f（x）的单调区间21已知椭圆C：，右顶点为（2，0），离心率为，直线l1：yk
7、x+m（k0，m0）与椭圆 C 相交于不同的两点A，B，过 AB 的中点 M 作垂直于l1的直线 l2，设 l2与椭圆 C 相交于不同的两点C，D，且 CD 的中点为N（）求椭圆C 的方程；（）设原点O 到直线 l1的距离为d，求的取值范围22已知函数f（x）ln（1+x）ln（1x）k（x3 3x）（k R）（1）当 k3 时，求曲线yf（x）在原点 O 处的切线方程；（2）若 f（x）0 对 x（0，1）恒成立，求k 的取值范围参考答案一、选择题（共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数 z1 2+i，若复数z1，z2在复平面内的对
8、应点关于虚轴对称，则z1z2（）A 5B5C 3+4iD34i【分析】由题意可知z2 2+i，再利用复数的运算法则即可得出解：由题意可知z2 2+i，所以 z1z2（2+i）（2+i）41 5故选：A2某学校为判断高三学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50 名学生，得到如表22 列联表：理科文科合计男131023女72027合计203050根据表中数据得到，已知P（23.841）0.05，P（2 5.024）0.025现作出结论“选修文科与性别相关”，估计这种判断出错的可能性约为（）A97.5%B95%C2.5%D5%【分析】根据表中数据得到观测值，对照临界值即可得出结论解：根据表中数据得
9、到，且 4.8443.841，估计选修文科与性别相关的判断出错的可能性约为5%故选：D3若 a，b R，则“”是“0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】?a，b R，a2+ab+b2+b20，当且仅当ab0 时取等号可得0?（ab）ab0，?“”解：?a，b R，a2+ab+b2+b20，当且仅当ab0 时取等号0?（ab）ab0，?“”“”是“0”的充要条件故选：C4命题“?x0 R，x02x010”的否定是（）A?x R，x2x 10B?x R，x2x10C?x0 R，D?x0 R，【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可解：因为特
10、称命题的否定是全称命题，所以命题“?x0 R，”的否定为：?x R，x2x 10故选：A5我们知道，在边长为a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（）ABCDa【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质解：类比在边长为a
11、的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a 可以得到 BF a，BOAOa，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2BE2+OE2，把数据代入得到OEa，棱长为a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4aa，故选：A6执行程序框图，那么输出S 的值为（）A9B10C45D55【分析】解答算法框图的问题，要依次执行各个步骤，特别注意循环结构的终止条件，本题中是n0 就终止循环，因此累加变量累减到值0于是计算得到结果解：由已知变量初始值为：n10，累加变量S0；每次变量n 递减 1，而 n0 时执行程序，n0
12、就终止循环，输出S，算法功能是计算S10+9+8+1+055故选：D7已知两定点A（1，0）和 B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y x+3 上移动，椭圆 C 以 A，B 为焦点且经过点P，则椭圆C 的离心率的最大值为（）ABCD【分析】求出 A 的对称点的坐标，然后求解椭圆长轴长的最小值，然后求解离心率即可解：A（1，0）关于直线l：yx+3 的对称点为A（3，2），连接AB 交直线 l于点 P，则椭圆 C 的长轴长的最小值为|AB|2，所以椭圆C 的离心率的最大值为：故选：A8已知直线y k（x+2）（k0）与抛物线C：y2 8x 相交于 A、B 两点，F 为 C 的焦点，若|FA|
