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1、第四章 线性系统的能控性与能观性4.6 4.6 线性定常系统的结构分解线性定常系统的结构分解4.6.1 4.6.1 系统能控性分解系统能控性分解设系统的状态空间表达式为设系统的状态空间表达式为假假设设系系统统的的能能控控性性矩矩阵阵的的秩秩n1n（n为为状状态态向向量量维数），即系统不完全能控。维数），即系统不完全能控。关于系统的能控性分解，有如下结论。关于系统的能控性分解，有如下结论。第四章 线性系统的能控性与能观性定理定理4.6.1 存在非奇异矩阵存在非奇异矩阵Tc，对系统进行状态，对系统进行状态变换变换 ，可使系统的状态空间表达式变换，可使系统的状态空间表达式变换成成 其中其中第四章 线
2、性系统的能控性与能观性在变换后的系统中，将前在变换后的系统中，将前n1维部分提出来，得到维部分提出来，得到下式下式这部分构成这部分构成n1维能控子系统。维能控子系统。而后而后n-n1维子系统维子系统为不能控子系统为不能控子系统。第四章 线性系统的能控性与能观性关键关键 变换矩阵变换矩阵Tc的构造的构造求法如下：求法如下：在能控性矩阵在能控性矩阵 中选择中选择n n1 1个线性无关的列向量；个线性无关的列向量；将所得列向量作为矩阵将所得列向量作为矩阵T Tc c的前的前n n1 1个列，其余列个列，其余列 可以在保证可以在保证T Tc c为非奇异矩阵的条件下任意选择为非奇异矩阵的条件下任意选择第
3、四章 线性系统的能控性与能观性例例4.6.14.6.1 对下列系统进行能控性分解。对下列系统进行能控性分解。能控性矩阵的秩能控性矩阵的秩 可知系统不完全能控可知系统不完全能控 第四章 线性系统的能控性与能观性 在能控性矩阵中任选两列线性无关的列向量。在能控性矩阵中任选两列线性无关的列向量。为计算简单，选取其中的第为计算简单，选取其中的第1列和第列和第2列。易知它们列。易知它们是线性无关的。是线性无关的。再选任一列向量，与前两个列向量线性无关。再选任一列向量，与前两个列向量线性无关。变换矩阵变换矩阵 第四章 线性系统的能控性与能观性状态变换后的系统状态空间表达式状态变换后的系统状态空间表达式 二
4、维能控子系统二维能控子系统 第四章 线性系统的能控性与能观性系统能控性分解结构图系统能控性分解结构图 第四章 线性系统的能控性与能观性定理定理4.6.24.6.2 能控子系统的传递函数矩阵与原系能控子系统的传递函数矩阵与原系统的传递函数矩阵相同，即统的传递函数矩阵相同，即.因为因为第四章 线性系统的能控性与能观性4.6.24.6.2 系统能观性分解系统能观性分解设系统的状态空间表达式为设系统的状态空间表达式为 假假设设系系统统的的能能观观性性矩矩阵阵的的秩秩n2n（n为为状状态态向向量维数），即系统不完全能控。量维数），即系统不完全能控。关于系统的能观性分解，有如下结论。关于系统的能观性分解，
5、有如下结论。第四章 线性系统的能控性与能观性定理定理4.6.34.6.3 存在非奇异矩阵存在非奇异矩阵To，对系统进行状态，对系统进行状态变换变换 ，可使系统的状态空间表达式变，可使系统的状态空间表达式变换成换成 其中其中 第四章 线性系统的能控性与能观性在变换后的系统中，将前在变换后的系统中，将前n2维部分提出来，得到维部分提出来，得到下式下式这部分构成这部分构成n2维能观子系统。维能观子系统。而后而后n-n2维子系统维子系统为不能观子系统。为不能观子系统。第四章 线性系统的能控性与能观性方法如下方法如下:从能观性矩阵中选择从能观性矩阵中选择n2个线性无关的行向量。个线性无关的行向量。将所求