13、2|FB|，则 k（）ABCD【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B 分别作 AM l 于 M，BN l 于N，根据|FA|2|FB|，推断出|AM|2|BN|，点B 为 AP 的中点、连接OB，进而可知，进而推断出|OB|BF|，进而求得点B 的横坐标，则点B 的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率解：设抛物线C：y28x 的准线为l：x 2直线 yk（x+2）（k 0）恒过定点P（2，0）如图过 A、B 分别作 AM l 于 M，BN l 于 N，由|FA|2|FB|，则|AM|2|BN|，点 B 为 AP 的中点、连接OB，则，|OB|BF|，点 B 的横坐标为1，故
14、点 B 的坐标为，故选：D9已知双曲线 1（a0，b0）的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（）A 1B1C 1D1【分析】利用双曲线1（a0，b0）的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，建立方程组，求出a，b，即可求出该双曲线的标准方程解：由题意，解的 b2，a 2，双曲线的标准方程为故选：D10已知函数f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）ABCD【分析】由导函数图象可知，f（x）在（，2），（0，+）上单调递减，在（2，0）上单调递增；从而得到答案解：由导函数图象可知，f（x）在（，2），（0，+）上单调递减，在（2，0
15、）上单调递增，故选：A11 过曲线 yx2 2x+3 上一点 P 作曲线的切线，若切点 P 的横坐标的取值范围是，则切线的倾斜角的取值范围是（）ABC0，）D【分析】求导函数，根据切点P 的横坐标的取值范围，确定切线斜率的取值范围，从而可得切线的倾斜角的取值范围解：求导函数可得，y 2x2切点 P 的横坐标的取值范围是，2x2 0，1设切线的倾斜角为，则 tan 0，1 0，）故选：B12已知函数yf（x）是 R 上的可导函数，当x0 时，有，则函数的零点个数是（）A0B1C2D3【分析】将0，转化为xf（x），然后利用函数和导数之间的关系研究函数g（x）xf（x）的单调性和取值范围，利用数形
16、结合即可得到结论解：由0，得 xf（x），设 g（x）xf（x），则 g（x）f（x）+xf（x），x0时，有，x0时，即当 x0 时，g（x）f（x）+xf（x）0，此时函数g（x）单调递增，此时 g（x）g（0）0，当 x0 时，g（x）f（x）+xf（x）0，此时函数g（x）单调递减，此时 g（x）g（0）0，作出函数g（x）和函数y的图象，（直线只代表单调性和取值范围），由图象可知函数的零点个数为1 个故选：B二、填空题（共4 小题，每小题5 分，共 20 分）13已知命题p：?m R，m+10，命题q：?x R，x2+mx+10 恒成立若pq 为假命题，则实数m 的取值范围为m 2
17、或 m 2【分析】由Pq 为假命题可知，由q 的否定为真，先求出q 为真的 m 的范围，进而可得答案解：由 Pq 为假命题可知，由Pq 的否定为真，因为命题p：?m R，m+10 是真命题，当 q 为真时，由x2+mx+1 0 恒成立，可得2m2，若 pq 为假命题，则实数m 的取值范围为：m 2 或 m2，综上知：m 2 或 m2；故答案为：m 2 或 m214某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本进行5 次试验，收集到的数据如表：产品数 x 个1020304050产品总成本（元）62758189由最小二乘法得到回归方程，则 68【分析】分别求出，代
18、入回归方程求出a 的值即可解：（10+20+30+40+50）30，（307+a），（307+a）0.67 30+54.9，解得：a68，故答案为：6815设函数f（x）是定义在R 上的偶函数，f（x）为其导函数，当x0 时，xf（x）+f（x）0，且 f（2）0，则不等式f（x）0 的解集为（，2）（2，+）【分析】设g（x）xf（x），求出 g（x）判断函数的单调性，推出f（2）0，f（2）0；即 g（2）0，g（2）0当 x0 时，求解不等式f（x）0；当 x0 时，求解不等式f（x）0，推出结果解：设 g（x）xf（x），则 g（x）xf（x）f（x）+xf（x）0，函数 g（x）在区
19、间（0，+）上是增函数，f（x）是定义在R 上的偶函数，故 g（x）xf（x）是 R 上的奇函数，则函数g（x）在区间（，0）上是增函数，而 f（2）0，f（2）0；即 g（2）0，g（2）0当 x0 时，不等式f（x）0 等价于 g（x）xf（x）0，由 g（x）g（2），得x2；当 x0 时，不等式f（x）0 等价于 g（x）xf（x）0，由 g（x）g（2），得 x 2，故所求的解集为（，2）（2，+）故答案为：（，2）（2，+）16下列命题正确的是（写出所有正确命题的序号）已知 a，b R，“a 1 且 b 1”是“ab1”的充分条件；已知平面向量，“且”是“”的必要不充分条件；已知
20、a，b R，“a2+b2 1”是“|a|+|b|1”的充分不必要条件；命题 P：“?x0 R，使且 lnx0 x01”的否定为p：“?x R，都有exx+1 且 lnx x1”【分析】，由不等式的性质判定；，利用向量的加法法则判定；，利用单位圆判定；，“且”的否定是“或”【解答】解；对于，已知 a，b R，“a1 且 b1”是“ab1”的充分条件，正确；对于 ，向量的加法法则可知，“且”不能得到“”；“”，不能得到，“且”，故错；对于 ，如图在单位圆x2+y2 1 上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b21”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|1”，在单位圆内任取一点M
21、（a，b），满足“|a|+|b|1”，但不满足，“a2+b21”，故正确；对于 ，命题P：“?x0 R，使且 lnx0 x01”的否定为 p：“?x R，都有 exx+1 或 lnx x1”，故错故答案为：三、解答题（共6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 已知 a0，命题 p：|am|，命题 q：椭圆+y21 的离心率e 满足 e（，）（1）若 q 是真命题，求实数a 取值范围；（2）若 p 是 q 的充分条件，且p不是 q 的必要条件，求实数m 的值【分析】（1）根据椭圆的标准方程及其性质，需要分类讨论，即可求出a 的范围，（2）根据 p 是 q 的充分条件，
22、且p 不是 q 的必要条件得到关于m 的不等式组，解得即可解：（1）当 a1 时，2a3，当0 a1 时，e2 1 a2，e2，1 a2，a2，综上所述（2），则题意可知或，解得 m?或，经检验，满足题意，综上18在平面直角坐标系xOy 中，点 P（x，y）为动点，已知点A（，0），B（，0），直线 PA 与 PB 的斜率之积为定值（）求动点P 的轨迹 E 的方程；（）若F（1，0），过点F 的直线 l 交轨迹 E 于 M、N 两点，以 MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上，求直线l 的方程【分析】（）用坐标表示直线PA 与 PB 的斜率因为直线PA 与 PB 的斜率之积为定值，可得
23、即轨迹方程为（）讨论斜率为0 与斜率不存在时不合题意，设直线方程为yk（x1），利用根与系数的关系表示MN 的中点，则线段 MN 的中垂线m 的方程为则直线 m与 y 轴的交点又可解得 k 1，即直线 l 的方程为y（x1）解：（）由题意，整理得，所以所求轨迹E 的方程为，（）当直线l 与 x 轴重合时，与轨迹E 无交点，不合题意；当直线 l 与 x 轴垂直时，l：x1，此时，以 MN 为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为，不合题意；当直线 l 与 x 轴既不重合，也不垂直时，不妨设直线l：yk（x1）（k0），M（x1，y1），N（x2，y2），MN 的中点，由消 y 得（2k2+1）x24
24、k2x+2k220，由得所以，则线段 MN 的中垂线m 的方程为：，整理得直线，则直线 m 与 y 轴的交点，注意到以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上，当且仅当RM RN，即，由将 代入 解得 k 1，即直线l 的方程为 y（x1），综上，所求直线l 的方程为xy10 或 x+y1019已知抛物线C：y22px（p0）的焦点 F 和椭圆 E：+1 的右焦点重合，直线l 过点 F 交抛物线于A，B 两点（）若直线l 的倾斜角为135，求|AB|的长；（）若直线l 交 y 轴于点 M，且 m，n，试求 m+n 的值【分析】（）根据椭圆和抛物线的定义即可求出p 的值，求出直线l 的方程
25、，联立方程组，得到x1+x2 6，根据焦点弦定理即可求出|AB|，（）设直线l：yk（x1），l 与 y 轴交于 M（0，k），设直线 l 交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，消元利用韦达定理，结合且m，n，运用向量的坐标表示，可得m，n，由此可得结论解：（）据已知得椭圆E 的右焦点为F（1，0），1，故抛物线C 的方程为y24x，直线 l 的倾斜角为135，y x+1，于是得到（x+1）24x，即 x26x+10，设 A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2 6，|AB|p+x1+x28，（）根据题意知斜率必存在，于是设方程为yk（x1），点 M 坐标为 M（0