6、行向量作为将所求行向量作为 的前的前n2个行，其余的行个行，其余的行 对于能观性分解，变换矩阵的求法有其特殊对于能观性分解，变换矩阵的求法有其特殊性。应由构造其逆做起，即先求。性。应由构造其逆做起，即先求。可以在保证可以在保证 为非奇异矩阵的条件下任意选择。为非奇异矩阵的条件下任意选择。第四章 线性系统的能控性与能观性例例4.6.24.6.2 系统同例系统同例4.6.1，进行能观性分解。进行能观性分解。计算能观性矩阵的秩计算能观性矩阵的秩 任选其中两行线性无关的行向量，再选任一个与任选其中两行线性无关的行向量，再选任一个与之线性无关的行向量，得之线性无关的行向量，得 第四章 线性系统的能控性与
7、能观性状态变换后的系统状态空间表达式状态变换后的系统状态空间表达式 二维能观子系统二维能观子系统 第四章 线性系统的能控性与能观性系统能观性分解结构图系统能观性分解结构图 第四章 线性系统的能控性与能观性定理定理4.6.44.6.4 能观子系统与原系统的传递函数矩能观子系统与原系统的传递函数矩阵相同阵相同 第四章 线性系统的能控性与能观性4.6.3 4.6.3 系统按能控性与能观性进行标准分解系统按能控性与能观性进行标准分解定理定理4.6.5 4.6.5 设系统状态空间表达式为设系统状态空间表达式为经过线性状态变换经过线性状态变换,可以化为下列形式可以化为下列形式第四章 线性系统的能控性与能观
8、性第四章 线性系统的能控性与能观性4.74.7 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系能控性、能观性与传递函数矩阵的关系单输入单输出系统的状态空间表达式单输入单输出系统的状态空间表达式 4.7.1 4.7.1 单输入单输出系统单输入单输出系统系统的传递函数系统的传递函数 定理定理4.7.1 系统能控能观的充要条件是传递函数系统能控能观的充要条件是传递函数g(s)中没有零极点对消现象。中没有零极点对消现象。第四章 线性系统的能控性与能观性 一个系统的传递函数所表示的是该系统既能控一个系统的传递函数所表示的是该系统既能控又能观的那一部分子系统。又能观的那一部分子系统。一个系统的传递函数若有零、极点对消
9、现象，一个系统的传递函数若有零、极点对消现象，则视状态变量的选择不同，系统或是不能控的则视状态变量的选择不同，系统或是不能控的或是不能观的。或是不能观的。两个推论两个推论 第四章 线性系统的能控性与能观性一个系统的分解与所选择状态变量有关一个系统的分解与所选择状态变量有关 举例举例 微分方程微分方程 传递函数传递函数 选择不同的状态变量会有不同的结果！第四章 线性系统的能控性与能观性选择选择系统的状态方程与输出方程系统的状态方程与输出方程 能控性矩阵能控性矩阵 能观性矩阵能观性矩阵 可分解为能控能观和不能控能观两部分子系统可分解为能控能观和不能控能观两部分子系统 第四章 线性系统的能控性与能观
10、性引入中间变量引入中间变量z，将传递函数写成，将传递函数写成 选择选择则有则有选择状态变量选择状态变量 第四章 线性系统的能控性与能观性系统的状态空间表达式系统的状态空间表达式 能控性矩阵能控性矩阵 能观测性矩阵能观测性矩阵 可分解为能控能观和能控不能观两部分子系统可分解为能控能观和能控不能观两部分子系统第四章 线性系统的能控性与能观性4.7.2 4.7.2 多输入多输出系统多输入多输出系统传递函数矩阵传递函数矩阵 定理定理4.7.2 如果在传递矩阵如果在传递矩阵 G(s)中，中，与与Cadj(sI-A)B之间没有非常数公因，则该系之间没有非常数公因，则该系统是能控且能观测的。（仅为充分条件）
11、统是能控且能观测的。（仅为充分条件）第四章 线性系统的能控性与能观性例例 4.7.2 4.7.2 能控能观 存在公因式 第四章 线性系统的能控性与能观性能能观观标标准准形形是是指指在在一一组组基基底底下下，将将能能观观性性矩矩阵阵中中的的A 和和 C 表现为能观的标准形式表现为能观的标准形式适适当当选选择择状状态态空空间间的的基基底底，对对系系统统进进行行状状态态线线性性变变换，把状态空间表达式的一般形式化为标准形式换，把状态空间表达式的一般形式化为标准形式能能控控标标准准形形是是指指在在一一组组基基底底下下，将将能能控控性性矩矩阵阵中中的的A 和和 B 表现为能控的标准形式表现为能控的标准形式