26、，k），A（x1，y1），B（x2，y2）为 l 与抛物线C 的交点，得到 k2x22（k2+2）x+k20，16（k2+1）0，x1+x2 2+，x1x21，m，n，（x1，y1+k）m（1x1，y1），（x2，y2+k）n（1x2，y2），m，nm+n+120已知函数（）当a2，求函数f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程；（）当a0 时，求函数f（x）的单调区间【分析】（）根据题意，当a2 时，求出函数的解析式，求导可得f（x），将 x1 代入计算可得f（1），分析切点的坐标，由直线的点斜式方程即可得答案；（）根据题意，由函数的解析式对其求导可得f（x），令f（x）0，解得x1 1
27、，x2a 1，对 a 进行分情况讨论，分析函数的单调性，综合即可得答案解：（）根据题意，当a2 时，f（1）0；函教f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程为（）由题知，函 数f（x）的 定义域为（0，+），令 f（x）0，解得x11，x2a1，当 a2 时，所以a11，在区间（0，1）和（a1，+）上f（x）0；在区间（1，a1）上 f（x）0，故函数f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a1，+），单调递减区间是（1，a1）当 a2 时，f（x）0 恒成立，故函数f（x）的单调递增区间是（0，+）当 1a2 时，a11，在区间（0，a1），和（1，+）上 f（x）0；在（a1，1）上
28、f（x）0，故函数f（x）的单调递增区间是（0，a 1），（1，+），单调递减区间是（a1，1）当 a1 时，f（x）x1，x1 时 f（x）0，x1 时 f（x）0，函数f（x）的单调递增区间是（1，+），单调递减区间是（0，1）当 0a1 时，a10，函数f（x）的单调递增区间是（1，+），单调递减区间是（0，1），综上，a2 时函数f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a1，+），单调递减区间是（1，a1）；a2 时，函数f（x）的单调递增区间是（0，+）；当 1a2 时，函数f（x）的单调递增区间是（0，a1），（1，+），单调递减区间是（a1，1）；当 0a1 时，函数f（x）的单调
29、递增区间是（1，+），单调递减区间是（0，1）21已知椭圆C：，右顶点为（2，0），离心率为，直线l1：ykx+m（k0，m0）与椭圆 C 相交于不同的两点A，B，过 AB 的中点 M 作垂直于l1的直线 l2，设 l2与椭圆 C 相交于不同的两点C，D，且 CD 的中点为N（）求椭圆C 的方程；（）设原点O 到直线 l1的距离为d，求的取值范围【分析】（）运用离心率公式和a，b，c 的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（）设出AB 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点的坐标，再设直线CD的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式和点到直线的距离公式，再由二次函数的最值，即可得到范
30、围解：（）由得 a2，c，b1，则椭圆方程为；（）由得（1+4k2）x2+8kmx+4m24 0，设 A（x1，y1），B（x2，y2），则，故，l2：y（x+），即，由，得，设 C（x3，y3），D（x4，y4），则，故，故，又，所以令 tk2+1（t 1），则22已知函数f（x）ln（1+x）ln（1x）k（x3 3x）（k R）（1）当 k3 时，求曲线yf（x）在原点 O 处的切线方程；（2）若 f（x）0 对 x（0，1）恒成立，求k 的取值范围【分析】（1）求得 f（x）的解析式，以及导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；（2）求得 f（x）的导数，讨论k 的范围，判断单调性，考虑最小值小于0，解不等式即可得到所求范围解：（1）当 k3 时，f（x）ln（1+x）ln（1x）3（x33x），导数，可得切线的斜率为f（0）11，故曲线 yf（x）在原点O 处的切线方程为y11x；（2）f（x）的导数为，当 x（0，1）时，（1x2）2（0，1），若，2+3k（1x2）20，则 f（x）0，f（x）在（0，1）上递增，从而f（x）f（0）0若，令，当时，f（x）0，当时，f（x）0，则不合题意故 k 的取值范围为